4.3  微分

4.3.1微分的概念

    我們們先分析一個(gè)具體的實(shí)例：

試求一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響邊長(zhǎng)由變到+時(shí)，面積的增量．

    解：因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形面積，

從變到+時(shí)，面積增量：

是的一次函數(shù)，()是比更

高階的無(wú)窮?。@時(shí)，我們稱(chēng)為函數(shù)

在的微分．記為：

一般地，

    定義4.3.1  設(shè)函數(shù)在的某鄰域有定義，在點(diǎn)處任給增量（+在已知鄰域內(nèi)），如果函數(shù)增量可寫(xiě)成：

=

其中是與無(wú)關(guān)的常數(shù)．則稱(chēng)在處可微，并稱(chēng)為在處的微分，記為：．

4.3.2可導(dǎo)與微分的關(guān)系

    定理4.3.1  函數(shù)在可微充分必要條件是在可導(dǎo)且

    證明：()設(shè)在可微，則對(duì)處任意增量，有

=

其中是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，則有

從而,                  

于是，在可導(dǎo)，且．

    (設(shè)在可導(dǎo)，即

故,                     

其中

所以,                 

因?yàn)?span lang="EN-US">， 故在可微．

    由此可知：對(duì)一元函數(shù)來(lái)講，可微與可導(dǎo)等價(jià)；微分實(shí)質(zhì)是導(dǎo)數(shù)的另一種表示，且有公式

    特別地，在時(shí)，，即當(dāng)將看成函數(shù)時(shí)，“自變量的微分”等于自變量的增量．因此為了形式上統(tǒng)一，我們約定自變量的微分就是自變量的增量．即，故在的微分可改寫(xiě)為：

即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量微分之商．這就是導(dǎo)數(shù)為什么又稱(chēng)為微商的理由．

    微分的幾何意義：

    在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象是一條曲線，如圖4-3-2，在該曲線上任取一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，它與軸的交角為，則該切線的斜率為:

    當(dāng)自變量從處得增量時(shí)，就得到曲線上另一點(diǎn)，于是，曲線的縱坐標(biāo)就得到相應(yīng)的改變量

同時(shí)，處的切線縱坐標(biāo)也相應(yīng)的改變，在直角三角形中，有：               

  由此可見(jiàn)，函數(shù)的微分的幾何意義就是：在某點(diǎn)處，當(dāng)自變量取得改變量時(shí)，曲線在該點(diǎn)處的切線之縱坐標(biāo)的改變量．

4.3.3 基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則

    我們知道，對(duì)一元函數(shù)來(lái)講，可導(dǎo)與可微是等價(jià)的．因此，我們可以得下列基本初等函數(shù)的微分公式：

     （是常數(shù)）     

     ,     

    由和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推得相應(yīng)的微分法則：

    設(shè)在可微，且在商的情形，則

     對(duì)于這四個(gè)公式，我們只證(3)，其他三個(gè)公式用類(lèi)似的方法證明．根據(jù)微分的定義和乘積的求導(dǎo)法則，有

    現(xiàn)在我們介紹復(fù)合函數(shù)微分法則

    定理4.3.3  設(shè)在可微，在可微，則復(fù)合函數(shù)在可微，且

　　　　　　(1)

    證明：由微分的定義和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有：

因?yàn)?span lang="EN-US">，所以，

    在上述定理的(1)式中，可以看出：函數(shù)，當(dāng)是中間變量，即時(shí)函數(shù)的微分總可以寫(xiě)成形式：

                      　　　              　　　(2)

    換言之，對(duì)于，無(wú)論是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分都具有形式：. 微分的這種性質(zhì)，稱(chēng)為一階微分形式的不變性．

    另外，我們應(yīng)該注意到：無(wú)論上面的(1)式還是(2)式都告訴了我們復(fù)合函數(shù)的微分的一般方法：逐次微分法．

典型例題：

例4.3.1  求函數(shù)處的微分．

    解：先求函數(shù)在任意點(diǎn)處的微分

因?yàn)椤　　　　　　?span lang="EN-US">

所以，                 

    例4.3.2  求函數(shù)，當(dāng)，時(shí)的微分．

    解：函數(shù)在任意點(diǎn)的微分為：

   所以             .

例4.3.3  求下列各函數(shù)的微分．

     (1)                     (2)

     (3)                          (4) )

    解：利用逐次微分法

    (1) 

    (2)        

    (3) 

    (4)