本題其實(shí)是2014年浙江金華中考?jí)狠S題改編而來(lái)，而對(duì)于這道中考真題，本人作品《廣猛說(shuō)題系列之2016年四川南充中考?jí)狠S題（巧用絕對(duì)值策略）》中有詳細(xì)解說(shuō)，學(xué)生可自行查閱．本文主要簡(jiǎn)析下此改編題后，重在變式分析，淺談綜合題變式策略．一道好題就是一個(gè)取之不盡用之不竭的好素材，只要你開動(dòng)腦筋，其價(jià)值不知幾何．

下面筆者將從幾個(gè)重要的解題意識(shí)入手，分析解決此改編題，同學(xué)們要重視這里提及的各種解題思維以及解題策略，形成自己的解題意識(shí)以及解題風(fēng)格．

(1)“用確定性思想分析問(wèn)題”的解題意識(shí)：

審題時(shí)緊扣“確定性”分析問(wèn)題，形成“確定的必然可解”潛意識(shí)，養(yǎng)成戰(zhàn)略上“藐視”確定性問(wèn)題而思想上卻高度重視的大局觀，這里由點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4,0）知圖中所有的點(diǎn)都是確定的，所有的幾何元素都是確定的，既然是確定的，必然是可解的，So easy！

“特殊性與特事特辦”的解題意識(shí)：

審題過(guò)程中，還要有一雙慧眼，善于識(shí)別圖中的特殊性，用特殊的眼光去審視問(wèn)題，這是一種重要的解題意識(shí)，筆者稱之為“特殊性與特事特辦”解題意識(shí)，算是“大勢(shì)感知”的一種能力，即幾何直觀感知力；

如圖1-1所示，易知點(diǎn)A（5,0），C（0,5），故△OAC為等腰直角三角形，∠OAC=45°，發(fā)現(xiàn)了本題的這個(gè)特殊性，下面就狠抓這個(gè)特殊性“特事特辦”，充分用好45°這個(gè)“好角”；

“抓不變量”的解題意識(shí)：

審題過(guò)程中，除了要有主動(dòng)探尋“特殊性”的審題策略，還要有“抓不變量”的審題策略，動(dòng)中有靜，變中有不變，這些不變量往往就是解決問(wèn)題的關(guān)鍵之所在，抓住了不變量就是逮住了“牛尾巴”，抓住了不變量，就是抓到了題眼，抓不變量也是一種重要的審題策略，本題中就有一個(gè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終不變的量，那就是該矩形的寬總為1，即EF=1；

“解題后反思”意識(shí)：

此題若是對(duì)“12345模型”了解的話，直接口算秒殺，作為教師要有這種探究“新大陸”的情懷與精神，當(dāng)然學(xué)生未必就要去掌握并應(yīng)用了，這要看個(gè)人的領(lǐng)悟力及自覺性，具體可查閱于頭相關(guān)講座，不再贅述，學(xué)生可跳過(guò)！

(2)分析問(wèn)題的推理能力及轉(zhuǎn)化本領(lǐng)：

在矩形平移的過(guò)程中，要使以點(diǎn)P，Q，N，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，注意到始終有PM∥QN，即PM及QN一定是該平行四邊形的一組對(duì)邊，且已經(jīng)確定其互相平行，只要保證PM=QN即可；

“巧施絕對(duì)值”的解題策略：

“咬文嚼字”式審題會(huì)發(fā)現(xiàn)(1)中有一個(gè)限制條件使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，即“點(diǎn)M和N都在線段AC上”，但到了第(2)問(wèn)中卻發(fā)現(xiàn)此條件木有了，這其實(shí)也在一定程度上提醒了我們，此問(wèn)情形可能不唯一，需要分類畫圖分析嘍；

但是如果真的去畫圖分析，情形較多，很難把各種情形考慮全面，你可以去試試看；

這時(shí)候我們不妨試試，絕對(duì)值策略可否“大展拳腳”？答案是肯定的，而且非常適合；

解題后反思：

最后一問(wèn)，若是畫圖分析，分類解決，情形較多，很難考慮全面，而且每種情形下都需要進(jìn)行冗長(zhǎng)的計(jì)算，很容易出現(xiàn)計(jì)算失誤導(dǎo)致丟分，但我們這里巧施絕對(duì)值策略，將每種情形都融入了一個(gè)含有絕對(duì)值的方程里，最后解這個(gè)含有絕對(duì)值的方程即可輕松獲解，孰優(yōu)孰劣，比比便知.

一道好題求解之后，其實(shí)同學(xué)們還可以再琢磨琢磨，它還有哪些變式問(wèn)題，可以自問(wèn)自答，當(dāng)同學(xué)們自己都能編出一道好題出來(lái)，再將之解決，那種成就感是爽歪歪的.

下面筆者變出幾個(gè)常見問(wèn)題出來(lái)再簡(jiǎn)要分析思路，而且我們這里的變式問(wèn)題，都是重思維輕計(jì)算的，原因在于有些常規(guī)變式問(wèn)題，可能會(huì)因數(shù)據(jù)不好而導(dǎo)致計(jì)算量偏大而失去了簡(jiǎn)潔之美！沒(méi)關(guān)系，這跟本文想表達(dá)的思想并不矛盾，我們這里主要是要搞明白每道變式問(wèn)題的通解通法！

一道好題就是一座寶藏，充分挖掘，其價(jià)值不知幾何！下面筆者將按同學(xué)們從七年級(jí)到九年級(jí)幾何學(xué)習(xí)的順序入手，提出一些變式問(wèn)題，權(quán)當(dāng)拋磚引玉之用！你還可以想一想有沒(méi)有其他更有趣的變式，“您的變式，我的期待”，則本文的意義就能真正體現(xiàn)出來(lái)了，最終能達(dá)到一題多變，一題多用之效，則不勝榮幸！

對(duì)于變式1，我們先來(lái)談?wù)勔粋€(gè)有趣的結(jié)論；

同學(xué)們都知道，“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形”是一個(gè)假命題，但我想問(wèn)，你知道為什么它是假命題嗎？這時(shí)候你肯定會(huì)不假思索地給我一個(gè)反例，那就是等腰梯形！好，非常好！確實(shí)，等腰梯形是此假命題的致命反例！那么，問(wèn)題來(lái)了，除了等腰梯形這個(gè)反例外，還有其他的反例存在嗎？答案是木有，只有這兩種可能，即要么是平行四邊形，要么是等腰梯形！所以，同學(xué)們，你能把上述的假命題改成一個(gè)真命題嗎？相信同學(xué)們一定行，即“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形或等腰梯形”，除此之外，再無(wú)其他！

再回到我們的變式1上來(lái)，由PM∥QN及PQ=MN結(jié)合圖形分析易知：四邊形PQMN只能為平行四邊形或者等腰梯形，除此之外，再無(wú)其他，即此變式問(wèn)題要分兩種情形解決：

情形一：當(dāng)四邊形PQMN為平行四邊形時(shí)，這其實(shí)是原題中絕對(duì)值處理解決后的一種情形，此時(shí)由題目的簡(jiǎn)化條件“點(diǎn)M和N都在線段AC上”可以確定，點(diǎn)P與點(diǎn)M、點(diǎn)Q與點(diǎn)N“孰高孰低”，因而不必采取絕對(duì)值處理策略，直接列常規(guī)方程求解即可，建議同學(xué)們不要濫用絕對(duì)值，即不用絕對(duì)值也能輕松解決的問(wèn)題堅(jiān)決不用；

由原題的求解過(guò)程易知，此時(shí)符合條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為（2,3），不再贅述；

情形二：當(dāng)四邊形PQMN為等腰梯形時(shí)（這是教材已刪除的梯形內(nèi)容，但其實(shí)學(xué)生也很容易理解），結(jié)合圖形分析，這種情形若存在，只可能是如圖2-1所示的情形，這里將需要的元素保留，刪去了其他干擾的元素，值得學(xué)生領(lǐng)悟并應(yīng)用；

值得一提的是，這里是新教材已刪除的部分，但學(xué)生若是對(duì)此處輔助線稍作了解的話，在某些與四邊形有關(guān)計(jì)算中還是有大用的；另外，結(jié)合圖2的分析，筆者感覺上面列出的方程可能無(wú)解，即這種情形未必存在，但這必須通過(guò)計(jì)算說(shuō)理來(lái)解決.我們這里主要重思維、輕計(jì)算，所以不再詳述，有興趣的同學(xué)可自行探究！

更有趣的是，若是去掉“點(diǎn)M和N都在線段AC上”這個(gè)簡(jiǎn)化條件，情形二就變得復(fù)雜了，但別忘了我們的“絕策”，即巧施絕對(duì)值策略，也可以解決這個(gè)復(fù)雜的等腰梯形的存在性問(wèn)題，哈哈，越往下琢磨，真的是越有趣！

作為此處的題外話，我想再談?wù)劚皇廊苏`解千年的“SSA”，因?yàn)檫@個(gè)話題的探討與上面假命題“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形”如出一轍，只要稍加修改，其實(shí)它依然可以作為全等的重要判斷手段，尤其是在一些計(jì)算問(wèn)題的確定性分析中，經(jīng)常會(huì)碰到，所以有必要稍微提及下，盼學(xué)生養(yǎng)成這種探究之情懷、質(zhì)疑之精神！

世人都說(shuō)“SSA”不能作為兩個(gè)三角形全等的判定條件，但符合“SSA”條件的兩個(gè)三角形果真不全等嘛？！其實(shí)不然，很多情況下，兩個(gè)符合“SSA”條件的三角形真的是全等的??！

我們?cè)賮?lái)詳談一下所謂的“SSA”；

同學(xué)們都知道，“SSA”不能用來(lái)證明三角形全等，這也是我們學(xué)三角形全等的判定方法中最容易出錯(cuò)之處，但我想問(wèn)，符合“SSA”條件的三角形一定不能判斷出全等嗎？這時(shí)候你肯定會(huì)不假思索地給我一個(gè)如圖2-2所示的反例！好，非常好！確實(shí)，下圖是“SSA”的致命反例，即△ABC與△ABD符合“SSA”條件，但不全等！這個(gè)反例的構(gòu)造需要引起同學(xué)們的重視，換言之，同學(xué)們自己要理解這里的構(gòu)造方法，把握實(shí)質(zhì)，自己會(huì)單獨(dú)構(gòu)造，有很多考題就是專門在這個(gè)圖形上大作文章的！其實(shí)，這里主要借助了等腰三角形的對(duì)稱性，巧妙利用了輔助圓的方式精確畫圖！

那么，問(wèn)題來(lái)了，符合指定“SSA”（即兩邊確定及其中一邊的對(duì)角確定）的三角形可能不唯一，但是不是有無(wú)數(shù)個(gè)呢？答案是木有，最多只要上述圖2-2的兩種可能，即要么是△ABC，要么是△ABD，除此之外，再無(wú)其他，甚至很多時(shí)候，這樣的三角形并非有兩個(gè)，而是有且只有一個(gè)，即這時(shí)候是可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆绞秸f(shuō)明符合這種條件的三角形是全等的！

其實(shí)我們可以在圖2-2的基礎(chǔ)上進(jìn)一步往下思考：為什么符合這里“SSA”的三角形不唯一呢？就是因?yàn)橛幸粋€(gè)對(duì)稱的思想在其中，利用對(duì)稱性可以尋找到第二個(gè)符合條件的三角形，那可不是不唯一嘛！但是，這樣的對(duì)稱，是不是一定存在呢？我們可以連續(xù)變換的思想將⊙B慢慢放大，觀察⊙B與∠A的另一條邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，圖2-3及圖2-4給了其演變過(guò)程，一切自在圖中，請(qǐng)同學(xué)們好好體悟！

圖2-5給出了上面的動(dòng)態(tài)演示過(guò)程，請(qǐng)欣賞：

若∠A確定，且邊AB確定，通過(guò)圖2-3至圖2-4的探究，我們可以得到以下結(jié)論：

當(dāng)0<><='' strong=''>

當(dāng)BC=ABsinA或者BC≥AB時(shí) ，這樣的△ABC有且只有一個(gè)；

當(dāng)ABsinA<><='' strong=''>

看來(lái)，對(duì)于兩邊確定及其中一邊的對(duì)角確定（即SSA）的三角形的個(gè)數(shù)只可能是0個(gè)、1個(gè)或2個(gè)，即最多有兩個(gè)而已，并不是大家想象的可能有好多個(gè)！可不，被世人誤解的“SSA”多么冤枉啊，她比竇娥還要冤，很多時(shí)候它是可以用于證明三角形全等的，只不過(guò)不能直接使用而已，不信我們來(lái)看南京一道經(jīng)典的中考真題，看它是怎么考察“SSA”的，從一定程度上而言，“南京人”在嘗試為“SSA”洗刷“千古之冤”啊，哈哈！現(xiàn)將原題及網(wǎng)上的解析摘錄如下：

（2014年江蘇南京）

【問(wèn)題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．

【初步思考】我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．

【深入探究】

第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)　  　，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF．

（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．

第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡） 

（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請(qǐng)直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若　        　，則△ABC≌△DEF．

簡(jiǎn)析：（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，如下圖所示，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等，也就是說(shuō)這里可通過(guò)“三步全等”證明出來(lái)；

（3）以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；

（4）根據(jù)（3）中的作圖細(xì)致分析，若再添加條件：∠B≥∠A，則有△ABC≌△DEF．

 其實(shí)第（4）小問(wèn)就是筆者前文中探究得出的結(jié)論，筆者是從邊的角度總結(jié)結(jié)論的，這里是從角的角度去分析結(jié)論的，兩者本質(zhì)一樣，請(qǐng)自行辨析！

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，閱讀量較大，審題要認(rèn)真仔細(xì)．

自己寫東西就是如此任性，想到哪寫到哪，無(wú)拘無(wú)束，這里扯得還是比較遠(yuǎn)的，哈哈！雖然扯遠(yuǎn)了，偏離主題了，但希望同學(xué)們對(duì)于“SSA”有更深刻的體會(huì)，甚至于有的時(shí)候用確定性思想分析問(wèn)題時(shí)，碰到了符合“SSA”的三角形，也不要感覺疑惑，因?yàn)楹芏鄷r(shí)候這樣的三角形就是確定的，既然是確定的，當(dāng)然也是可解的！

比如本人作品《思想決定高度——論初中生幾種常見的數(shù)學(xué)解題策略與方法（第一集 確定性與構(gòu)造法）》中的引子里的題1其實(shí)就是這種情況，現(xiàn)摘錄如下，供大家琢磨：

如圖1，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，將△AOB繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△處，此時(shí)線段與BO的交點(diǎn)E恰為BO的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度.

于特布道：考慮圖形的確定性，這是在很大范圍里的思考方法；只要教師堅(jiān)持訓(xùn)練，往往也是學(xué)生最容易想到的思考方法.

對(duì)于這個(gè)圖形，聚焦思考△A'OE，如圖1-1所示，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，OA'長(zhǎng)已知，∠A'大小確定，OE也已知，因此△A'EO可解，從而解出A'E長(zhǎng)，由此即可求出B'E.

（上集完?。?/strong>

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