（2017·廣西玉林）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，E，F(xiàn)分別是AC，BC上的點（點E不與端點A，C重合），且AE=CF，連接EF并取EF的中點O，連接DO并延長至點G，使GO=OD，連接DE，DF，GE，GF．

（1）求證：四邊形EDFG是正方形；

（2）當點E在什么位置時，四邊形EDFG的面積最?。坎⑶笏倪呅蜤DFG面積的最小值．

【圖文解析】

（1）簡析：由已知條件（O為EF的中點，GO=OD ）可得到四邊形EDFG是平行四邊形。如下圖示：

       下面進一步證明四邊形EDFG中有一鄰邊相等和一個內(nèi)角為直角。

       由于D是等腰直角△ABC斜邊上的中點，因此通常連接CD，即可得到相關(guān)重要結(jié)論，如下圖示：

       不難證得∴△ADE≌△CDF（SAS），所以DE=DF，∠ADE=∠CDF．

因∠ADE+∠EDC=90°，進一步又得到∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°.

    結(jié)合上述所得到的結(jié)論知，四邊形EDFG是正方形．

（2）由（1）證明知：四邊形EDFG是正方形，所以S_{四邊形EDFG}＝DE²，因此當DE最短時，四邊形EDFG的面積最小.如下圖示：

       因E是邊AC上的動點，根據(jù)“垂線段最短”可知，當DE⊥AC于E時，DE最小，如下圖示：

       此時，四邊形的頂點G與C點重合，不難證得E是AC的中點，同時DE＝1/2AC＝2.如下圖示：

       所以正方形的面積為2²＝4.

    綜上所述，當點E為線段AC的中點時，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．

【拓展】將本題的條件“E，F分別是AC，BC上的點”改為“E，F分別是直線AC，直線BC上的點”，相關(guān)結(jié)論仍然成立，如下圖示：