首先，基本的答案是：無(wú)理數(shù)在任何進(jìn)位制下都是無(wú)理數(shù)。一個(gè)數(shù)是有理還是無(wú)理，是這個(gè)數(shù)本身的性質(zhì)，不依賴(lài)于進(jìn)位制。

其次，題目中的“那個(gè)值”有點(diǎn)模糊。如果說(shuō)數(shù)的表示形式，當(dāng)然會(huì)有變化。例如十進(jìn)制中的2，在二進(jìn)制中就是10（第一位的1乘以2，加上第二位的0乘以1，得到十進(jìn)制中的2）。十進(jìn)制中的0.5，在二進(jìn)制中就是0.1（小數(shù)點(diǎn)后第一位的1除以2，得到十進(jìn)制中的0.5）。十進(jìn)制中的0.25，在二進(jìn)制中就是0.01（小數(shù)點(diǎn)后第一位的0除以2，加上第二位的0除以2的平方，得到十進(jìn)制中的0.25）。

思考一下，二進(jìn)制中的無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.1010101010...，在十進(jìn)制中是什么呢？

這個(gè)表達(dá)式實(shí)際的意思，是1除以2，加上1除以2的三次方，加上1除以2的五次方，加上1除以2的七次方，如此等等無(wú)限下去，也就是1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + 1/2^7 + ...。這是一個(gè)等比數(shù)列的和，首項(xiàng)等于1/2，后項(xiàng)跟前項(xiàng)的比例q = 1/4。

學(xué)過(guò)高中數(shù)學(xué)的人知道，這個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和等于(1/2) * (1 - q^n) / (1 - q)。當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)，q^n = 1/4^n，而4的n次方趨于無(wú)窮，所以q^n趨于0。因此1 - q^n趨于1，整個(gè)等比數(shù)列之和就是(1/2) / (1 - 1/4) = (1/2) / (3/4) = (1/2) * (4/3) = 2/3，也就是十進(jìn)制小數(shù)0.666666...。這個(gè)數(shù)在二進(jìn)制和十進(jìn)制中都是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，所以一眼就可以看出它是個(gè)有理數(shù)。

根據(jù)同樣的道理，你還可以證明十進(jìn)制中的0.1，在二進(jìn)制中是一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.00011001100110011...。所以，在一個(gè)進(jìn)位制中的有限小數(shù)，在另一個(gè)進(jìn)位制中可能變成無(wú)限循環(huán)小數(shù)。

但無(wú)論如何，一個(gè)進(jìn)位制中的有理數(shù)（有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)），在另一個(gè)進(jìn)位制中不可能變成無(wú)理數(shù)（無(wú)限不循環(huán)小數(shù)）。反之亦然，一個(gè)進(jìn)位制中的無(wú)理數(shù)，在另一個(gè)進(jìn)位制中不可能變成有理數(shù)。題目中問(wèn)的π、e、黃金分割等無(wú)理數(shù)，都是這樣的，在任何進(jìn)位制下都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

黃金分割

原因很簡(jiǎn)單。有理數(shù)的定義，是可以表示成兩個(gè)整數(shù)相除，而整數(shù)在任何進(jìn)位制中都是整數(shù)，所以這個(gè)定義是跟進(jìn)位制無(wú)關(guān)的！