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2017年河北中考倒二（幾何背景）

平面內(nèi)，如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=4/3.點P為AD邊上任意一點，連接PB，將PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ．

(1)當∠DPQ=10°時，求∠APB的大??；

(2)當tan∠ABP:tanA=3:2時，求點Q與點B間的距離(結果保留根號)；

(3)若點Q恰好落在平行四邊形ABCD的邊所在的直線上，直接寫出PB旋轉到PQ所掃過的面積(結果保留π)．

圖文解析：

（1）常規(guī)題，雖不難，但極易漏解，要注意要分兩種情況。簡析如下：

所以∠APB＝100°或80°.

（2）連接BQ，如下圖示.要求“點Q與點B間的距離”即BQ的長.由已知條件“將PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ”可知△PBQ為等腰直角三角形，可知BQ＝根號2×PB，因此只需求出PB的長即可.

顯然應將條件“tan∠ABP:tanA=3:2”進行轉化，而三角函數(shù)值的轉化必須借助Rt△，結合條件，可添加如下輔助線：

在Rt△BPH中，tan∠ABP＝PH/BH；在Rt△APH中，tanA=PH/AH；所以條件“tan∠ABP:tanA=3:2”轉化為“AH：BH＝3：2”.由于AB＝10，可得AH＝10×3/5=6，BH＝10×2/5=4.

    在Rt△APH中，tanA=PH/AH=PH/6＝4/3,可得PH＝8.在Rt△BPH中，由勾股定理得：

（3）分三種情況：

①當P點落在邊AD上時，如下圖示：

由tanA=4/3，可設PB＝4t，PA＝3t

由勾股定理，得：AB＝5t=10，所以PB＝8.所求的面積為：

由∠BPQ＝90°，且BP＝PQ，聯(lián)想到常用輔助線（K型），并設元（常用，能使計算帶來方便），于是：

求PB的長的解法多種，也可用上一種方法去解，但相應地較繁?，F(xiàn)提供另一種解法是：充分利用BQ∥AD，結合“tanA=4/3，AB＝10”這個已知條件，添加如下圖如示的輔助線：

綜上所述，所求的面積為16π或20π或32π.

反思：典型的“分類討論和基本圖形”變式模型所構成的動態(tài)試題，解題顯然最基本的常見方法和技巧。