勾股定理的這些美妙的證法你知道嗎？

石頭不沉 2017-05-07

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本文來源：《數(shù)學(xué)不了情》

作者：談祥柏

如果直角三角形的直角邊長為a和b，斜邊長為c，那么，a2+b2=c2。公元前6世紀(jì)，古希臘杰出的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）首先從理論上證明了這個定理后，欣喜若狂，宰了100只牛來表示慶祝，因此這個定理又被人叫做“百牛定理”。不過，有些歷史學(xué)家不以為然，認(rèn)為不過是用面粉做了100頭牛作為貢品來酬謝神明而已。

在我國，有一部流傳下來的、最早的數(shù)學(xué)與天文著作。名叫《周髀算經(jīng)》，成書于公元前100年左右，即西漢時期。書中有一段記載商高（生活在公元前11世紀(jì)的人）回答周公的話“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，其意思是，如果直角三角形兩條直角邊長為3和4，則斜邊長必定是5。書中還有一段陳子（公元前6世紀(jì)，周朝中期時人）答榮方問，他說：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日”。這就說得更清楚了，如果用現(xiàn)代記法，便是的意思。我們知道，在古漢語中，“邪”與“斜”是通假字。陳子的話，已十分明確地表達(dá)了現(xiàn)代勾股定理的內(nèi)容。

我國古代幾何學(xué)不但有悠久歷史和豐富內(nèi)容，而且具有自己獨特的風(fēng)格，我國古代幾何學(xué)的特色之一是從實踐中總結(jié)提高所形成的“出入相補”原理。一個平面圖形從一處移置他處，面積不變；把圖形分割成幾塊，則各部分面積之和等于原來圖形的面積。

三國時期魏人劉徽（公元3世紀(jì)）在注《九章算術(shù)》勾股術(shù)時說：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類”。其意思就是將“出”的割下，補到“入的地方”，其余部分保留不動（圖1顏色區(qū)域）。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾建議把“青朱出入圖”帶上宇宙飛船，讓外星人知道我們還能證明勾股弦定理，這是一個非常聰明的想法。

圖1 青朱出入圖

趙爽的“弦圖”，證法也極簡單。如圖2所示，以弦c為一邊的正方形，含有4個以a和b為直角邊的直角三角形與一個以b-a為邊長的小正方形，于是有

圖2 趙爽的“弦圖”

勾股定理的證明引起了古今中外許多人的興趣，尋找新的證明方法從來沒有間斷過。真是百花齊放，推陳出新，人人都想插上一手。有人聲稱，3000年來，已經(jīng)找到了400多種不同證法，但這僅僅是極不完全的統(tǒng)計，無人知道確切數(shù)字。這些證明者中間，上至達(dá)官貴人，下及販夫走卒，包括各個階層的人物。在中國古代的“疇人”（數(shù)學(xué)家的別稱，有一本名著叫《疇人傳》）中，知名者就有梅文鼎、項名達(dá)、楊作枚、李銳、陳杰、安清翹、何夢瑤，華蘅芳等，大家都不甘示弱，各有各的證法。日本的和算圣人關(guān)孝和（1642~1708）在其專著《解見題之法》（1682年出版）中有圖證，據(jù)近人李潢考據(jù)，其方法與“青朱出入圖”大同小異。

號稱趣味數(shù)學(xué)三大名家之一的英國人亨利?杜登尼（H.E.Dudeney,1857~1930）于1917年發(fā)表了一個勾股定理的“風(fēng)車證法”，只要在“股”上的正方形剪兩刀即可證出，可以看出，兩線的交點在正方形的中心，分別與“弦”平行或垂直，所得出的4個圖形完全一模一樣，非常美麗，而且對稱（圖3）。

圖3 風(fēng)車證法

說起對稱，不能不提一提文藝復(fù)興時期的意大利大畫家達(dá)芬奇（Leonardo da Vinci 1452-1519），他在歐幾里得《幾何原本》的插圖上，下各添加一個直角三角形（圖4），就不難看出六邊形ABHKJG與六邊形ACBDEF是縱橫合同的，前者軸對稱（對稱軸為GH），而后者中心對稱（對稱中心是弦上正方形的中心）。