我的第一篇公眾號(hào)的題目是：在股市這個(gè)大賭場(chǎng)里，你想做賭徒還是賭場(chǎng)老板？

在這篇文章里，我提到了負(fù)和游戲和正和游戲：

賭徒參與的是“負(fù)和游戲”，長(zhǎng)期參與最終的結(jié)局一定是虧損的。

而賭場(chǎng)老板參與的是“正和游戲”，長(zhǎng)期參與最終一定是盈利的。

從直覺(jué)上講，這個(gè)結(jié)論好像挺有道理。但這個(gè)結(jié)論的理論依據(jù)是什么呢？

那就是概率論中的“大數(shù)定律”。今天就聊一聊“大數(shù)定律”這個(gè)話題。

1. 從一個(gè)賭博例子說(shuō)起

有一個(gè)不均勻的硬幣，每次扔這個(gè)硬幣時(shí)，有51%的可能性是正面朝上，49%的可能性是反面朝上。

有一個(gè)不知道硬幣缺陷的人愿意和你打賭玩猜硬幣的游戲，猜對(duì)的把籌碼全贏走，猜錯(cuò)的輸?shù)艋I碼。這時(shí)你的地位就相當(dāng)于賭場(chǎng)老板，因?yàn)檫@個(gè)游戲獲勝的概率對(duì)你是有利的。

如果你手里有1000元錢(qián)，你愿意選擇下面哪種方式來(lái)參加這個(gè)賭局呢？

方案A：1000元一次性全部押正面。

方案B：每次用1元押正面，一共參與1000次。

1）計(jì)算期望收益

對(duì)于這樣的隨機(jī)事件來(lái)說(shuō)，首先要算一下期望收益是多少。

E(A)=0.51*1000+0.49*(-1000)=20

E(B)=E(B1)+E(B2)+...+E(B1000)

      =0.02+0.02+...+0.02

      =20

可以看出，兩種方案的期望收益都是一樣的。

2）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差

我們知道，在投資中不能只看收益，還要看風(fēng)險(xiǎn)。在金融學(xué)中風(fēng)險(xiǎn)是指不確定性，一般用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量（基礎(chǔ)知識(shí)可以參考做好資產(chǎn)配置（2）——做多元投資，吃免費(fèi)午餐）。我們來(lái)算一下兩種方案各自的標(biāo)準(zhǔn)差是多少。

首先計(jì)算方差:

D(A)=E(A^2)-[E(A)]^2=10^6-400=999600

D(B)=D(B1)+D(B2)+...+D(B1000)=1000*D(B1)=999.6

可以看出，兩種方案的方差剛好差了1000倍。

各自的標(biāo)準(zhǔn)差是：

Std(A)=999.8

Std(B)=31.6

可以看出，方案B的標(biāo)準(zhǔn)差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于方案A。

如果計(jì)算夏普比率的話：

Sharp(A)=E(A)/Std(A)=0.02

Sharp(B)=E(B)/Std(B)=0.63

可以看出，方案B在獲得了同樣期望收益的情況下，承擔(dān)了更小風(fēng)險(xiǎn)，從而有著更大的夏普比率。因此方案B是優(yōu)于方案A的。

從這個(gè)例子可以看出，對(duì)于期望收益為正的游戲，我們持續(xù)的、大量的參與，就能獲得更低的風(fēng)險(xiǎn)。

2. 賭本擴(kuò)展到10萬(wàn)元的游戲

如果手里面不是有1000元錢(qián)，而是有10萬(wàn)元錢(qián)。還是以下兩種方案：

方案A：一次把10萬(wàn)元全押正面

方案B：每次押1元，押10萬(wàn)次

我們首先計(jì)算期望收益：

E(A)=2000, E(B)=2000

然后再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：

Std(A)=99980, Std(B)=316

夏普比例為：

Sharp(A)=0.02, Sharp(B)=6.32

如果我們算一下兩種方案各自的虧損的概率，那么可以發(fā)現(xiàn)：

A方案虧損的概率就是49%，而B(niǎo)方案虧損的概率幾乎為0！

為什么呢？因?yàn)锽方案的期望收益為2000，標(biāo)準(zhǔn)差為316，如果B要虧損，必須發(fā)生6倍多標(biāo)準(zhǔn)差以外的一個(gè)事件。如果B是服從正態(tài)分布的話（后面講的中心極限定理保證了B就是服從正態(tài)分布），這幾乎是一個(gè)不可能發(fā)生的事件。下圖是期望收益為2000，標(biāo)準(zhǔn)差為316的正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖?？梢钥闯觯l(fā)生負(fù)收益的可能性幾乎為0。

3. 大數(shù)定律與中心極限定理

在大學(xué)理工類(lèi)和經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)中，概率論都是必修課。在概率論這門(mén)課中有兩個(gè)很重要的定律：一個(gè)是大數(shù)定律，另一個(gè)是中心極限定理。

大數(shù)定律的通俗解釋是：當(dāng)樣本數(shù)量趨于無(wú)窮時(shí)，樣本的均值一定是趨向于樣本的期望值的。

通過(guò)大數(shù)定律就可以理解為什么賭場(chǎng)老板長(zhǎng)期不會(huì)虧錢(qián)。賭場(chǎng)老板如果參與的是正和游戲，他的期望收益是正的。當(dāng)他持續(xù)參與時(shí)，多次賭博的平均收益就是他期望收益，這是個(gè)正收益，因此他是能長(zhǎng)期盈利的。

中心極限定理指出：在獨(dú)立同分布的情況下，樣本值的和在數(shù)量趨于無(wú)窮時(shí)的分布近似于正態(tài)分布。

通過(guò)中心極限定理，我們也可以理解持續(xù)參與正和游戲是一定盈利的。由于正和游戲的期望收益都是正的，那么多次參與正和游戲后，總的期望收益是每一次期望收益之和。多次參與后，這個(gè)期望收益會(huì)越來(lái)越大。但標(biāo)準(zhǔn)差增長(zhǎng)的幅度卻沒(méi)有期望收益增長(zhǎng)那么快，增長(zhǎng)幅度是參與次數(shù)的開(kāi)根號(hào)。

因此，隨著參與次數(shù)的增加，期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差之比越來(lái)越大。從前面的例子可以看出，參與1000次，期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差之比是0.63。而參與10萬(wàn)次，期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差之比是6.3。隨著參與次數(shù)繼續(xù)增多，這個(gè)比率會(huì)越來(lái)越大。

我們知道，在正態(tài)分布情況下，3倍標(biāo)準(zhǔn)差外的事件都是小概率事件，6倍標(biāo)準(zhǔn)差幾乎就是不可能發(fā)生的事件。所以，隨著參與次數(shù)的增加，持續(xù)參與正和游戲而虧損的可能性就越來(lái)越低，到了一定程度就幾乎為0了。

同樣的，做為賭場(chǎng)老板的對(duì)立面，賭徒的命運(yùn)也是跑不出大數(shù)定律和中心極限定理的。

由于賭徒參與的是負(fù)和游戲，每一次的期望收益都是負(fù)的，所以持續(xù)參與，一定能獲得他的平均收益，也就是負(fù)收益。平均都是負(fù)的，參與次數(shù)又多，不傾家蕩產(chǎn)才怪。

隨著賭徒參與次數(shù)的增加，他輸錢(qián)的期望值的絕對(duì)值與標(biāo)準(zhǔn)差之比也越來(lái)越大，贏錢(qián)變成了一件幾乎不可能實(shí)現(xiàn)的事件，那么虧錢(qián)也就幾乎是個(gè)必然事件了。下表計(jì)算了賭場(chǎng)老板持續(xù)參與勝率為51%的游戲的結(jié)果。

表1 持續(xù)參與勝率為51%的游戲的結(jié)果

下圖是期望收益為-2000，標(biāo)準(zhǔn)差為316的正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖?？梢钥闯觯l(fā)生正收益的可能性幾乎為0。

4. 舉一反三

從上面的例子和分析可以看出，做投資如果持續(xù)參與正和游戲，長(zhǎng)期堅(jiān)持下來(lái)，一定是獲利的。下面再舉幾個(gè)例子，希望起到拋磚引玉的效果。

1）賭場(chǎng)老板設(shè)置賠率不均衡

上面的例子是概率對(duì)賭場(chǎng)老板有利，其實(shí)賭場(chǎng)老板不光追求概率有利，賠率有利時(shí)他也是很高興的?？傊非蟮恼陀螒?，也就是期望收益為正的游戲。

如果還是猜硬幣的游戲，但硬幣是均勻的，向上和向下各有50%的可能性。如果賭徒猜對(duì)了，贏1塊錢(qián)；猜錯(cuò)了，輸1.1元。那么對(duì)于賭徒來(lái)說(shuō)，同樣是個(gè)期望收益為負(fù)的游戲，也就是負(fù)和游戲。對(duì)賭場(chǎng)老板來(lái)說(shuō)，則是個(gè)正和游戲。

澳門(mén)或者拉斯維加斯的賭場(chǎng)老板們，購(gòu)買(mǎi)那些老虎機(jī)的時(shí)候，早就在程序里設(shè)置好了?；蛘呤歉怕蕦?duì)自己有利，或者是賠率對(duì)自己有利，總之是期望收益為正。大量的賭徒持續(xù)的參與這樣的游戲，保證了賭場(chǎng)老板一定是盈利的。

2）封閉式基金折價(jià)套利

我以前反復(fù)提到過(guò)封閉式基金是個(gè)好的投資品種。封閉式基金由于有折價(jià)，持有到期后，折價(jià)一定會(huì)消失的。這個(gè)折價(jià)消失的過(guò)程，對(duì)于封閉式基金持有人就是個(gè)正和游戲。

持有到期后，大盤(pán)有可能漲，有可能跌。姑且認(rèn)為大盤(pán)漲和跌的概率各是50%吧（其實(shí)大盤(pán)是個(gè)長(zhǎng)期向上的過(guò)程，漲的概率是大于50%的），加上封閉式基金的折價(jià)縮小，那么就變成了一個(gè)獲勝概率超過(guò)50%的游戲，即正和游戲。

參與每一次封閉式基金的封轉(zhuǎn)開(kāi)，都不保證一定是盈利的，但這一定是個(gè)正和游戲。長(zhǎng)期持續(xù)參與這樣的游戲，最終的結(jié)果一定是盈利的。

3）股指期貨吃貼水套利

股指期貨在貼水的情況下，其實(shí)就相當(dāng)于封閉式基金折價(jià)。股指期貨到期交割時(shí)，貼水一定會(huì)消失的。做多貼水的股指期貨，也是不保證每次都盈利，但是個(gè)獲勝概率大于50%的正和游戲。

4）開(kāi)放式基金停牌股套利

有些股票被借殼重組或者有重大的利好消息，復(fù)牌時(shí)往往有若干個(gè)連續(xù)漲停。這時(shí)候瞪眼、眼紅、干著急都是買(mǎi)不到的。但如果我們申購(gòu)重倉(cāng)這只股票的開(kāi)放式基金，則可以搭個(gè)順風(fēng)車(chē)，隨著基金凈值的增長(zhǎng)而獲利。

如果這一段時(shí)間，這只基金的其他股票大幅下跌了，那么這次套利就可能是虧損的。但這次交易還是個(gè)正和游戲，不用理會(huì)某次的虧損，持續(xù)參與就可以了。

5）分級(jí)基金下折套利

去年股災(zāi)期間，發(fā)生了多次分級(jí)基金A類(lèi)的下折，分級(jí)基金A類(lèi)的下折套利空間往往有3%-5%。如果大盤(pán)在套利期間繼續(xù)大幅下跌，套利也是有可能發(fā)生虧損的。

但如果我們心里明白：這是風(fēng)險(xiǎn)收益不對(duì)稱(chēng)的游戲，獲利的可能性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于虧損的可能性，那么我們就可以勇敢的參與下折套利。事實(shí)上，在股災(zāi)期間，我參與了多次下折套利，從而在股災(zāi)期間繼續(xù)獲得收益，目前的個(gè)人證券資產(chǎn)比股災(zāi)前的最高點(diǎn)又高出了不少。

5. 投資大師們的大數(shù)定律

世界上最成功投資大師有兩類(lèi)：一類(lèi)是以巴菲特為代表的價(jià)值投資派，另一類(lèi)是以西蒙斯為代表的量化投資派。

巴菲特的投資思路是低價(jià)拿好股，并且長(zhǎng)期持有。這表面上看起來(lái)和大數(shù)定律沒(méi)什么關(guān)系，但長(zhǎng)期持有其實(shí)就是在利用大數(shù)定律。好公司每天都在賺錢(qián)，明天的公司就比昨天的公司價(jià)值多了一些。所以持有優(yōu)質(zhì)公司，本身就是一個(gè)正和游戲。長(zhǎng)期參與正和游戲，當(dāng)然會(huì)源源不斷的賺錢(qián)了。

而西蒙斯更是直接用的大數(shù)定律。他利用各種數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)上的正和游戲的機(jī)會(huì)，大量的參與。每次參與交易的期望收益都是正的（但并不保證每一次都是盈利的），長(zhǎng)期參與這樣的游戲，最終也是穩(wěn)穩(wěn)的獲利了。

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