極值的定義：

（1）極大值： 一般地，設函數(shù)f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極大值，記作y極大值=f（x0），x0是極大值點；

（2）極小值：一般地，設函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值，記作y極小值=f（x0），x0是極小值點。

極值的性質(zhì)：

（1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最??；

（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個；

（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值；

（4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點。

求函數(shù)f（x）的極值的步驟：

（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′（x）；

（2）求方程f′（x）=0的根；

（3）用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值。

對函數(shù)極值概念的理解：

極值是一個新的概念，它是研究函數(shù)在某一很小區(qū)域時給出的一個概念，在理解極值概念時要注意以下幾點：

①按定義，極值點x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導）．如圖

②極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點取得．一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小，如圖．

③若fx）在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．

④若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有

限個極值點時，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的，

⑤可導函數(shù)的極值點必須是導數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，不可導的點也可能是極值點，也可能不是極值點，

函數(shù)的最值與導數(shù)的關(guān)系

函數(shù)的最大值和最小值：

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值，分別對應該區(qū)間上的函數(shù)值的最大值和最小值。

利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟：

（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；

（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值。

用導數(shù)的方法求最值特別提醒：

①求函數(shù)的最大值和最小值需先確定函數(shù)的極大值和極小值，因此，函數(shù)極大值和極小值的判別是關(guān)鍵，極值與最值的關(guān)系：極大（?。┲挡灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲?，最大（?。┲狄膊灰欢ㄊ菢O大（?。┲?；

②如果僅僅是求最值，還可將上面的辦法化簡，因為函數(shù)fx在[a，b]內(nèi)的全部極值，只能在f（x）的導數(shù)為零的點或?qū)?shù)不存在的點取得（下稱這兩種點為可疑點），所以只需要將這些可疑點求出來，然后算出f（x）在可疑點處的函數(shù)值，與區(qū)間端點處的函數(shù)值進行比較，就能求得最大值和最小值；

③當f（x）為連續(xù)函數(shù)且在[a，b]上單調(diào)時，其最大值、最小值在端點處取得。

生活中的優(yōu)化問題：

生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題，解決優(yōu)化問題的方法很多，如：判別式法，均值不等式法，線性規(guī)劃及利用二次函數(shù)的性質(zhì)等，

不少優(yōu)化問題可以化為求函數(shù)最值問題．導數(shù)方法是解這類問題的有效工具．

用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題應當注意的問題：

(1)在求實際問題的最大（?。┲禃r，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應舍去；

(2)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f'（x)=0的情形．如果函數(shù)在這點有極大（小）值，那么不與端點比較，也可以知道這就是最大（小）值；

(3)在解決實際優(yōu)化問題時，不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示，還應確定出函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間．

利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題：

(1)運用導數(shù)解決實際問題，關(guān)鍵是要建立恰當?shù)臄?shù)學模型（函數(shù)關(guān)系、方程或不等式），運用導數(shù)的知識與方法去解決，主要是轉(zhuǎn)化為求最值問題，最后反饋到實際問題之中．

(2)利用導數(shù)求f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值的步驟，

①求函數(shù)y =f(x)在（a，b）上的極值；

②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)、f（b）比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．

(3)定義在開區(qū)間(a，b)上的可導函數(shù)，如果只有一個極值點，該極值點必為最值點．