博主按：本文發(fā)表于善科網，今稍作修改，移至本博客。

我們在中學和大學時代涉及的很多數(shù)學內容都與方程（組）有關。解方程就像猜謎語。方程告訴你謎面，你則需要自己動腦筋尋求謎底--也就是求方程的解。遺憾的是，很多時候，我們根本無法確切地知道謎底。 在這種情況下，人們可以退而求其次，先判斷方程是否有解。

一、求解的范圍

在判斷方程有無解之前，我們首先要明確自己求解的范圍，否則這樣的討論是沒有意義的。因為對于同樣的方程，在不同的求解范圍內，上述問題的答案可以不一樣。這就好比每條謎語后面都要說明是猜什么東西。比如考慮方程

2x=1.

它在有理數(shù)范圍內有解  x=1/2, 但是在整數(shù)范圍內沒有解 （因為1/2不是整數(shù)）。類似地，

二次方程

x²+x+1=0

在實數(shù)范圍內沒有解，但是在復數(shù)范圍內卻有兩個不同解。

從歷史的角度看，人類對于方程求解范圍的限定是有一個逐步擴展的過程的?？赡芤婚_始人們主要關心方程的整數(shù)解和有理數(shù)解。初等數(shù)論中的不定方程主要就是討論這類范圍內的求解。通常來說，求方程的整數(shù)解和有理數(shù)解是很困難的，比如著名的費馬猜想

Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ,  n>2

斷言該方程沒有正整數(shù)解(X,Y,Z).

這個猜想被很多人--諸如歐拉、高斯等--討論過，最后由外爾斯于1995年前后利用高深的數(shù)學工具和技巧才得以解決。以后我們將介紹一下這方面的有趣話題。

隨著歷史發(fā)展，求解的范圍被允許擴展到實數(shù)。 這得歸功于畢達哥拉斯學派，他們很早發(fā)現(xiàn)了√2 是無理數(shù)的事實。這個重要的發(fā)現(xiàn)顯然對當時普遍的哲學觀點構成了致命的沖擊。

此后人們可以更從容地討論一個實系數(shù)多項式方程

xⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+...+a₁x+a₀=0

的求解問題。遺憾的是，這樣的方程有可能沒有實數(shù)解。 比如解二次方程（即n=2) 時， 如果遇到判別式小于0， 方程沒有實根，只有兩個虛根。以前人們采取的策略就是將這樣的虛根簡單地拋棄掉--這種令人擔憂的做法或許在今天的中學里仍被采用， 因為當時的人無法坦然接受復數(shù)的概念。

現(xiàn)在我們已經知道，復數(shù)可以看成平面上的點或者平面上的向量。

有人試圖從這類實現(xiàn)方式中去探尋更一般的“超復數(shù)”（比如格拉斯曼），

這就是后來我們大學里學到的n維向量空間理論的起源之一。

美中不足的是，高維向量一般沒有實數(shù)或復數(shù)那樣自然的乘法運算。 也有人用其他方式去構造更一般的“數(shù)”，比如哈密爾頓構造了四元數(shù)。然而這樣的數(shù)無法滿足乘法交換律。

在人們接受了復數(shù)之后， 方程的求解限制再一次被大大放寬。高斯證明了如下著名的結論---稱為高斯代數(shù)學基本定理：

“復系數(shù)多項式方程

xⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+...+a₁x+a₀=0

恰好有n個復數(shù)根 (這里允許有重根)?！?

這個結論告訴你很多事情。比如， 你無法指望通過對復數(shù)開根來得到“超復數(shù)”--超越復數(shù)范圍的新“數(shù)”。從這個意義上說， 復數(shù)集合--稱為復數(shù)域--是最大的數(shù)系了。復數(shù)域的這種性質叫做代數(shù)封閉性。

這里說一些題外話。 代數(shù)學基本定理并不是高斯第一個發(fā)現(xiàn)的。達朗貝爾在此之前就知道這個結論，但是沒有給出正確嚴格的證明。

代數(shù)學基本定理有很多不同的證明，但是這些證明都不是純代數(shù)的！事實上，這個定理本質上是拓撲的（也就是說它由某些幾何性質所決定）。

方程求解的范圍也可以朝著其他不同的方向發(fā)展。比如對于數(shù)論中的一些不定方程，人們可以引進所謂的 p-adic 數(shù)來擴大求解范圍。 這里我們不再展開。

二、如何判斷單變量多項式方程有解？

我們還是先考慮

多項式方程

xⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+...+a₁x+a₀=0  (*)

的解。 如果我們是在復數(shù)范圍內討論它，那么高斯代數(shù)學基本定理已經告訴了你存在n個解--盡管你還是求出不解?，F(xiàn)在我們暫時把目光集中在實數(shù)解上。

對于次數(shù)不超過4的方程， 人們可以尋求精確的求解公式來了解有多少解是實根。但是對于次數(shù)大于4的方程，問題就來了。 阿貝爾和伽羅華兩位天才的工作告訴人們，一般說來此時的方程沒有求根公式。

找不到精確的根，不代表我們無法判斷根的存在性。數(shù)學的一大魅力在于，我們可以通過某些間接的方式來證明某些東西是存在的--稱為存在性證明。 比如利用連續(xù)函數(shù)的介值定理，人們可以輕松斷言“上面的方程的次數(shù)n如果是奇數(shù)的話，則必有一個實根存在。 ”這個結論完全不能幫助你找到精確的實根，但是卻奇妙地確認了實根的存在性！

順便說一下， 利用這個結論，人們可以證明高斯代數(shù)學基本定理。前面我們說，高斯這個定理不可能是純代數(shù)的。在這個證明中， 非代數(shù)的部分就是上面的介值定理--它實際上是拓撲的。

研究方程 (*)的實根往往是很困難的。 比如在一個給定區(qū)間內，是否存在實根？有多少實根？等等。 數(shù)學家斯圖謨給出了一種很漂亮的方法，可以確定實系數(shù)方程(*)在給定區(qū)間內的實根個數(shù)。 有興趣的讀者可以去了解一下（比如下圖的書）。

三、如何判斷二元多項式方程有解？

現(xiàn)在我們可以考慮兩個變量的方程

f(x,y)=0.

這里 f 是關于 x,y 的多項式。

如果你在復數(shù)范圍內求解 (x,y), 你會得到無數(shù)的解！

這是因為你任取一個復數(shù) yy, 上面的方程是關于 xx 的一個單變量多項式方程。高斯代數(shù)學基本定理告訴你這樣的x總是存在。

這樣的解(x,y)在復數(shù)坐標系下構成的集合是一個幾何圖形--叫做“代數(shù)曲線”。根據(jù)上一篇文章的討論， 這個“代數(shù)曲線”其實是實四維空間中的一個曲面。我們之所以把它叫曲線，只是因為我們習慣上把它類比成該方程在實坐標平面上所描繪的曲線。

代數(shù)曲線是代數(shù)幾何中最基本的幾何對象。如果你們把它想象稱四維空間中的曲面，那么它們的形狀基本上就是氣球或者帶有若干個“洞眼”的救生圈。

以后我們將專門介紹它們，比如其中最著名的三次曲線

y²=x³+ax+b.

假如我們把求解放在實數(shù)范圍內呢？ 那么問題將變得極其復雜?？赡芊匠虝]有實數(shù)解，例如

x²+y²+1=0.

也可能僅有一個解, 例如

x²+y²=0

僅有實數(shù)解(x,y)=(0,0).  

當然，方程的也可能有無窮多個實數(shù)解，這些解描繪了平面上的若條曲線分支。這些曲線分支中，有一些是閉合的--就是說自己圍成一個圈，有一些不閉合。一個有趣且非常困難的問題是“到底有多少個閉合的曲線分支”？關于這方面的研究只有零星的結果。

如果我們再縮小解的范圍到有理數(shù)上呢？這就差不多是數(shù)論所關心的范疇了。問題的困難程度也進一步上升。一個有趣的初等結論是“一次和二次有理系數(shù)方程 f(x,y)=0 有無窮多個有理數(shù)解?！?/p>

我們甚至可以精確求出這些解。

比如, 單位圓周

x²+y²=1

的所有有理解可以表述為

x= 2t/（1+t²）,  y=（1-t^2）/（1+t^2）, t∈Q∪∞

這個通解實際上是從解析幾何初等方法推出來的，并沒有用到太多數(shù)論知識。

利用這個結果，你可以很容易得到勾股方程

X²+Y²=Z² 

的全部整數(shù)解(X,Y,Z). 我們以后會在另一文章中介紹。

對于三次方程

y²=x³+ax+b,  a,b∈ Q,

求解有理數(shù)解是個讓人非常著迷的問題。費馬很早就關心過這類問題。我們現(xiàn)在知道的同余數(shù)問題、費馬猜想、BSD猜想等等難題都與此有關。

此時，這些有理數(shù)解構成的集合上可以引入一種類似“加減法”的運算，它們滿足常見的交換律、結合律等。因此你可以通過相“加”兩個有理解得到第三個有理解（允許相同）。莫代爾的著名定理告訴你：你可以尋找有限個有理數(shù)解，它們通過加加減減就能得到所有的有理數(shù)解。關于這方面還有許多有趣的性質，我們以后再詳細介紹。

一般說來，很多三次有理系數(shù)方程會有無窮多個有理數(shù)解，當然也有一些只有有限個有理解。如何判斷有多少解是很難的問題。對于更高次的有理系數(shù)方程來說，有個著名的定理顯示，只要這個方程描述的代數(shù)曲線滿足一定的幾何條件，它就最多只有有限個有理數(shù)解。限于篇幅，我們這里不再展開。

最后我們把求解范圍限制到整數(shù)上。這基本上已經達到了數(shù)論問題的困難極限了。 一般說來，沒有什么固定的方法可以讓你有效判斷方程有無整數(shù)解。 除非一些特殊情形。 比如初等數(shù)論里研究的佩爾方程

x²-d y²=1

或者二次剩余問題

x²-py=q

它們的方程分別對應平面上的雙曲線和拋物線。 佩爾方程的經典求解方法是使用連分數(shù)，二次剩余問題則涉及到經典數(shù)論中最出色的理論--高斯二次互反律。以后我們將會討論這些有趣的話題。

上面的這些討論也可以推廣到多元多項式情形。這樣的方程會在高維空間中描述一個幾何圖形，通常稱為超曲面。這也是代數(shù)幾何研究的主要對象之一。

四、如何判斷二元多項式方程組有解？

假如我們關心方程組

f(x,y) =0，

g(x,y) =0.

的復數(shù)解，又會出現(xiàn)一系列有趣的問題(f,g是多項式, 沒有公因子)。

通過一些多項式的加減乘除，我們可以把x消掉， 從而得到一個關于

y的多項式（里面不出現(xiàn)x）--稱為結式. 原始方程的解顯然也滿足y的這個方程。根據(jù)高斯代數(shù)學基本定理，這樣的y至多只有有限個。同樣地，我們也可以類似說明x最多只有有限個，因此原始方程組的解只有有限個。 幾何上看，這兩個方程分別描述了兩條平面曲線，而兩條曲線通常只能相交有限個點。有個貝祖定理說，這樣兩條曲線的交點個數(shù)恰好就是兩個多項式的次數(shù)之積deg f ·deg g.

如果我們稍稍改變一下上面的方程組, 考慮

f(x,y) =u，

g(x,y) =v.

u,v是參數(shù)。 利用隱函數(shù)定理，我們可以得到它的一組參數(shù)解

x =φ₁(u,v)，

y =φ₂(u,v).

一個有趣的問題是：什么時候 φ_1，φ₂會是u,v的多項式？這就引出了著名的雅可比猜想:

φ_1，φ₂是多項式的充分必要條件是如下的雅克比行列式是非零常數(shù)！

這個猜想也有更一般的形式。但即使是上述二元情形也未得到證明。張益唐曾經也考慮過這個問題，可惜沒有成功。

五、如何判斷多元多項式方程組有無解？

一般形式的方程組如下：

f₁(x₁,x₂,...,x_n)=0，

f₂(x₁,x₂,...,x_n)=0，

..................

f_r(x₁,x₂,...,x_n)=0

這個方程組有n個復數(shù)變量 x₁,...,x_n. 它的解集是高維空間中的幾何圖形--叫做代數(shù)簇。這就是代數(shù)幾何要研究的東西。

根據(jù)前面二元方程組的討論，你肯定會想到，如何通過消元，來逐步降低方程中的變量個數(shù)。當然這個計算量是很大的。 我們只關心如何判斷有沒有解的問題。

希爾伯特給出了如下著名的定理--稱為希爾伯特零點定理：

上述方程組不存在解的充分必要條件是：你可以找到一些多項式 a₁,...,a_r, 使得

a₁f₁+a₂f₂+...+a_rf_r=1.

這個定理看上去好像不具有可操作性，即無法實際判斷那樣的 a_i 是否存在。其實不然，因為有研究發(fā)現(xiàn)，可以讓那些 a_i 的次數(shù)控制在一個具體的范圍之內。這樣，你只要用待定系數(shù)法，就能判斷它們是否存在了--這個工作顯然可以交給計算機去執(zhí)行。

希爾伯特定理可以說是代數(shù)幾何最基本的定理之一。它的一個特殊情形，其實

早在大學時代所學的高等代數(shù)出現(xiàn)過了：那就是線性方程組是否有解的判定條件。