三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等變形

徽墨叢棘 2017-03-07

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三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等變形

概述：三角函數(shù)的基礎(chǔ)是平面幾何中的相似形與圓，但研究的方法是采用代數(shù)中函數(shù)的研究方法和代數(shù)運算的方法，于是使三角函數(shù)成了聯(lián)系幾何和代數(shù)的橋梁，使它在幾何和代數(shù)中都能有所作為。這無疑使三角函數(shù)在復(fù)數(shù)、立體幾何和解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用。

【考點梳理】

一、考試內(nèi)容

1.角的概念的推廣，弧度制。

2.任意角的三角函數(shù)、單位圓中的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。

3.兩角和與差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切。

4.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、周期函數(shù)、函數(shù)y=Asin(ωx+)的圖像、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求角。

5.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。

二、考試要求

1.理解任意角的概念、弧度制的意義，并能正確地進(jìn)行弧度和角度的換算。

2.掌握任意角的三角函數(shù)的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的意義。

3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4.能正確地運用三角公式，進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明。5.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y= Asin(ωx+)的簡圖，理解A、ω、的物理意義。

6.會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號表示。

7.掌握余弦定理、正弦定理，并能初步運用它們解斜三角形。

（2005年考綱刪減知識點：“能利用計算器解決三角形的計算問題”）

三、知識網(wǎng)絡(luò)：

【命題研究】

分析近五年的全國高考試題，有關(guān)三角函數(shù)的內(nèi)容平均每年有25分，約占17%，浙江省2004年高考試題這部分內(nèi)容有17分，占總分11.3%。試題的內(nèi)容主要有兩方面；其一是考查三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象變換；尤其是三角函數(shù)的最大值、最小值和周期，題型多為選擇題和填空題；其二是考查三角函數(shù)式的恒等變形，如利用有關(guān)公式求植，解決簡單的綜合問題，除了在填空題和選擇題中出現(xiàn)外，解答題的中檔題也經(jīng)常出現(xiàn)這方面的內(nèi)容，是高考命題的一個?？嫉幕A(chǔ)性的題型。其命題熱點是章節(jié)內(nèi)部的三角函數(shù)求值問題，命題新趨勢是跨章節(jié)的學(xué)科綜合問題。

數(shù)學(xué)試題的走勢，體現(xiàn)了新課標(biāo)的理念，突出了對創(chuàng)新能力的考查。

如：福建卷的第17題設(shè)函數(shù)

；

（2）若函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象，求實數(shù)的值。此題“重視知識拓寬，開辟新領(lǐng)域”，將三角與向量知識交匯。

高考試題聯(lián)系現(xiàn)行新教材，如全國（2）卷中的第17題：已知銳角三角形中，（1）求證：；（2）設(shè)，求邊上的高，就與下列課本習(xí)題相接近，課本第一冊（下）第四章三角函數(shù)的小節(jié)與復(fù)習(xí)例2：已知，求的值。

【復(fù)習(xí)策略】

三角函數(shù)是傳統(tǒng)知識內(nèi)容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內(nèi)容時有明顯的降調(diào)傾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函數(shù)的主體地位，加強了對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點。第一輪復(fù)習(xí)的重點應(yīng)放在課本知識的重現(xiàn)上，要注重抓基本知識點的落實、基本方法的再認(rèn)識和基本技能的掌握，力求系統(tǒng)化、條理化和網(wǎng)絡(luò)化，使之形成比較完整的知識體系；第二、三輪復(fù)習(xí)以基本綜合檢測題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度。當(dāng)然，這一部分知識最可能出現(xiàn)的是“結(jié)合實際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應(yīng)用）來考查三角函數(shù)性質(zhì)”的命題，難度以靈活掌握倍角的余弦公式的變式運用為宜。由于三角解答題是基礎(chǔ)題、常規(guī)題，屬于容易題的范疇，因此，建議三角函數(shù)的復(fù)習(xí)應(yīng)控制在課本知識的范圍和難度上，這樣就能夠適應(yīng)未來高考命題趨勢。總之，三角函數(shù)的復(fù)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ)、加強訓(xùn)練、綜合應(yīng)用、提高能力。

解答三角高考題的一般策略：

（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。

（2）尋找聯(lián)系：運用相關(guān)三角公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)娜枪?，促使差異的轉(zhuǎn)化。

三角函數(shù)恒等變形的基本策略：

（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos²θ+sin²θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin²x+2cos²x=(sin²x+cos²x)+cos²x=1+cos²x；配湊角：α=（α+β）－β，β=－等。

（3）降次，即二倍角公式降次。

（4）化弦（切）法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦（切）。

（5）引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。

第一課時

【典型例題分析與解答】

例1、

分析：對三角函數(shù)式化簡的目標(biāo)是：

（1）次數(shù)盡可能低；

（2）角盡可能少；

（3）三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一；

（4）項數(shù)盡可能少。

觀察欲化簡的式子發(fā)現(xiàn)：

（1）次數(shù)為2（有降次的可能）；

（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化為α，2β化為β）；

（3）函數(shù)名稱為正弦、余弦（可以利用平方關(guān)系進(jìn)行名稱的統(tǒng)一）；

（4）共有3項（需要減少），由于側(cè)重角度不同，出發(fā)點不同，本題化簡方法不止一種。

解法一：

解法二：（從“名”入手，異名化同名）

解法三：（從“冪”入手，利用降冪公式先降次）

解法四：（從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方）

［注］在對三角式作變形時，以上四種方法，提供了四種變形的角度，這也是研究其他三角問題時經(jīng)常要用的變形手法。

例2、已知函數(shù)的圖像過點，且b>0，又的最大值為，(1)求函數(shù) 的解析式；(2)由函數(shù)y=圖像經(jīng)過平移是否能得到一個奇函數(shù)y=的圖像？若能，請寫出平移的過程；若不能，請說明理由。

解：(1)，由題意，可得，解得，所以；

(2) ，將的圖像向上平移1個單位得到函數(shù)的圖像，再向右平移單位得到的圖像，故將的圖像先向上平移1個單位，再向右平移單位就可以得到奇函數(shù)y=的圖像。

［注］本題考查的是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，其是高考命題的重點內(nèi)容，應(yīng)于以重視。

例3、為使方程在內(nèi)有解，則的取值范圍是（　　）

分析一：由方程形式，可把該方程采取換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)：設(shè)sinx=t，則原方程化為，且，于是問題轉(zhuǎn)化為：若關(guān)于的一元二次方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍，解法如下：

分析二：

解法如下：

［注］換元法或方程思想也是高考考查的重點，尤其是計算型試題。

思維能力訓(xùn)練：

1、函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是（）

A. B.

C. D.

2、下列函數(shù)中，以為周期的函數(shù)是（）

A.

B.

C.

D.

3、已知是第三象限的角，若等于（）

A. B.

C. D.

4、已知，則以下選項正確的是（　　）

A.　　　B.

C. 　　D.

5、函數(shù)以2為最小正周期，且能在x=2時取得最大值，則φ的一個值是（）

A、 B、 C、 D、

6、如圖，半徑為2的⊙M切直線AB于O點，射線OC從OA出發(fā)繞著O點順時針方向旋轉(zhuǎn)到OB。旋轉(zhuǎn)過程中，OC交⊙M于P，記∠PMO為x，弓形PnO的面積為，那么的圖象是（）

A、　　 B、　　 C、　 D、

7、。

8、如圖，一個半徑為10米的水輪按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)4圈，記水輪上的點P到水面的距離為米（P在水面下則為負(fù)數(shù)），則（米）與時間（秒）之間滿足關(guān)系式：，且當(dāng)P點從水面上浮現(xiàn)時開始計算時間，有以下四個結(jié)論：；；；，則其中所有正確結(jié)論的序號是　　　　　　　　。

9、已知函數(shù)，

(1)求函數(shù)的定義域、值域、最小正周期；

(2)判斷函數(shù)奇偶性。

10、（1）已知：，求證：；

（2）已知：，求：的值。

11、已知偶函數(shù)的最小值為0，求的最大值及此時x的集合。

第二課時

【典型例題分析與解答】

例1、已知向量，

(1)求的值；(2)若的值。

解：(1)因為

所以

又因為，所以，

即；

(2) ，

又因為，所以，

，所以，所以

點評　本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函數(shù)的恒等變換的基本技能，著重考查數(shù)學(xué)運算能力．平面向量與三角函數(shù)結(jié)合是高考命題的一個新的亮點之一．

例2、已知向量，向量與向量的夾角為，且，

（1）求向量；

（2）若向量與向量的夾角為，向量，其中為的內(nèi)角，且依次成等差數(shù)列，求的取值范圍。

　　分析：本題的特色是將向量與三角知識綜合，體現(xiàn)了知識的交匯性，這是高考命題的一個創(chuàng)新，也是高考命題的新趨勢，關(guān)聯(lián)三角形的三角解答題是高考命題又一個熱點。解答本題應(yīng)先翻譯向量語言，脫去向量語言的外衣，這時問題（1）就轉(zhuǎn)化為解方程組問題了，而問題（2）就化歸為三角形中的三角函數(shù)問題了。

解：（1）設(shè)，由，有　　①

向量與向量的夾角為，有，

，則　?、?/span>

由①、②解得：　

（2）由與垂直知，

由

若，則，

　　　　＝，

，

例3　如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若BC=a，∠ABC=，設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形的面積為S₂．

（１）用a，表示S₁和S₂；

（２）當(dāng)a固定，變化時，求取最小值時的角．

解：（1）

設(shè)正方形邊長為，則

（2）當(dāng)固定，變化時，

令，用導(dǎo)數(shù)知識可以證明：函數(shù)在是減函數(shù)，于是當(dāng)時，取最小值，此時。

o

［注］三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號語言，再將其轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)。三角函數(shù)的應(yīng)用性問題是歷年高考命題的一個冷點，但在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起足夠的關(guān)注。