人成各，今非昨，病魂常似秋千索

以往談?wù)摰亩际欠€(wěn)態(tài)運動和加速運動，現(xiàn)在談?wù)劻硪环N常見的運動形式——振動，也就是平衡位置附近的往復(fù)運動。

先談?wù)勂胶獾姆N類：穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡。鉛筆扔在桌面上，鉛筆的重力等于桌面的支持力，它就處于平衡狀態(tài)。如果是圓柱形鉛筆，那么它就是隨遇平衡，你稍微動動它，它就稍微滾動一下，換個地方停下來、繼續(xù)保持平衡；如果它是個六棱柱形的鉛筆，通常是穩(wěn)定平衡你輕輕推它一下，它就略微抬高一些身形，等你放了手，它就跌回來，左右晃蕩一陣、然后停留在原處；如果你心靈手巧，尖頭朝下地把鉛筆放在桌面上，原則上它也是可以呆著不動的，但是任何風吹草動都會讓它跌倒，這就是不穩(wěn)定平衡。

用數(shù)學(xué)的語言來說，這三種平衡依賴于物體所處位置附近的勢能曲線U(x)：既然能夠達到平衡，那么該處的一階導(dǎo)數(shù)必然為零，它是勢能的極值點；如果二階導(dǎo)數(shù)大于零，它就是勢能的極小值，通俗點說，那個地方就是個坑，難怪你會呆得很舒坦，'大國者下流'嘛；如果二階導(dǎo)數(shù)小于零，它就是勢能的極大值，那個地方就是個小山頭，一不小心就會滾下來，'太高人皆妒'嘛。只要我們離家不太遠，更高階的項通常就不用考慮了。

看看物體在平衡位置附近的運動吧。這肯定離不開牛頓第二運動定律，如果不考慮摩擦力的話，力就只是勢能曲線的導(dǎo)數(shù)

兩側(cè)乘以速度，

這就是機械能守恒定律。從這里可以看出，如果我站在高高的山巔，任何微小的偏離都會減小勢能，從而增大速度，也就是說，往山下滾得越來越快；如果我停留在谷底，任何微小的偏離只會增大勢能，從而減小我的速度，終究會停下來、返回去的。

對于穩(wěn)定平衡位置附近的振動，顯然其運動軌跡x(t)可以由下式確定：

振動周期T是：

并且有x(t)=x(t+T)也就是說，這是個周期性函數(shù)。任何周期性函數(shù)都可以表示為三角函數(shù)的級數(shù)和(傅里葉定理)，包括基頻f及其所有的n倍頻——這些知識都會在高等數(shù)學(xué)里學(xué)到，這里就不多說了。至于李薩如圖形之類，不過是XY繪圖儀和電子槍熒屏?xí)r代的遺跡，如同三角函數(shù)的加減乘除一樣，都是不難理解的——自己找張紙畫一畫，就明白了。

原則上來說，一維振動問題就這樣解決了。但是，為了加深印象，我們考慮更簡單的情況，即，勢能曲線只有二次方項的貢獻。

上式右側(cè)的?kx就是我們通常所說的回復(fù)力，因為它永遠指向平衡位置。這個微分方程很容易求解：

因為任何勢能極小值的附近區(qū)間都可以用二次曲線來描述，所以，上述公式具有普遍性，可以處理所有小振幅的振動問題。我們只需要找到物體的平衡位置，然后在那附近做展開就行了。無論是彈簧振子、單擺復(fù)擺，還是振動的音叉、起伏的冰山，統(tǒng)統(tǒng)都是這樣處理。

世上的振子雖多，但常常是寂寞無助的，小園香徑獨徘徊。偶爾走到大街上，看到的都是行色匆匆的陌生人，沒有人知道、更沒有人關(guān)心你內(nèi)心深處那冰封已久的回憶。也許很偶然的，'于千萬人之中遇見你所遇見的人，于千萬年之中，時間的無涯的荒野里，沒有早一步，也沒有晚一步，剛巧趕上了'兩個振子發(fā)生了相互作用。

其中，α(x1?x2)表示了二者的耦合強度。這樣的聯(lián)立微分方程，看起來很美(或者很難，取決于你的視角)，其實解起來也都是套路，經(jīng)過適當?shù)淖兞看鷵Q，好不容易聯(lián)系上的兩個振子，就又變成了大街上的陌生人。'那也沒有別的話可說，惟有輕輕地問一聲：‘噢，你也在這里嗎?’'更多的耦合振子也是一樣的，不過就是行列式的本征值問題而已，說什么有緣無緣，說什么糾纏想念，最后都化為'簡正模式'，赤條條來去無牽掛。

振子的生活雖然簡單，終究不能'遺世而獨立'，外界的阻力和推動都會影響他的行為。

'木秀于林，風必摧之'，最簡單的阻礙行為正比于其速度。

利用變量代換：

這種微分方程就變?yōu)楹唵蔚亩淮畏匠蹋?/p>

根據(jù)根號里γ2?4ω2數(shù)值的正負或零，可以區(qū)分所謂的弱阻尼、過阻尼和臨界阻尼。其實，這種方法也可以用來分辨穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和臨界平衡，只要注意到這一點就可了：與振蕩的正弦、余弦函數(shù)有關(guān)；而與增長、衰減的指數(shù)函數(shù)有關(guān)。

'好風憑借力，助我上青云。'為了達到新的高度，就要有貴人相助，最常見的形式是周期性的援助力

吃人嘴短，振子自己的個性ω0當然也就顧不上了，只能聽從金主的指揮(所謂受迫振動)，但是，如果幸運的話，外界的驅(qū)策與自己的本性相去不是太遠ω～ω0，就有可能相得益彰，出現(xiàn)所謂的共振現(xiàn)象。然而，共振也是把雙刃劍，好的時候可以群策群力，壞的時候可以橋倒屋塌，甚而出現(xiàn)完全不可預(yù)知的混沌現(xiàn)象。載舟覆舟，唯君圖之。

麥克風為什么會發(fā)出嘯叫?這是自激的結(jié)果。秋千為什么越蕩越高？這是參數(shù)共振的影響。這就像一個人的命運啊，當然要靠自我奮斗，但是也要考慮到歷史的行程。荊軻志存高遠、心小天下，放言'往而不返者，豎子也'，結(jié)局卻是'風蕭蕭兮易水寒，壯士一去兮不復(fù)還'；周公瑾'大丈夫處世，遇知己之主，外托君臣之義，內(nèi)結(jié)骨肉之恩'，終于'羽扇綸巾，談笑間，檣櫓灰飛煙滅。'其人或存或亡，其業(yè)或成或敗，然而千載之下，無不讓人追思懷想，兼有才人不遇之嘆，

把吳鉤看了，欄桿拍遍，無人會，登臨意。

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