在國家法定計量單位所采用的國際單位制(SI)中，除了7個基本單位外，還有兩個輔助單位，一個是平面角(一般簡稱角度)，一般記為希臘小寫字母α等，單位為弧度，記為rad，另一個是立體角，記為大寫希臘字母Ω，單位為球面度，記為sr。

立體角涉及光度學(xué)、電磁輻射、球面天文學(xué)等許多領(lǐng)域的基本概念，如(熱、光或其它電磁波、聲音或其它機械波的)輻射通量、星座所占天球區(qū)域的“面積”(實際為立體角)大小等等，因此立體角概念本身的重要意義和實用價值不言而喻，可謂理解客觀世界的空間形式和許多科學(xué)原理的一把鑰匙。

通常的初等數(shù)學(xué)教育對平面角講得很詳盡，但對立體角的介紹則遠不充足。對三維空間、立體幾何有興趣者，不妨讀讀本文，希望您有所獲益。您斧正拙文之謬誤、拓展和深化拙文所涵蓋的內(nèi)容，尤為筆者所企冀。

平面上，多邊形內(nèi)角和可表為(n-2)π，那么相應(yīng)地，多面體內(nèi)立體角之和如何？答曰：它在一定區(qū)間內(nèi)變化，關(guān)于這一點，以后再展開敘述。

1、立體角定義與量度

1.1立體角的概念

當(dāng)我們看到遠處的兩個物體，欲表達其相對方位時，用從這兩個物體到眼睛的視線之間的夾角這個概念。例如，可以選擇月亮的上邊緣頂點與下邊緣頂點，由人眼到這兩個點的視線之間的夾角較為穩(wěn)定，可以稱為月亮的“視直徑”。

而當(dāng)形容“掛在樹梢上的月亮像月餅這么大”時，人們就一面犯了錯誤，一面已經(jīng)在冥冥之中與立體角概念的幽靈相接近。月亮、月餅當(dāng)然不一樣大，而且大小相差懸殊，但是當(dāng)月餅與人眼之間為一定距離時，看起來它的確跟月亮“差不多一般大”。月餅比月亮小得多，但當(dāng)把月餅放在眼前時，它卻能完全擋住月亮，這樣就清楚了，隨著距離變遠，形象就變小。這不僅是“視直徑”的變化，其實也是另一個量，“立體角”的變化。

假設(shè)制作一個代表立體直角坐標系的三維“十字架”，使之穿過兩個半徑相差一倍的同心球面，球心在坐標系原點，自球心發(fā)出無數(shù)條射線，這些射線在球面上的投影點形成一條連續(xù)的閉合的曲線，那么這樣的一條曲線在小球面上所限定的面積為在大球面上所限定面積的1/4。進一步假設(shè)，若人眼在球心處，向曲線所包的一部分球面看，無疑大小球面上的這兩塊面積將完全重合。這就是說，盡管這兩塊面積不等，但他們所對應(yīng)的空間區(qū)域的大小卻完全相同，都以上述那無數(shù)條射線為界。我們就說，這兩塊面積所對應(yīng)的立體角一樣大。即使你使其中一個球面繞球心轉(zhuǎn)動，也不會改變這一點。

現(xiàn)在可以給立體角下一個定義了：錐面(射平面或射曲面)所圍成的空間區(qū)域稱為立體角。在以錐的頂點為心，半徑為1單位的球面上，錐面所截得的面積大小就準確地度量了立體角的大小。以球心為頂點的錐面在球的表面切割出的、面積等于球半徑平方的區(qū)域，所張的立體角的大小，被定義為立體角的基本度量單位，是立體角的國際單位，是三維的弧度，稱為平方弧度，或平方弳，亦稱球面度，符號記作sr，英文steridian，是希臘語立體(stereos)和弧度(radian)的合成詞。

再從另一個起點出發(fā)來考察“立體角”。正如平面上一個直角坐標系把平面分為4個象限一樣，立體解析幾何上，把由一個笛卡爾三維直角坐標系所確定的歐式空間剖分為8個卦限，一個卦限是這樣一個立體角：其大小占整個空間的1/8，其邊界在球面上的投影是一個三邊相互垂直的球面三角形。完全相同的推廣是：一個象限占去1/4個平面，一個卦限占去1/8個(歐氏)空間；象限可分為100或90等分，每等分稱為一度，而8個卦限共可分為4π個等分，每等分稱為一“平方弳”(球面度)；等等。球表面積為4πr2，因此整個球面有4π個球面度。

在平面上定義一段弧微分ds與其矢量半徑r的比值為其對應(yīng)的圓心角，記作 θ=ds/r； 所以整個圓周對應(yīng)的圓心角就是2π；和平面角的定義類似，定義立體角為曲面上面積微元ds與其矢量半徑的二次方的比值為此面微元對應(yīng)的立體角，記作Ω=ds/r2；由此可得，閉合曲面的立體角都是4π。