數(shù)學(xué)有時候會變得特別復(fù)雜，然而幸好不是所有的數(shù)學(xué)問題都晦澀難懂。這篇文章將會向大家介紹數(shù)學(xué)領(lǐng)域中五個有趣的問題，問題本身簡單易懂，但迄今仍未被數(shù)學(xué)家們解決。

圖片來源：Justin Lewis

1. Collatz猜想

圖片來源：Jon McLoone

Collatz猜想是一個簡單有趣而又沒有解決的數(shù)學(xué)問題。克拉茲問題（Collatz problem）也被叫做hailstone問題、3n+1問題、Hasse算法問題、Kakutani算法問題、Thwaites猜想或者Ulam問題。是指：隨意選一個整數(shù)，如果它是偶數(shù)，那么將它除以2；如果它是奇數(shù)，那么將它乘以3再加1。對于得到的新的數(shù)，重復(fù)操作上面的運算過程。如果你一直操作下去，你每次都終將得到1。

德國數(shù)學(xué)家Collatz于1937年首次提出這個問題，題意清晰、明了、簡單，連小學(xué)生都能看懂，得到許多大數(shù)學(xué)家的關(guān)注。日本角谷靜夫談到該猜想的歷史時講：“一個月里，耶魯大學(xué)的所有人都著力于解決這個問題，毫無結(jié)果。同樣的事情好象也在芝加哥大學(xué)發(fā)生了。有人猜想，這個問題是蘇聯(lián)克格勃的陰謀，目的是要阻礙美國數(shù)學(xué)的發(fā)展?！敝麑W(xué)者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一問題的時，竟然冠以'不要試圖去解決這些問題'為標(biāo)題。匈牙利著名的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）曾評論說，“數(shù)學(xué)還沒有為這類問題做好準(zhǔn)備”，認為這個猜想在現(xiàn)階段難以解決。

 鄔家邦先生的《3N+1猜想》（湖南大學(xué)出版社，2001年）是國內(nèi)較全面介紹、論述該問題的著作。該書說，“3N+1猜想之所以難以攻克，原因就在于對一般的n∈N,n的迭代軌跡序列這的元素排列雜亂無章，無規(guī)律可循”。

 也有的數(shù)學(xué)家認為，這種形式如此簡單，解決起來卻又如此困難的問題，實在是可遇而不可求。該猜想任何程度的解決都是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一大進步，將開辟全新的領(lǐng)域。目前也有部分數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者，在進行關(guān)于“負數(shù)的3x＋1”、“5x＋1”、“7x＋1”等種種考拉茲猜想的變化形命題的研究。

 許多學(xué)者對大量的自然數(shù)做了檢驗，均未發(fā)現(xiàn)反例。荷蘭學(xué)者Eric Roosendaal在他的網(wǎng)站 (《 On the 3x + 1 problem》http://www./wondrous/index.html) 上，介紹了世界上研究該問題的主要成果，并組織了世界范圍的分布式計算，不斷公布計算結(jié)果，2^60以內(nèi)的數(shù)字均通過了驗證。

 關(guān)于 3x+1 問題以及相關(guān)問題的會議 1999 年 8 月在德國的 Eichst?tt 大學(xué)舉行。會議參與者有:K. M. Monks(美國), Ken G. Monks (美國), Paul Andaloro (美國), Günther Wirsching (德國), Manfred Kudlek (德國) Ranan Banerji (美國), Jeffrey Lagarias (美國), Dierk Schleicher (德國),Marc Chamberland (美國), Jean-Louis Rouet (法國), Eric Roosendaal (荷蘭), U. Fitze(瑞士),Marc Feix (法國),Edward Belaga (法國)等。

 2011年5月，德國Gerhard Opfer在《Mathematics of Computation》上發(fā)表了一篇論文(預(yù)印本PDF)，宣稱證明了考拉茲猜想。一個月后，該作者承認證明是不完整的， “Collatz猜想是正確的” 的聲明被撤回。（Thus,the statement “that the Collatz conjecture is true” has to be withdrawn, at least temporarily.）

來源：平常心

數(shù)學(xué)家們試驗了數(shù)百萬個數(shù)，至今還沒發(fā)現(xiàn)哪怕一個不收斂到1的例子。然而問題在于，數(shù)學(xué)家們也沒辦法證明一定不存在一個特殊的數(shù)，在這一操作下最終不在1上收斂。有可能存在一個特別巨大的數(shù)，在這一套操作下趨向于無窮，或者趨向于一個除了1以外的循環(huán)的數(shù)。但沒有人能證明這些特例的存在。

2. 移動沙發(fā)問題

圖片來源：Claudio Rocchini

你要搬新家了，想把你的沙發(fā)搬過去。問題是，走廊有個轉(zhuǎn)角，你不得不在角落位置上給沙發(fā)轉(zhuǎn)方向。如果這個沙發(fā)很小，那沒什么問題。如果是個挺大的沙發(fā)，估計得卡在角落上。如果你是個數(shù)學(xué)家，你會問自己：能夠在角落上轉(zhuǎn)過來的最大的沙發(fā)有多大呢？這個沙發(fā)不一定得是矩形，可以說任何形狀。

這便是“移動沙發(fā)問題”的核心，具體來說就是：二維空間，走廊寬為1，轉(zhuǎn)角90°，求能轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)角的最大二維面積是多少？

能轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)角的最大二維面積被稱為“沙發(fā)常數(shù)”（the sofa constant）——這是真的，我不是騙你讀書少。沒人知道它到底有多大，但我們知道有一些相當(dāng)大的沙發(fā)可以轉(zhuǎn)得過去，所以我們知道沙發(fā)常數(shù)一定比它們大；也有一些沙發(fā)無論如何都轉(zhuǎn)不過去，因此沙發(fā)常數(shù)一定比這些轉(zhuǎn)不過去的面積小。迄今位置，我們知道沙發(fā)常數(shù)落在2.2195到2.8284之間。

3. 完美立方體問題

圖片來源：Gfis

還記得勾股定理，A2 + B2 = C2 嗎？A、B、C三個字母表示直角三角形的三邊長。畢達哥拉斯三角形指的是三邊長都是整數(shù)的直角三角形，即滿足A2 + B2 = C2且A、B、C都是整數(shù)?，F(xiàn)在我們將這個概念擴展到三維，在三維空間，我們需要四個數(shù)A、B、C和G。前三個數(shù)是立方體的三維邊長，G是立方體的空間對角線長度。

正如有些三角形的三邊都是整數(shù)一樣，存在一些立方體的三邊和體對角線（A、B、C和G）都是整數(shù)，但對于立方體來說還有三個面對角線（D、E和F），這就帶來一個有趣的問題：有沒有立方體滿足這個7個邊長都是整數(shù)的條件呢？