所屬專輯：一輪復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)易混易錯(cuò)88點(diǎn) 高考復(fù)習(xí)講義數(shù)學(xué)編輯部  筆記簡介 平面向量·易混易錯(cuò)7點(diǎn) 易錯(cuò)點(diǎn)1：忽視零向量的性質(zhì)致誤
下列敘述錯(cuò)誤的是 . ①若a∥b,b∥c,則a∥c; ②若非零向量a與b方向相同或相反,則a+b與a,b之一的方向相同; ③|a|+|b|=|a+b|?a與b方向相同; ④向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得b=λa; ⑤ + =0; ⑥若λa=λb,則a=b.  【易錯(cuò)分析】 忽視零向量的特殊性,是本題出錯(cuò)的主要原因,本題前四個(gè)結(jié)論都與此有關(guān);另外,兩個(gè)相反向量的和是一個(gè)零向量,不是數(shù)零;最后一個(gè)結(jié)論忽視了λ=0的情況. 【正確解答】 對于①,當(dāng)b=0時(shí),a不一定與c平行. 對于②,當(dāng)a+b=0時(shí),a+b的方向是任意的,它與a,b的方向都不相同. 對于③,當(dāng)a,b之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立. 對于④,當(dāng)a=0且b=0時(shí),λ有無數(shù)個(gè)值;當(dāng)a=0但b≠0時(shí),λ不存在. 對于⑤,由于兩個(gè)向量之和仍是一個(gè)向量, 所以 + =0. 對于⑥,當(dāng)λ=0時(shí),不管a與b的大小與方向如何,都有λa=λb,此時(shí)不一定有a=b.故填①②③④⑤⑥. 數(shù)0與零向量的區(qū)別:0的模是0,方向任意,并不是沒有方向;0與任意非零向量平行;λ0=0,而不是等于0;0與任意向量的數(shù)量積等于0,即0·a=0. 零向量的方向不確定,所以在處理平行問題時(shí),一般規(guī)定零向量與任何一個(gè)向量平行.在討論兩個(gè)向量共線時(shí),考生容易忽視零向量. zhuangyuanbiji
零向量的特殊性 零向量是向量中最特殊的向量,規(guī)定零向量的長度為0,其方向是任意的,零向量與任意向量都共線. 易錯(cuò)點(diǎn)2：對向量線性運(yùn)算的幾何意義理解不透徹致誤
已知△ABC和點(diǎn)M滿足 + +=0.若存在實(shí)數(shù)m使得+=m成立,則m= A.2 B.3 C.4 D.5 【易錯(cuò)分析】 本題主要考查向量的有關(guān)運(yùn)算以及向量運(yùn)算的幾何意義.求解該題時(shí)容易出現(xiàn)兩個(gè)問題:一是不能根據(jù)++=0分析出點(diǎn)M與△ABC之間的關(guān)系,二是不能靈活利用三角形的性質(zhì)和向量運(yùn)算的幾何意義找出,與之間的關(guān)系. 【正確解答】 由++=0,知點(diǎn)M為△ABC的重心,設(shè)點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),則由向量加法,可知 . 由重心的性質(zhì),可知||=||, 而且與同向,故=, 所以=×(+)=(+), 所以+=3,故m=3,故選B. 對于零向量與任一向量a,規(guī)定a+0=0+a=a. zhuangyuanbiji
向量線性運(yùn)算的注意點(diǎn) 對于向量加法運(yùn)算:一是兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量;二是利用三角形法則進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí),兩向量要首尾相連,和向量由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn),利用平行四邊形法則進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí),兩向量要有相同的起點(diǎn);三是當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí),三角形法則仍適用,而平行四邊形法則不適用. 對于向量減法運(yùn)算:一是向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算,兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量;二是利用三角形法則求差向量時(shí),兩個(gè)向量要有共同的起點(diǎn),然后連接兩向量的終點(diǎn),并指向被減向量. 對于向量數(shù)乘運(yùn)算:一是實(shí)數(shù)和向量可以求積,但不能求和或求差;二是λ=0或a=0可以推出λa=0. 易錯(cuò)點(diǎn)3：忽視平面向量基本定理的使用條件致誤 已知=a,=b,=c,=d,=e,設(shè)t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么t為何值時(shí),C,D,E三點(diǎn)在一條直線上? 【易錯(cuò)分析】 本題可以根據(jù)向量共線的充要條件列出等式解決,但在得出等式后根據(jù)平面向量基本定理列式解決時(shí),容易忽視平面向量基本定理的使用條件,出現(xiàn)漏解,漏掉了當(dāng)a,b共線時(shí),t可為任意實(shí)數(shù)這個(gè)解. 【正確解答】 由題設(shè),知=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. ①若a,b共線則t可為任意實(shí)數(shù); ②若a,b不共線,則有解得t=. 綜上,可知a,b共線時(shí),t可為任意實(shí)數(shù);a,b不共線時(shí),t=. 平面向量基本定理是建立向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ),它保證了向量與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的,在應(yīng)用時(shí)考生應(yīng)該注意構(gòu)成基底的兩個(gè)向量是不共線的. 考生應(yīng)該注意向量共線與直線共線的區(qū)別,向量共線是指向量所在的直線平行或者重合,而直線共線是指它們重合. zhuangyuanbiji
平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.特別地,當(dāng)a=0時(shí),λ1=λ2=0.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,并運(yùn)用平面向量的基本定理將條件和結(jié)論表示成基底的線性組合,再通過向量的線性運(yùn)算來解決問題.在基底未給出的情況下,合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便. 易錯(cuò)點(diǎn)4：向量的模與數(shù)量積的關(guān)系不清致誤
已知向量a,b滿足|a|=|b|=1,且|a-kb|=|ka+b|,其中k>0. (1)試用k表示a·b,并求出a·b的最大值及此時(shí)a與b的夾角θ的值; (2)當(dāng)a·b取得最大值時(shí),求實(shí)數(shù)λ,使|a+λb|的值最小,并對這一結(jié)果作出幾何解釋. 【易錯(cuò)分析】 本題可以通過對已知條件兩端平方解決,容易出現(xiàn)的問題第一個(gè)是對向量的模與數(shù)量積的關(guān)系理解不清導(dǎo)致錯(cuò)誤,如認(rèn)為|a-kb|=|a|-|kb|或|a-kb|2=|a|2-2k|a||b|+k2|b|2等都會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果.第二個(gè)易錯(cuò)之處就是在得到a·b=-后,忽視了k>0的限制條件,求錯(cuò)最值. 【正確解答】 (1)由|a-kb|=|ka+b|?(a-kb)2=3(ka+b)2?a·b=-(k>0). 所以a·b=-(k+)≤-, 當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào). 所以a·b的最大值為-, 此時(shí)cos θ=-,θ=. 綜上所述,a·b=-(k>0),a·b的最大值為-,此時(shí)a與b的夾角θ的值為. (2)由題意,a·b的最大值為-,此時(shí)|a+λb|2=λ2-λ+1=(λ-)2+, 所以當(dāng)λ=時(shí),|a+λb|的值最小,此時(shí)(a+b)·b=0,這表明(a+b)⊥b. 數(shù)量積的運(yùn)算要注意a=0時(shí),a·b=0,但a·b=0時(shí)不能得到a=0或b=0,因?yàn)?/span>a⊥b時(shí),也有a·b=0 向量的數(shù)量積運(yùn)算不同于兩個(gè)實(shí)數(shù)積的運(yùn)算,中間的“·”不能省略. 向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的表示形式不同,向量的坐標(biāo)的表示形式是先寫向量的名稱,然后寫等號(hào),再寫它的坐標(biāo);而點(diǎn)的坐標(biāo)的表示形式中,點(diǎn)的名稱和它的坐標(biāo)之間不能寫等號(hào). zhuangyuanbiji
向量的模與數(shù)量積 向量的數(shù)量積有兩種表示形式:一是按定義表示為a·b=|a||b|cos θ,二是用坐標(biāo)表示為. 求解向量數(shù)量積主要有三種方法:一是直接用定義式來轉(zhuǎn)化;二是建立直角坐標(biāo)系,轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算;三是以某兩個(gè)不共線向量作為平面上所有向量的一組基底,借助三角形法則,將要求的向量轉(zhuǎn)化為基底的和或差,從而使問題得到解決.求較復(fù)雜的向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí),可先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡,然后進(jìn)行計(jì)算. 向量的模與數(shù)量積之間有關(guān)系式|a|2=a2=a·a,這是一個(gè)簡單但容易用錯(cuò)的公式.由此還可以得出 |a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2, |a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2, |a+b+c|2=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2c·b等公式. 同時(shí)要注意實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的一些重要結(jié)論在向量范圍內(nèi)仍然成立,如(a+b)·(a-b)=a2-b2. 易錯(cuò)點(diǎn)5：向量的坐標(biāo)運(yùn)算不準(zhǔn)致誤
已知向量,k,t為正實(shí)數(shù),x=a+(t2+1)b,y=-a+b. (1)若x⊥y,求k的最大值; (2)是否存在k,t,使x∥y?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由. 【易錯(cuò)分析】 本題最易出錯(cuò)的是向量的坐標(biāo)運(yùn)算,如計(jì)算向量x,y時(shí),數(shù)與向量的乘積只乘向量在x軸或y軸上的坐標(biāo);坐標(biāo)形式的向量進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí),漏掉其中的某個(gè)坐標(biāo);當(dāng)向量x,y垂直時(shí)數(shù)量積的運(yùn)算錯(cuò)誤,向量x,y平行時(shí),向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系用錯(cuò)等.如把x∥y的條件“兩個(gè)向量坐標(biāo)交叉相乘之差等于零”錯(cuò)寫成“交叉相乘之和等于零”,即(-2t2-1)(-+)+(t2+3)(--)=0,其結(jié)果是k=,這樣只要給正數(shù)t一個(gè)大于的值,就得到一個(gè)正數(shù)k,其結(jié)果就是存在的. 【正確解答】 x=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=(--,-+). (1)若x⊥y,則x·y=0,即(-2t2-1)(--)+(t2+3)·(-+)=0, 整理得k==≤,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=1時(shí)取等號(hào), 所以kmax=. (2)假設(shè)存在正實(shí)數(shù)k,t,使x∥y,則(-2t2-1)(-+)-(t2+3)(--)=0,化簡得+=0,即t3+t+k=0. 因?yàn)?/span>k,t是正實(shí)數(shù),故滿足上式的k,t不存在. 所以不存在k,t,使x∥y. 向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān),只與其相對位置有關(guān). zhuangyuanbiji
向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)在向量坐標(biāo)化的前提下，如向量加法、減法、書城及向量的模都可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.如設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=.特別注意兩向量相減時(shí)坐標(biāo)的順序. (2)用坐標(biāo)形式來計(jì)算數(shù)量積是最常用的方法,一要熟悉數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,防止運(yùn)算上的錯(cuò)誤,設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2;二要熟悉兩向量的夾角公式cos θ=,在計(jì)算兩向量夾角為銳角或鈍角這類問題時(shí),要注意排除共線的情況;三要了解兩向量垂直的充要條件,設(shè)兩個(gè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1x2+y1y2=0. 易錯(cuò)點(diǎn)6：向量夾角范圍不清致誤 已知兩向量e1,e2滿足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2所成的角為60°,若向量2te1+7e2與向量e1+te2所成的角為鈍角,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 【易錯(cuò)分析】 兩個(gè)向量所成角的范圍是[0,π],兩個(gè)向量所成的角為鈍角,容易誤認(rèn)為兩向量所成角為π時(shí),所成的角也是鈍角,導(dǎo)致所求的結(jié)果范圍擴(kuò)大. 【正確解答】 設(shè)向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為θ,由θ為鈍角，知向量 ,故(2te1+7e2)·(e1+te2)=2t +(2t2+7)e1·e2+7t=2t2+15t+7<>解得-7t<>. 若向量2te1+7e2與向量e1+te2反向,則2te1+7e2=k(e1+te2)(k<> 從而且k<>解得即當(dāng)t=-時(shí),兩向量所成的角為π. 所以t的取值范圍是(-7,-)∪(-,-). 利用數(shù)量積的符號(hào)判斷兩向量的夾角取值范圍時(shí),不要忽視兩向量共線的情況.若a·b<>則a,b>∈(,π];若a·b>0,則a,b>∈[0, ). 兩個(gè)非零向量的夾角范圍為[0,π],當(dāng)兩個(gè)非零向量共線時(shí),它們的夾角可能為0,也可能為π. zhuangyuanbiji 解題時(shí)要全面考慮問題,數(shù)學(xué)試題中往往隱含著一些容易被考生忽視的因素,在解題時(shí)把這些因素考慮在內(nèi),是成功解題的關(guān)鍵,如【典例6】中的θ=π的情況,再如當(dāng)已知兩個(gè)向量所成的角為銳角時(shí),要注意角等于零的情況. 易錯(cuò)點(diǎn)7：不能區(qū)分實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算致誤
已知非零向量a,b滿足a+3b與7a-5b互相垂直,a-4b與7a-2b互相垂直,則a與b的夾角為 . 【易錯(cuò)分析】 本題由向量互相垂直得到數(shù)量積為0的方程組使問題得解.但在進(jìn)行運(yùn)算時(shí),由b2=2a·b得到b=2a是錯(cuò)誤的,而導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò). 【正確解答】 設(shè)a與b的夾角為θ,則cos θ= , 由已知條件,得 即 由②-①可得23b2-46a·b=0,即b2=2a·b, 代入①得a2=b2, 即|a|=|b|, 所以cos θ= = . 而θ∈[0,π],則有θ= .故填.
向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)數(shù),但它不同于兩個(gè)數(shù)的乘積,它的大小不僅與兩個(gè)向量的模相關(guān),還與兩個(gè)向量的夾角θ有關(guān),即a·b=|a||b|cos θ.對于兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角θ的取值范圍是[0,π],應(yīng)特別注意θ=0或θ=π的情況,如θ∈(0, )是a·b>0的充分不必要條件;θ∈(,π)是a·b<>的充分不必要條件;θ=是a·b=0的充要條件. zhuangyuanbiji
向量的數(shù)量積運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別 向量的數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果雖然是實(shí)數(shù),但數(shù)量積運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算不同,數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果由兩個(gè)向量的模與它們的夾角確定,向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律類似多項(xiàng)式的乘法.利用向量解決問題時(shí),可以通過建立直角坐標(biāo)系將其轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算即數(shù)的運(yùn)算來解,也可以利用向量運(yùn)算的幾何意義,通過向量的基本運(yùn)算將其轉(zhuǎn)化為平面圖形中的相關(guān)問題來解決. |
