導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用·易混易錯4點(diǎn) 所屬專輯：一輪復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)易混易錯88點(diǎn) 高考復(fù)習(xí)講義數(shù)學(xué)編輯部  筆記簡介 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用·易混易錯4點(diǎn) 易錯點(diǎn) 1：求導(dǎo)法則用錯致誤
(1)函數(shù)y= 的導(dǎo)數(shù)是 A. B.-sin x C. D. (2)求函數(shù)y=ax·x2的導(dǎo)數(shù).  【易錯分析】 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ),但往往因?yàn)閷降慕Y(jié)構(gòu)規(guī)律或求導(dǎo)法則記憶不正確而出錯,如(1)中對商的求導(dǎo)公式的記憶不正確,(2)中將 與 的求導(dǎo)法則相混淆，致結(jié)果出錯. 【正確解答】 (1) = = , 故選C. (2)y'=(ax·x2)' =ax·ln a·x2+2x·ax =ax(x2ln a+2x). zhuangyuanbiji
導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ),必須牢記 .另外,要學(xué)會逆用運(yùn)算法則. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算有很多變形技巧,稍有疏忽就會出錯.對有些函數(shù)而言,將它們的解析式化簡后再求導(dǎo)會極大地簡化運(yùn)算,而有些函數(shù),必須先將它們的解析式變形后才能求其導(dǎo)數(shù),求導(dǎo)時(shí)要先觀察解析式的特征,盡可能將其化為基本初等函數(shù)求導(dǎo).一般來說,分式函數(shù)的求導(dǎo),要先觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,看是否可以化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù);三角函數(shù)的求導(dǎo),先進(jìn)行化簡再求導(dǎo). 易錯題2：導(dǎo)數(shù)的幾何意義不明致誤
已知函數(shù)f(x)=x+(t>0)和點(diǎn)P(1,0)，過點(diǎn)P作曲線 的兩條切線PM,PN,切點(diǎn)分別為M(x1,y1),N(x2,y2). (1)求證:x1,x2為關(guān)于x的方程x2+2tx-t=0的兩根; (2)設(shè)|MN|=g(t),求函數(shù)g(t)的表達(dá)式. 【易錯分析】 解本題易出現(xiàn)的錯誤為:(1)不理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求錯切線方程;(2)不能根據(jù)第(1)問的結(jié)果尋找合理的方法求解 g(t),在根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出g(t)后,不能正確利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代入,導(dǎo)致最后結(jié)果出錯. 【正確解答】 (1)由題意,可知, 因?yàn)?/span> 所以切線PM的方程為 又切線PM過點(diǎn)P(1,0), 所以 即+2tx1-t=0.① 同理,由切線PN也過點(diǎn)P(1,0),得+2tx2-t=0.② 由①②,可得x1,x2是方程x2+2tx-t=0的兩根. (2)由(1),知 |MN|= = = , 所以g(t)=(t>0). 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線斜率時(shí),一定要檢驗(yàn)已知點(diǎn)是否是曲線上的點(diǎn),如【典例8】中,雖然點(diǎn)P的坐標(biāo)是確定的,但該點(diǎn)不是切點(diǎn),因?yàn)?/span>t>0,f(1)=1+t≠0,并且函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)處的切線只有一條,而【典例8】中“過點(diǎn)P作曲線的兩條切線”,所以點(diǎn)P不是切點(diǎn). zhuangyuanbiji
導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率.關(guān)于導(dǎo)數(shù)幾何意義的常見題型主要有以下三種: 一是已知曲線切線的切點(diǎn)坐標(biāo),求切線方程. 這類題通常已知切點(diǎn)的坐標(biāo)(或橫坐標(biāo)),可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求出切線的斜率.即先求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f '(x0),再得切線方程y-f(x0)=f '(x0)(x-x0). 二是已知曲線外一定點(diǎn),求經(jīng)過該點(diǎn)的切線方程. 此時(shí)要注意“過點(diǎn)A的切線”與“點(diǎn)A處的切線”是不同的.如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn),則在求解時(shí)應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),再根據(jù)條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)及切線斜率,最后確定切線方程. 三是已知曲線的切線方程(或斜率),求切點(diǎn)坐標(biāo). 由于曲線斜率為某一定值的切線不一定唯一,利用已知直線的斜率求出的切點(diǎn)未必滿足已知切線方程,因此應(yīng)注意將所求切點(diǎn)代入直線(或曲線)方程進(jìn)行檢驗(yàn). 易錯點(diǎn)3：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系運(yùn)用不當(dāng)致誤
已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,滿足f(0)=f(1)=0,且f(x)的最小值是-. (1)求f(x)的解析式; (2)設(shè)函數(shù)h(x)=ln x-2x+f(x),若函數(shù)h(x)在區(qū)間[,m-1]上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【易錯分析】 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是解導(dǎo)數(shù)大于零或小于零的不等式,受此思維定式的影響,容易認(rèn)為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[,m-1]上大于零或小于零,而忽視了導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[,m-1]上的個別點(diǎn)處可以等于零,這樣的點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性. 【正確解答】 (1)因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)滿足f(0)=f(1)=0,所以其對稱軸為x=. 又f(x)的最小值是-, 故f(x)=a(x-)2-. 因?yàn)?/span>f(0)=0, 所以a=1, 故f(x)=x2-x. (2)因?yàn)?/span>h(x)=ln x-2x+x2-x=ln x+x2-3x, 所以h'(x)=+2x-3=, 所以h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,]和[1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為[,1]. 根據(jù)題意,得 解得m≤2. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(,2]. 【典例9】第(2)問中,根據(jù)題設(shè)條件,知對于區(qū)間[,m-1]有m-1>,再結(jié)合二次函數(shù)y=(2x-1)(x-1)的圖像與性質(zhì),得出導(dǎo)函數(shù)h'(x)在區(qū)間[,m-1]上不大于零,或區(qū)間[,m-1]是使導(dǎo)函數(shù)h'(x)不大于零的集合的子集,對這個結(jié)論要弄清楚,不要混淆. 研究函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系時(shí),考生要注意以下細(xì)節(jié)問題:f '(x)<>x∈(a,b))是f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減的充分不必要條件.實(shí)際上,可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上為單調(diào)遞增(減)函數(shù)的充要條件為:對于任意x∈(a,b),有f'(x)≥0(f '(x)≤0)且f '(x)在(a,b)的任意子區(qū)間上都不恒為零. 已知函數(shù)的極值求參數(shù)時(shí),通常利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的極值等于零來建立關(guān)于參數(shù)的方程,但所求得的參數(shù)值必須進(jìn)行檢驗(yàn). zhuangyuanbiji
函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與其單調(diào)性之間的關(guān)系 (1)在區(qū)間(a,b)上,若f '(x)>0,則f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞增;若f '(x)<>則f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減;若f '(x)=0恒成立,則f(x)在這個區(qū)間上為常函數(shù);若f '(x)的符號不確定,則f(x)不是單調(diào)函數(shù).(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增,則 其逆命題不成立，因?yàn)?/span>f '(x)≥0包括f '(x)>0或f '(x)=0,當(dāng)f '(x)>0時(shí),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增,當(dāng)f '(x)=0時(shí),f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為常函數(shù);同理,若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減,則f '(x)≤0,其逆命題不成立.(3)使f '(x)=0的離散的點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性. 易錯點(diǎn)4：導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系運(yùn)用不當(dāng)致誤
設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-2x2+x+c(a>0). (1)當(dāng)a=1,且函數(shù)圖像過(0,1)時(shí),求函數(shù)的極小值; (2) 若f(x)在R上無極值點(diǎn),求a的取值范圍 【易錯分析】 求出導(dǎo)函數(shù)f '(x)的零點(diǎn),然后判斷導(dǎo)函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值符號,若符號相反,則該零點(diǎn)是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),若符號相同,則不是極值點(diǎn). 【正確解答】 由題得f '(x)=3ax2-4x+1. (1)函數(shù)圖像過(0,1)時(shí),有f(0)=c=1. 當(dāng)a=1時(shí),f '(x)=3x2-4x+1. 令f '(x)>0,解得x或x>1; 令f '(x)<>解得x<> 所以函數(shù)在(-∞,]和[1,+∞)上單調(diào)遞增,在[,1]上單調(diào)遞減,極小值是f(1)=13-2×12+1+1=1. (2)若f(x)在R上無極值點(diǎn),則f '(x)在R上是單調(diào)函數(shù),即f '(x)≥0或f '(x)≤0恒成立. ①當(dāng)a=0時(shí),f '(x)=-4x+1,顯然不滿足條件; ②當(dāng)a≠0時(shí),f '(x)≥0或f '(x)≤0恒成立的充要條件是Δ=(-4)2-4×3a×1≤0, 即16-12a≤0,解得a≥. 綜上,a的取值范圍為[,+∞). 考生應(yīng)該注意區(qū)分極值與最值的概念.函數(shù)的極值表示函數(shù)在某一點(diǎn)附近的情況,是在局部對函數(shù)值的比較;函數(shù)的最值表示函數(shù)在一個區(qū)間上的情況,是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較.函數(shù)的極值不一定是最值,最值點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn). zhuangyuanbiji
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值點(diǎn)之間的關(guān)系 f '(x0)=0只是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件,從以下三個方面理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系:(1)定義域D上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的充要條件是 f '(x0)=0,并且 f '(x)在x0兩側(cè)異號,若“左負(fù)右正”則x0為極小值點(diǎn),若“左正右負(fù)”則x0為極大值點(diǎn);(2)函數(shù)f(x)在x0處取得極值時(shí),它在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不一定存在,例如函數(shù)y=|x|,結(jié)合圖像,知它在x=0處有極小值,但它在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在;(3)f '(x0)=0既不是函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值的充分條件也不是必要條件.最后提醒考生一定要注意對極值點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn). 感謝你閱讀微學(xué)筆記！ 這里是您的云端筆記資料庫，長圖文筆記貼，一頁盡覽知識點(diǎn)！ 剪輯、粘貼、拼接，輕松三步，即可快速創(chuàng)建自己的私人微筆記！ |
