德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特(圖8-6)是19世紀(jì)末和20世紀(jì)上半葉最偉大的數(shù)學(xué)家之一．

希爾伯特

希爾伯特特別強(qiáng)調(diào)重大問(wèn)題在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，他指出：“如果我們想對(duì)最近的將來(lái)數(shù)學(xué)知識(shí)可能的發(fā)展有一個(gè)概念，那就必須回顧一下當(dāng)今科學(xué)提出的，希望在將來(lái)能夠解決的問(wèn)題．”同時(shí)又指出：“某類問(wèn)題對(duì)于一般數(shù)學(xué)進(jìn)程的深遠(yuǎn)意義以及它們?cè)谘芯空邆€(gè)人的工作中所起的重要作用是不可否認(rèn)的．只要一門科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿生命力，而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或中止．”1900年8月，在巴黎召開(kāi)的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，年僅38歲的希爾伯特應(yīng)邀做了題為“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的著名講演．在這具有歷史意義的演講中，他提出許多重要的思想：正如人類的每一項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問(wèn)題．正是通過(guò)這些問(wèn)題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新觀點(diǎn)，達(dá)到更為廣闊的自由的境界．

他闡述了重大問(wèn)題所具有的特點(diǎn)，好的問(wèn)題應(yīng)具有以下三個(gè)特征：清晰性和易懂性；雖困難但又給人以希望；意義深遠(yuǎn)．同時(shí)，他還分析了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常會(huì)遇到的困難及克服困難的一些方法．

就是在這次會(huì)議上，希爾伯特根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì)提出23個(gè)懸而未決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即著名的“希爾伯特的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題”．這次大會(huì)是數(shù)學(xué)史上一個(gè)重要的里程碑，他提出的23個(gè)問(wèn)題更是功勛卓著、影響深遠(yuǎn)．

希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題分為四大塊：第1到第6問(wèn)題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題；第7到第12問(wèn)題是數(shù)論問(wèn)題；第13到第18問(wèn)題是屬于代數(shù)和幾何問(wèn)題；第19到第23問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)分析問(wèn)題．經(jīng)過(guò)一個(gè)多世紀(jì)，希爾伯特提出的23個(gè)問(wèn)題中，接近一半已經(jīng)解決或基本解決．有些問(wèn)題雖未解決，但也取得了重要的進(jìn)展．

問(wèn)題1康托爾的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問(wèn)題(公理化集合論)

1874年，康托爾猜測(cè)在可數(shù)集基數(shù)與實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)．1938年，奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德?tīng)栕C明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與策梅洛-弗倫克爾(Zermelo-Fraenkel，ZF)集合論公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性．1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科恩證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合論公理系統(tǒng)彼此獨(dú)立．因而連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF集合論公理系統(tǒng)加以證明，即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真?zhèn)尾豢赡茉赯F集合論公理系統(tǒng)內(nèi)判定．在這個(gè)意義上，問(wèn)題已經(jīng)解決了．

問(wèn)題2算術(shù)公理的相容性(數(shù)學(xué)基礎(chǔ))

歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算術(shù)公理的相容性．希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明方法加以證明，后來(lái)發(fā)展為系統(tǒng)的希爾伯特計(jì)劃(“元數(shù)學(xué)”或“證明論”)，但1931年，哥德?tīng)柊l(fā)表“不完備性定理”做出否定．1936年，根茨(G. Gentaen，1909—1945)使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的相容性，但數(shù)學(xué)的相容性問(wèn)題至今未解決．

問(wèn)題3只根據(jù)合同公理證明等底等高的四面體有相等之體積是不可能的(幾何基礎(chǔ))

問(wèn)題的含義是：存在兩個(gè)等底等高的四面體，它們不可能分解為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等，這一問(wèn)題很快于1900年由希爾伯特的學(xué)生德恩(M. Dehn，1878—1952)給出了肯定的解答．這是希爾伯特問(wèn)題中最早獲得解決的一個(gè)．

問(wèn)題4直線作為兩點(diǎn)間最短距離問(wèn)題(幾何基礎(chǔ))

這一問(wèn)題提得過(guò)于一般，滿足這一性質(zhì)的幾何例子很多，只需要加以某些限制條件．在構(gòu)造特殊度量幾何方面已有很大進(jìn)展，但未完全解決．1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫(Pogleov)宣布，在對(duì)稱距離情況下，問(wèn)題獲得解決．

問(wèn)題5不要定義群的函數(shù)的可微性假設(shè)的李群概念(拓?fù)淙赫?

這一問(wèn)題簡(jiǎn)稱連續(xù)群的解析性，即是否每一個(gè)局部歐式群都一定是李群．經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的努力，這個(gè)問(wèn)題于1952年，由美國(guó)格里森(Gleason)、蒙哥馬利(Montqomery)和齊賓(Zipping)共同解決．1953年，日本的山邁彥得到完全肯定的結(jié)果．

問(wèn)題6物理公理的數(shù)學(xué)處理(數(shù)學(xué)物理)

希爾伯特建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演出全部物理學(xué)．1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸?A. Kolmogorov，1903—1987)將概率論公理化．后來(lái)在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論和熱力學(xué)等領(lǐng)域，公理化方法獲得很大成功，但物理學(xué)各個(gè)分支能否全盤公理化，很多人對(duì)此表示懷疑．公理化的物理意味著什么，仍是需要探討的問(wèn)題．

問(wèn)題7某些數(shù)的無(wú)理性與超越性(超越數(shù)論)

要求證明：若是代數(shù)數(shù)，是無(wú)理數(shù)的代數(shù)數(shù)，則一定是超越數(shù)或至少是無(wú)理數(shù)．蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家蓋爾豐德(A. O. Gelfond)于1929年、德國(guó)數(shù)學(xué)家施奈德(T. Schneieder)及西格爾(C. L. Siegel，1896—1981)于1934年各自獨(dú)立地解決了這問(wèn)題的后半部分．1966年貝克等大大推廣了此結(jié)果．但是，超越數(shù)理論還遠(yuǎn)遠(yuǎn)未完成．要確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，還沒(méi)有統(tǒng)一的方法，如歐拉常數(shù)的無(wú)理性至今未獲得證明．

問(wèn)題8素?cái)?shù)分布問(wèn)題(數(shù)論)

希爾伯特在此問(wèn)題中提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孿生素?cái)?shù)問(wèn)題．一般情形的黎曼猜想至今未解決．哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問(wèn)題也未最終解決，這兩個(gè)問(wèn)題的最佳結(jié)果均屬于中國(guó)的數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)．

問(wèn)題9任意數(shù)域中最一般的互反律之證明(類域論)

該問(wèn)題于1921年由日本學(xué)者高木貞治(1875—1860)、1927年由德國(guó)學(xué)者阿廷(E. Artin)各自給以基本解決．類域理論至今仍在發(fā)展之中．

問(wèn)題10丟番圖方程可解性的判別(不定分析)

希爾伯特提出問(wèn)題：能否通過(guò)有限步驟來(lái)判定不定方程是否存在有理整數(shù)解．1970年，由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂雅塞維奇證明希爾伯特所期望的一般算法是不存在的．盡管得出了否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系列很有價(jià)值的副產(chǎn)品，其中不少和計(jì)算機(jī)科學(xué)有密切聯(lián)系．

問(wèn)題11系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型(二次型理論)

德國(guó)數(shù)學(xué)家哈塞(H. Hasse，1898—1979)于1929年和西格爾于1951年在這個(gè)問(wèn)題上獲得了重要的結(jié)果．20世紀(jì)60年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家魏依取得了新的重大進(jìn)展，但未獲最終解決．

問(wèn)題12阿貝爾(Abel)域上的克羅內(nèi)克(L. Kroneker，1823—1891)定理推廣到任意代數(shù)有理域(復(fù)乘法理論)

尚未解決．

問(wèn)題13不可能用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程(方程論與實(shí)函數(shù)論)

連續(xù)函數(shù)情形于1957年由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德(V. Arnold，1937—2010)否定解決．1964年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維圖斯金(Vituskin)推廣到連續(xù)可微情形．但若要求是解析函數(shù)，則問(wèn)題仍未解決．

問(wèn)題14證明某類完全函數(shù)系的有限性(代數(shù)不變式理論)

1958年，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜舉出反例給出了否定解決．

問(wèn)題15舒伯特(Schubert)記數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)(代數(shù)幾何學(xué))

由于許多數(shù)學(xué)家的努力，舒伯特演算的基礎(chǔ)的純代數(shù)處理已有可能，但舒伯特演算的合理性仍待解決．至于代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，已由荷蘭數(shù)學(xué)家范·德·瓦爾登于1940年及法國(guó)數(shù)學(xué)家魏依于1950年各自獨(dú)立建立．

問(wèn)題16代數(shù)曲線與曲面的拓?fù)?曲線與曲面的拓?fù)鋵W(xué)、常微分方程的定性理論)

這個(gè)問(wèn)題分為兩部分：前半部分涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目，后半部分要求討論極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)和相對(duì)位置．關(guān)于問(wèn)題的前半部分，近年來(lái)不斷有重要結(jié)果出現(xiàn)．關(guān)于問(wèn)題的后半部分，1978年，中國(guó)的史松齡在秦元?jiǎng)住⑷A羅庚的指導(dǎo)下，與王明淑分別舉出了至少有4個(gè)極限環(huán)的具體例子．1983年，中國(guó)的秦元?jiǎng)走M(jìn)一步證明了二次系至多有4個(gè)極限環(huán)，從而最終解決了二次微分方程的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，并且為希爾伯特第16問(wèn)題的研究提供了新的途徑．

問(wèn)題17半正定形式的平方表示式(實(shí)域論)

一個(gè)實(shí)數(shù)n元多項(xiàng)式對(duì)任意數(shù)組都恒大于零或等于零，是否能寫成平方和的形式？此問(wèn)題于1927年，由阿廷給予肯定的解決．

問(wèn)題18用全等多面體構(gòu)造空間(結(jié)晶體群理論)

該問(wèn)題由三部分組成．第一部分歐式空間僅有有限個(gè)不同類的帶基本區(qū)域的運(yùn)動(dòng)群．第二部分包括是否存在不是運(yùn)動(dòng)群的基本區(qū)域但經(jīng)適當(dāng)毗連即可充滿全空間的多面體？第一部分由德國(guó)數(shù)學(xué)家貝爾巴赫(Bieberbach)于1910年做出了肯定的回答．第二部分由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊因哈特(Reinhart)于1928年、黑施于1935年做出了部分解決．第三部分至今未能解決．

問(wèn)題19正則變分問(wèn)題的解是否一定解析(橢圓型偏微分方程理論)

1929年，德國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦(L. Bernstein，1918—1990)證明了一個(gè)變?cè)?、解析的非線性橢圓方程，其解必定是解析的．這個(gè)結(jié)果后來(lái)又被伯恩斯坦和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家彼德羅夫斯基等推廣到多變?cè)蜋E圓組的情形．在此意義下，問(wèn)題已獲解決．

問(wèn)題20一般邊值問(wèn)題(橢圓型偏微分方程理論)

偏微分方程邊值問(wèn)題的研究正處于蓬勃發(fā)展的階段，已成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支，目前還在繼續(xù)發(fā)展，進(jìn)展十分迅速．

問(wèn)題21具有給定單值群的線性偏微分方程的存在性證明(線性常微分方程大范圍理論)

此問(wèn)題屬于線性常微分方程的大范圍理論．希爾伯特于1905年、勒爾(H. Rohrl)于1957年分別得出重要結(jié)果．1970年，法國(guó)數(shù)學(xué)家德利涅(Deligne)做出了突出的貢獻(xiàn)．

問(wèn)題22用自守函數(shù)將解析函數(shù)單值比(黎曼曲面體)

此問(wèn)題涉及深?yuàn)W的黎曼曲面理論，一個(gè)變數(shù)的情形已由德國(guó)數(shù)學(xué)家克貝(P. Koebe)于1907年解決，但一般情形尚未解決．

問(wèn)題23變分法的進(jìn)一步發(fā)展(變分法)

這是一個(gè)不明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只是談了一些對(duì)變分法的一般看法．希爾伯特本人和許多數(shù)學(xué)家對(duì)變分法的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)．20世紀(jì)變分法已有了很大的進(jìn)展．

希爾伯特的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的影響及意義

希爾伯特的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題絕大部分業(yè)已存在，并不是希爾伯特首先提出來(lái)的，但他站在更高的層面，用更尖銳、更簡(jiǎn)單的方式重新提出了這些問(wèn)題，并指出了其中許多問(wèn)題的解決方向．在世紀(jì)之交提出的這23個(gè)問(wèn)題，涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域．一個(gè)世紀(jì)以來(lái)，這些問(wèn)題激發(fā)著數(shù)學(xué)家們濃厚的研究興趣，對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著巨大的推動(dòng)作用．

許多世界一流的數(shù)學(xué)家都深深為這23個(gè)問(wèn)題著迷，并力圖解決這些問(wèn)題．希爾伯特所提出的問(wèn)題清晰、易懂，其中一些有趣得令許多外行都躍躍欲試．解決其中任意一個(gè)，或者在任意一個(gè)問(wèn)題上有重大突破，就自然地被公認(rèn)為是世界一流水平的數(shù)學(xué)家．我國(guó)的數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)因在解決希爾伯特第8個(gè)問(wèn)題(即素?cái)?shù)問(wèn)題，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大貢獻(xiàn)而為世人所矚目，由此也可見(jiàn)希爾伯特問(wèn)題的特殊地位．經(jīng)過(guò)整整一個(gè)世紀(jì)，希爾伯特的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題中，將近一半已經(jīng)解決或基本解決．有些問(wèn)題雖未解決，但也取得了重要進(jìn)展．

希爾伯特提出的問(wèn)題是極其深?yuàn)W的，不少問(wèn)題一般人連題目也看不懂．正因?yàn)槔щy，才吸引有志之士去做巨大的努力．但它又不是不可接近的，因而提供了使人們終有收獲的科學(xué)獵場(chǎng)．一百多年來(lái)，人們始終注視著希爾伯特問(wèn)題的研究，絕不是偶然的．希爾伯特問(wèn)題的研究與解決大大推動(dòng)了許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，包括數(shù)理邏輯、幾何基礎(chǔ)、李群、數(shù)學(xué)物理、概率論、數(shù)論、函數(shù)論、代數(shù)幾何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面論和變分法等．第2問(wèn)題和第10問(wèn)題的研究，還促進(jìn)了現(xiàn)代計(jì)算機(jī)理論的成長(zhǎng)．

當(dāng)然，預(yù)測(cè)不可能全部符合后來(lái)的發(fā)展，20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的廣度和深度都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出20世紀(jì)初年的預(yù)料，像代數(shù)拓?fù)?、抽象代?shù)、泛函分析和多復(fù)變量函數(shù)等許多理論學(xué)科都未列入這23個(gè)問(wèn)題，更不要說(shuō)與應(yīng)用有關(guān)的應(yīng)用數(shù)學(xué)以及隨計(jì)算機(jī)出現(xiàn)發(fā)展起來(lái)的計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)了．

（本期責(zé)編：王芳）

本文摘編自胡偉文 徐忠昌主編《數(shù)學(xué)文化欣賞》（北京：科學(xué)出版社，責(zé)任編輯吉正霞，2016.11）第八章部分，內(nèi)容略有刪節(jié)。

ISBN：978-7-03-050489-0

數(shù)學(xué)對(duì)于人類文化進(jìn)步產(chǎn)生了重要的推動(dòng)作用，對(duì)人的思想、精神世界和人文素質(zhì)有著巨大的影響．高等學(xué)校開(kāi)設(shè)了許多數(shù)學(xué)課程，但仍不可忽視數(shù)學(xué)文化的教育功能．

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