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每日一題[219] 降次與消元

 fowlll 2016-10-03

2014年全國高中數(shù)學聯(lián)賽安徽省預賽第12題:

求證:

(1)方程 恰有一個實根 ,并且 是無理數(shù);

(2) 不是任何整數(shù)系數(shù)二次方程 , )的根.


證明 ? ?(1)設函數(shù) ,則

時, ,于是函數(shù) 單調遞增,注意到 ,因此函數(shù) 上有一個實根,且此根在區(qū)間 上.

時,有

方程無實根.

時,有

方程無實根.

于是方程 恰有一個實根.下面用反證法證明該實根為無理數(shù).

若實根 ,其中 為互質的正整數(shù),則

于是 ,可得 ,這樣就與 在區(qū)間 上矛盾.

因此 為無理數(shù).

(2)用反證法.若不然,則有

于是

利用此式對

連續(xù)降次,有

整理得

從而

從中消元 ,得

由第1小題可知,矛盾.

因此原命題得證.


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“數(shù)海拾貝”由中國最頂尖的高中數(shù)學教研老師蘭琦和金葉梅主編。第一個欄目《每日一題》,每天精選一道高中數(shù)學好題,從破題的思路,圖文并茂的講解到精辟到位的總結,同學們每天只要花上10分鐘認真閱讀和思考,一定能在兩三個月獲得明顯的進步,在高考中取得好成績。

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