第十五講 綜合題選講

小學(xué)數(shù)學(xué)競賽綜合題，主要包括以下幾個方面： ①邏輯關(guān)系較復(fù)雜的問題； ②數(shù)與形相結(jié)合的問題； ③較復(fù)雜的應(yīng)用題；

④較靈活的組合、搭配問題； ⑤與“最多”、“最少”有關(guān)的問題。

解答小學(xué)數(shù)學(xué)競賽的綜合題，首先要能熟練、正確解答有關(guān)的基本題，同時要認(rèn)真讀題，準(zhǔn)確理解題意，在分析題目條件，設(shè)計(jì)解題程序上下功夫。

例1 一個正方體的八個頂點(diǎn)處分別標(biāo)上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱兩端上所標(biāo)的二數(shù)之和寫在這條棱的中點(diǎn)，問：在棱的中點(diǎn)最少能標(biāo)出幾種數(shù)值？

分析 對于1、2、3、4、5、6、7、8這些數(shù)中兩兩之和，有下列情形： 有4種形成9的和：1+8=2+7=3+6=4+5； 有3種形成8的和：1+7=2+6=3+5； 有3種形成10的和：2+8=3+7=4+6； 有3種形成7的和：1+6=2+5=3+4； 有3種形成11的和：3+8=4+7=5+6； 有2種形成6的和：1+5=2+4； 有2種形成5的和：1+4=2+3； 有2種形成12的和：4+8=5+7； 有2種形成13的和：5+8=6+7；

此外還有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15各一種。

首先指出棱的中點(diǎn)處不可能僅出現(xiàn)3種數(shù)，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的數(shù)，如果只用其中3個數(shù)（標(biāo)在棱的中點(diǎn)處），那么這三個數(shù)不能寫成共12種不同形式的（取自于1、2、?、8之中的兩數(shù)）和，而正方體棱數(shù)有12個。

再說明，棱的中點(diǎn)處不可能只標(biāo)有4種不同數(shù)值，為證明這一點(diǎn)，可以分下列情況說明。 如果在12條棱上有3個“7”、3個“8”、3個“10”、3個“11”，那么在正方體頂點(diǎn)處要出現(xiàn)4次“6”進(jìn)行運(yùn)算.這是不可能.因?yàn)槊總€頂點(diǎn)處的數(shù)只參加3次加法運(yùn)算。 如果在12條棱上有3個“9”，此外，必定還有7、8、10、11中的某三個數(shù)字（各三次），那么棱上數(shù)之和只能是

（9+7+8+10）33=102， （9+8+10+11）33=114， （9+7+10+11）33=111， （9+7+8+11）33=105。

它們都與棱上所有數(shù)之和應(yīng)當(dāng)是（1+2+?+8）33=108矛盾.這說明棱上的數(shù)不可能是3個“9”以及7、8、10、11中某3個各出現(xiàn)3次。

如果在12條棱的中點(diǎn)出現(xiàn)4個“9”以及另外三種數(shù)，那么另外三種數(shù)應(yīng)各出現(xiàn)3、3、2次.出現(xiàn)3次的只能是7、8、10、11中的兩個.出現(xiàn)兩次的則是5、6、12、13中的一個或者是7、8、10、11中未被用了3次的兩個中的一個.設(shè)出現(xiàn)兩次的棱的中點(diǎn)數(shù)為a，出現(xiàn)3次的為b或c，則因?yàn)?439+33（b+c）+2a=108，

所以b+c必須為偶數(shù).在7、8、10、11中取兩數(shù)b、c，使其和為偶數(shù)，只有7、11及8、10這兩種可能.無論哪種情形，都有b+c=18，因此2a=108-36-3318=18，a=9.與12條棱有4個9矛盾.這說明上述情況不能出現(xiàn)。

綜上所述，棱中點(diǎn)不可能僅有四種不同數(shù)。

棱中點(diǎn)可以有五種不同數(shù)值，這可由右圖看出：棱中點(diǎn)共出現(xiàn)4個“9”、3個“10”、3個“8”、1個“6”、1個“12”。

這說明棱的中點(diǎn)最少能標(biāo)出5種不同數(shù)值。

例2 一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的是1，最大的是25，除去1之外，這組數(shù)中的任一個數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個數(shù)的2倍，或者等于另外兩個數(shù)之和.在滿足要求的所有可能的數(shù)組中，尋找出使得組內(nèi)各數(shù)之和最大及最小的數(shù)組，并求這組數(shù)之和的最大值、最小值。

分析 很自然猜想并容易驗(yàn)證數(shù)組1，2，3，?，24，25符合題目要求，顯然這個數(shù)組的和是最大的，這個最大的和是1+2+3+?+24+25=325。 困難在于搜尋最小的數(shù)組。

把數(shù)組中的數(shù)由小到大排起來，容易看出：

1后邊的數(shù)一定是2；2后邊可以是3，也可以是4；3后邊可能是4、5、6；4后邊可能是5、6、8.把它們列出來就是

1，2，3，4，?，25； 1，2，3，5，?，25； 1，2，3，6，?，25； 1，2，4，5，?，25； 1，2，4，6，?，25； 1，2，4，8，?，25。

25是奇數(shù)，它只能是另外兩個數(shù)之和，容易驗(yàn)證在上述數(shù)列的“?”處不能只加入一個數(shù)，也就是說，在上述六種數(shù)列的每個“?”中，至少要再加入兩個數(shù).而且，還推知后加入的數(shù)中至少有兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和不小于25.理由是，如果后加入的任意兩個數(shù)之和都小于25，那么就不可能得到最后的25這個數(shù)。 根據(jù)以上理由，我們應(yīng)當(dāng)先考慮1，2，3，4，?，25這一列數(shù).看看是否能只加入兩個數(shù)，且加入的兩個數(shù)之和是25。

25=5+20=6+19=7+18=8+17=9+16 =10+15=11+14=12+13。

在1，2，3，4，?，25中的“?”處可加入5，但是不能有20（20不是1、2、3、4、5中任何一數(shù)的兩倍，也不是其中任何兩數(shù)之和）；可加入6但不能在6后寫19；可加入7，但不能在7后寫18，可加入8，但不能在8后寫17.另一方面，緊接1，2，3，4之后不可加入9、10、11、12.這表明1，2，3，4，?，25中的“?”處僅加入兩個數(shù)，且這兩個數(shù)之和是25是辦不到的。

接著考察1，2，3，5，?，25：是否可以在“?”中僅加兩個數(shù)，得到符合題意的數(shù)組.

容易看出1，2，3，5，10，15，25是符合題意的一組數(shù).因?yàn)樵凇?”中加入的兩個數(shù)，不論怎么加，它們的和的最小值是25，現(xiàn)在加入10和15，其和恰是最小值25.所以這數(shù)組的和最小.因此，所求的最小和是

1+2+3+5+10+15+25=61。 例3 觀察下面的減法算式

□□□□-□□□-□□=□。

其中□□□□表示四位數(shù)，□□□表示三位數(shù)，□□表示兩位數(shù)，□表示一位數(shù).問：這樣的正確算式共有幾種？

分析 換成加法算式，就是要回答共有多少種形如 □□□+□□+□=□□□□

的正確算式？可以從兩方面考慮：

①如果□□□+□□是個三位數(shù).那么這個和再加上一個一位數(shù)應(yīng)該是四位數(shù)，容易看出 991+9=1000，

992+9=1001，992+8=1000，

993+9=1002，993+8=1001，993+7=1000， ?

999+9=1008，999+8=1007，?999+1=1000，這些和都是四位數(shù)，另一方面， 991=892+99=893+98=894+97=?=981+10； 992=893+99=894+98=895+97=?=982+10； ?

999=900+99=901+98=902+97=?=989+10.

可見，由一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)之和形成的符合題意的三位數(shù)是991、992、?、999.此時符合題意的算式共有903（1+2+?+9）=4050（種）。

②如果□□□+□□是個四位數(shù)，那么這個四位數(shù)一定是“1□□□”形的數(shù)。

容易看出：滿足上述限定條件的最小的三位數(shù)是901.這時901+99=1000是個最小的四位數(shù)。 902+99，902+98是四位數(shù)；

903+99，903+98，903+97是四位數(shù)； ?

990+99，990+98，990+97，?，990+10是四位數(shù)， 991+99，991+98，991+97，?，991+10是四位數(shù)， ?

999+99，999+98，999+97，?，999+10是四位數(shù).可見，使□□□+□□是四位數(shù)的算式有 1+2+3+?+90+9039=4905（種）。

注意到每一個形如□□□+□□是個四位數(shù)的算式中，再加上1、2、3、?、9后仍然是四位數(shù)，因此當(dāng)：□□□+□□是四位數(shù)時，不同的算式 □□□□-□□□-□□=□共有 490539=44145（種）。

把①，②兩種情況結(jié)合起來知共有

44145+4050=48195種合乎題目要求的算式。

說明：這三個例題雖然涉及的具體內(nèi)容不同，但是有一個共同特性是都要分成幾類較簡單的情形，逐

一回答較簡單的情形的問題，最后解決原來提出來的問題，這種解題方法叫做“分情況解決問題”.通過用分情況的方法解題，可以提高同學(xué)們思維的條理性，培養(yǎng)分析問題的好習(xí)慣。

例4 桌上放著100個已經(jīng)涂了色的小球.其中有紅球、白球、黃球.允許你對它們改色，辦法是：取出兩個不同色的球，把它們涂上與它們顏色都不同的另一種顏色（例如你取出一個白球一個黃球，就把它們都改涂為紅色），然后放回桌上，這叫“一次操作”，問：經(jīng)過有限次操作后，你能否把所有球都改為同一種顏色？說明你的理由。

分析 100不是3的倍數(shù)，設(shè)原有紅球、白球、黃球各x、y、z個.那么x、y、z不都是3的倍數(shù)，也不可能出現(xiàn)這樣的情形：x、y、z三個數(shù)被3除后的余數(shù)互不相同（否則x+y+z=100就應(yīng)該是3的倍數(shù)）.可見，x、y、z中有兩個被3除的余數(shù)相同，另一個被3除的余數(shù)與它們不同。

設(shè)y、z被3除之后的余數(shù)相同，x被3除后的余數(shù)與它們不同。

如果y=z，那么可以用一白一黃變兩個紅球的方式經(jīng)過有限步驟把所有的球都變?yōu)榧t色。

如果y≠z.比如說y＜z，z-y必是3的倍數(shù).那么可以先進(jìn)行“1白1黃變2紅”的改色，直到把白球用完，這時桌上的球只有2種：紅球和黃球.而此時黃球數(shù)目z-y是3的倍數(shù).把黃球3個一組進(jìn)行分組，黃球被分成若干組，取出一組（3個）黃球和1個紅球，對這一組（4個球）進(jìn)行改色，辦法是：

先用1紅1黃變2白，這時4個球是2白、2黃.再把2白2黃變?yōu)?紅.于是每3個黃球加1個紅球都可變?yōu)?個紅球.因?yàn)辄S球的組數(shù)是有限的，而紅球越改越多所以經(jīng)過有限步改色后，總可使桌上的球全變?yōu)榧t色。

說明：題目中的100并不是本質(zhì)的數(shù)，也可以改為101，103，或不是3的倍數(shù)的其他數(shù)字.證法一樣.另一方面，最后變成的顏色決定于原來三種球中，哪色球被3除所得的余數(shù)是單獨(dú)的，例如當(dāng)紅色球被3除的余數(shù)與白球、黃球數(shù)目被3除的余數(shù)不同，而白球、黃球數(shù)被3除后余數(shù)相同時，最后就全變?yōu)榧t色。

習(xí)題十五

1.有紅球3個，白球2個，黃球1個.每次可取兩個異色球，把它們改為另一種顏色（如例4中一樣），問：能否經(jīng)過有限次改色，最后使全部球同色？

2.如上題條件，如果改色時，每次取兩個球（不一定異色），可把兩個球改成與兩球的原色都不同的同一種顏色，問：能否經(jīng)過有限次改色，使全部球同色？

3.把1，2，?，91分成7組，每組13個數(shù)字，使各組中的數(shù)之和都相等，能否辦到？說明理由.

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