一、區(qū)分知識與素養(yǎng)

        （一）數(shù)學(xué)有用與無用

        有很多人認(rèn)為數(shù)學(xué)很重要、很有用，但是同樣也有很多人害怕數(shù)學(xué)，質(zhì)疑數(shù)學(xué)在生活中的作用。即使是每天和數(shù)學(xué)打交道的數(shù)學(xué)教師，不少人都感到困惑。

        有位教師說：“我除了教數(shù)學(xué)，還能干什么？”言下之意，他所學(xué)的數(shù)學(xué)，除了教學(xué)生應(yīng)付考試之外，毫無用處。

        一位教師給學(xué)生講數(shù)學(xué)的重要性，舉例說：“最近買房，是貸款20年劃算，還是貸款30年劃算？是等額還款劃算，還是等本還款劃算？考慮我的工資收入以及工資漲幅，還有通貨膨脹，我算了好幾天，覺得省了不少?！边@時，有學(xué)生說：“我家里有五套房。”教師和學(xué)生談數(shù)學(xué)的重要性，學(xué)生卻和教師說房子的重要性，說明教師的認(rèn)識和闡述不到位、沒有說服力，不能讓學(xué)生理解和接受。

        國外的調(diào)研表明，大多數(shù)人認(rèn)為在工作生活中用到的只是簡單的小學(xué)數(shù)學(xué)。對此，如果不服氣，可以做一個試驗：讓你的學(xué)生家長（或親戚、朋友）回憶最近一星期的工作和生活中用到了哪些數(shù)學(xué)？四則運算、二次函數(shù)、三角函數(shù)、微積分……可以把從小學(xué)到大學(xué)主要的數(shù)學(xué)知識點列一下，讓它們勾選，看結(jié)果如何。

        既然這么多人對數(shù)學(xué)的有用性提出質(zhì)疑，那么就要去想一想為什么會這樣。事實上，這是因為他們將具體的數(shù)學(xué)知識和更抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)相混淆了。

        米山國藏有一段敘述，流傳很廣：學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年后很快就忘掉了；然而，不管他們從事什么工作，那種深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益。

        曹亮吉教授的一個觀點，我很贊同：學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)什么？從實用的角度來說，是算術(shù)以及一點點幾何與代數(shù)；從考試角度來說，是背誦、套用公式，做各種計算；但是如果換個角度看，萬事萬物無不隱藏著數(shù)與形以及數(shù)與形的模式。把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的眼界，從純粹的數(shù)與形以及狹義的規(guī)則與定律提升到隱藏于萬事萬物中的數(shù)與形以及廣義的規(guī)則與定律（模式），數(shù)學(xué)便不再是枯燥抽象的，而是似乎很有用、但不知用在哪里的知識。經(jīng)過發(fā)現(xiàn)、轉(zhuǎn)化、解題、溝通以及評析等種種步驟，把數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)習(xí)領(lǐng)域合在一起，數(shù)學(xué)才能變得具體而有用。

        數(shù)學(xué)知識可能用得少，但是數(shù)學(xué)素養(yǎng)時時影響著我們。

        （二）科學(xué)精神和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

        學(xué)生的核心素養(yǎng)，是指“學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”。它綜合表現(xiàn)為九大素養(yǎng)：社會責(zé)任、國家認(rèn)同、國際理解；人文底蘊、科學(xué)精神、審美情趣；身心健康、學(xué)會學(xué)習(xí)、實踐創(chuàng)新。具體到各個學(xué)科，還有各自獨特的核心素養(yǎng)。

        其中的科學(xué)精神，是指個體在學(xué)習(xí)、理解、運用科學(xué)知識和技能等方面表現(xiàn)的價值標(biāo)準(zhǔn)、思維方式和行為規(guī)范。它包括三個方面：（1）崇尚真知——重點是學(xué)習(xí)科學(xué)技術(shù)知識和成果；掌握基本的科學(xué)方法；有真理面前人人平等的意識等。（2）理性思維——重點是尊重事實和證據(jù)，有實證意識和嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實的求知態(tài)度；邏輯清晰，能夠運用科學(xué)的思維方式認(rèn)識事物、解決問題、規(guī)范行為等。（3）勇于探究——重點是有百折不撓的探索精神；能夠提出問題、形成假設(shè)，并通過科學(xué)方法檢驗求證、得出結(jié)論等。可以說，科學(xué)精神是與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)關(guān)系最為密切的綜合核心素養(yǎng)。

        具體到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也是三個方面（六個關(guān)鍵詞）：（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)。（2）用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。（3）用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。需要指出的是，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)雖然被劃分為三個方面（六個關(guān)鍵詞），但是實則是一個整體。用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，即人從外界輸入信息；用數(shù)學(xué)的思維分析世界，即人自身處理信息；用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，即人向外界輸出信息。

        數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。現(xiàn)實的問題是，考試的高壓使得教學(xué)的絕大多數(shù)時間都花在應(yīng)試上，對學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)關(guān)注較少。筆者認(rèn)為，對于學(xué)生素養(yǎng)，只要教師加以重視，選取合適的教學(xué)案例，采用探究的眼光，就無須另外增加課時專門培養(yǎng)，而在日常教學(xué)中完全可以逐步滲透。

        二、通過案例理解素養(yǎng)

        （一）數(shù)學(xué)抽象：龜兔賽跑與函數(shù)、不等式

        數(shù)學(xué)抽象是指，舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。

        龜兔賽跑的故事是我們很熟悉的。兔子本來跑在前面，但是由于驕傲，路上睡了一覺，結(jié)果輸給了烏龜。作為文學(xué)作品，當(dāng)然要大力渲染兔子的驕傲自滿、烏龜?shù)膱猿植恍傅刃袨椤B(tài)度上的具體細(xì)節(jié)。而從數(shù)學(xué)角度來看，則可抽象為如圖1所示的行程圖。

圖1

        文字轉(zhuǎn)成圖像，顯得更加簡潔直觀。但是從具體到抽象，難免會丟失掉一些信息。僅從行程圖來看，我們可以編出另一個故事：兔子原本跑在前面，但是在路上撿到一個錢包，坐等失主，結(jié)果眼睜睜地看著烏龜跑到前面去了。雖然內(nèi)心掙扎啊，可是兔子還是堅持等待失主。雖然輸了比賽，但是兔子一點都不后悔。

        從正版的龜兔賽跑故事中，有人總結(jié)出：雖然前進(jìn)速度緩慢，但是只要堅持不懈，還是可以超越那些走走停停、沒有毅力的對手的。另外，水滴石穿、愚公移山這樣的故事也充分表達(dá)了努力堅持的重要性。而從數(shù)學(xué)角度看來，這些故事都可以用阿基米德原理來表述：對于任意正實數(shù)a、b，必有自然數(shù)n，使na>b。

        （二）直觀想象：煙囪也懂微積分？

        直觀想象是指，借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的思維過程。主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

        我們知道，一個正n邊形，當(dāng)邊數(shù)越來越大時，越來越像一個圓。正如劉徽的“割圓術(shù)”所述：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?！?/span>

        如何向初學(xué)者解釋，使之更深刻地理解這一點呢？常用的兩種方法是：（1）畫出多個特殊的正n邊形；（2）利用動態(tài)幾何軟件或Flash等工具作出n從小到大的正n邊形并動態(tài)演示。方法1雖然可以手工完成，但是畫出一個邊數(shù)較多的正n邊形（如正14邊形）還是挺煩瑣的。方法2雖然很形象，但是需要依靠專業(yè)軟件，沒專業(yè)軟件就不好辦了。

        還有其他辦法么？有一天，我想到了煙囪。圖2所示是造紙廠的大煙囪。每一塊磚都是一個長方體，但是從總體格局來看，不妨將之看作一條直線段。煙囪很大，磚塊很小。用這些磚圍成一圈（如煙囪的某個橫截面），從細(xì)節(jié)上嚴(yán)格地看，圍成的是一個正多邊形，但是從總體上近似地看，極像一個圓。這便很好地體現(xiàn)了“以直代曲”的微積分基本思想。真是生活處處皆數(shù)學(xué)！同時，本案例也提醒我們，眼見未必為實：煙囪的橫截面看似是圓，實則是正多邊形，每塊磚的長度就相當(dāng)于正n邊形的邊長，其中n就是圍一圈所需的磚塊數(shù)。

圖2

        （三）邏輯推理：荒唐的乘法

        邏輯推理是指，從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要為演繹。

        邏輯推理是一門看似簡單、實則深奧的學(xué)問，同時屬于數(shù)學(xué)和哲學(xué)的范疇。膚淺的運用會讓我們掉進(jìn)“陷阱”，深入的思考有助于我們走出誤區(qū)。

        有這樣一個場景：“某課堂上，一學(xué)生開小差，老師批評他：‘就是因為你一個人，耽誤了一分鐘，全班50個人，就耽誤了大家50分鐘，你不覺得愧疚嗎？’”我不止一次看到有教師這樣“算賬”，也沒有去思考這樣計算是否合理。

        有一天，我看《新聞聯(lián)播》時，看到一位播音員略微卡了一下，停頓了0.1秒，于是就想到，此時若有一千萬人在看電視，則耽誤了這一千萬觀眾的時間有107×0.1÷3600÷24≈11.57天，這個播音員罪過不小啊。《新聞聯(lián)播》規(guī)定是30分鐘，有時新聞少，最后十幾秒就播放播音員整理稿子的場景，這樣算起來更加恐怖，耽誤了這一千萬觀眾的時間有107×10÷3600÷24≈1157天≈3.16年。

        誠然，公共場合，特別是中央電視臺這種大平臺，小差錯也會造成大的影響。但是這種影響很難量化，更不能如此簡單的量化。通過邏輯推理，我們發(fā)現(xiàn)老師批評學(xué)生耽誤大家時間的算法是存在問題的。

        （四）數(shù)學(xué)運算：六尺巷與負(fù)數(shù)運算

        數(shù)學(xué)運算是指，在明晰運算對象的基礎(chǔ)上依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的思維過程。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果。

        有一則經(jīng)典故事：“清康熙年間，張英的老家人與鄰居吳家在宅地的問題上發(fā)生了爭執(zhí)，因兩家宅地都是祖上基業(yè)，時間又久遠(yuǎn)，對于宅界誰也不肯相讓。雙方將官司打到縣衙，又因雙方都是官位顯赫的名門望族，縣官也不敢輕易了斷。于是張家人千里傳書到京城求救。張英收書后批詩一首云：‘一紙書來只為墻，讓他三尺又何妨。長城萬里今猶在，不見當(dāng)年秦始皇?！瘡埣胰嘶砣婚_朗，退讓了三尺。吳家見狀深受感動，也讓出三尺，形成了一個六尺寬的巷子?！?/span>

        此故事傳為佳話，告訴我們做人做事要忍讓包容。聯(lián)系數(shù)學(xué)則是，A和B原來挨在一起，A往一個方向走了3尺，記為+3，B往相反方向走了3尺，記為-3，此時A和B相隔的距離應(yīng)該是+3-(-3)=6（尺）。此案例對理解負(fù)數(shù)運算較有幫助。

        （五）數(shù)學(xué)建模：“兩對父子三個人”與集合

        數(shù)學(xué)建模是指，對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識與方法解決問題的思維過程。主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實際問題。

        有一個經(jīng)典謎語：“古時候，兩對父子去打獵，每人都獵得一只老虎，回家數(shù)一數(shù)，總共只有三只虎。為何？”此謎語有各種各樣的版本，如：“兩對父子一起去照相，相片里只有三個人?”謎底很簡單，就是：爺爺、爸爸、兒子祖孫三代，爺爺和爸爸是一對父子，爸爸和兒子是一對父子，這樣兩對父子就是三個人。

        這個看似是腦筋急轉(zhuǎn)彎的問題，如何用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，并構(gòu)建模型加以解決呢？由于虎與人是一一對應(yīng)的關(guān)系，三只虎對應(yīng)著三個人。一對父子是兩個人，另一對父子也是兩個人。并在一起，變成了三個人，說明這兩個“父子”集合有一個公共元素（交集中的元素）。設(shè)兩對父子分別為父1、子1、父2、子2，則有三種可能：（1）父1=父2，則可推出這兩對父子是“一個爸爸+兩兄弟兒子”；（2）父1=子2，則可推出這兩對父子是“爺爺、爸爸、兒子祖孫三代”；（3）子1=父2，則可推出這兩對父子是“爺爺、爸爸、兒子祖孫三代”；（4）子1=子2，這種情況一般不存在，因為一個人不可能有兩個爸爸（如果是養(yǎng)父、岳父之類，就另當(dāng)別論）。這樣分析，可以發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)解答漏解，而使用集合語言進(jìn)行討論則不重不漏。

        這一過程也是數(shù)學(xué)建模的過程：將非數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，再將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成解方程的問題。這樣一來，“兩對父子三個人”的腦筋急轉(zhuǎn)彎問題和下面這道考題本質(zhì)是一樣的：設(shè)A={2,4,a3－2a2－a+7}，B={－4,a+3,a2－2a+2,a3+a2+3a+7}，若A∩B={2,5}，則a=，A∪B=。

        （六）數(shù)據(jù)分析：天之道，損有余而補不足——從老子到高爾頓

        數(shù)據(jù)分析是指，針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，形成知識的思維過程。主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，對信息進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論。

        老子有一句名言：“天之道，損有余而補不足；人之道，損不足而益有余。”我的理解是，自然界的法則是減損多余的，補充不足的，即平均化；社會的法則則相反，有的讓其更多，沒有的讓其更少，即差距增大。譬如，自然界削平高山，填平低谷，促成均衡；而社會則是強者愈強，弱者愈弱，形成“馬太效應(yīng)”。

        老子這一名言與數(shù)學(xué)有何關(guān)聯(lián)呢？需要從高爾頓的研究說起。高爾頓深受其表哥達(dá)爾文的影響，把進(jìn)化論的思想引入人類研究。

        高爾頓很喜歡調(diào)查統(tǒng)計并分析原因，從中尋找規(guī)律。他調(diào)查了30個有藝術(shù)能力的家庭，發(fā)現(xiàn)其子女也有藝術(shù)能力的占64%；又調(diào)查了150個無藝術(shù)能力的家庭，發(fā)現(xiàn)其子女有藝術(shù)能力的只有21%，因此斷言藝術(shù)能力這種“特殊能力”是遺傳的。在很多類似的統(tǒng)計結(jié)果的基礎(chǔ)上，他從遺傳的角度研究個別差異形成的原因，開創(chuàng)了優(yōu)生學(xué)。

        其實，上述結(jié)論是我們普遍認(rèn)可的一種看法。若僅停留于此，也不足為奇。高爾頓還收集分析了400名家長和他們的900多名成年子女的身高，得出了結(jié)論（如圖3所示）：當(dāng)父母的身高大于平均水平時，他們的子女往往會比他們矮；當(dāng)父母的身高小于平均水平時，他們的子女往往會比他們高，也就是，并非父母個子高的子女個子也高，父母個子不高的子女個子也不高。這項研究表明，上一代人身高差異較大，遺傳之后身高差異將減小，也就是一些事物經(jīng)過時間推移，將變得更平均、更穩(wěn)定。因此，高爾頓提出了“均值回歸”的概念。這便是回歸分析的起源。

圖3

        從老子的“損有余而補不足”到高爾頓的“均值回歸”，思想上有相通之處。相對于老子的宏觀、模糊敘述，高爾頓充分利用數(shù)據(jù)分析的方法，使得結(jié)論更加有理有據(jù)。

        以上案例充分說明了，數(shù)學(xué)絕不僅等同于解題，數(shù)學(xué)與我們的學(xué)習(xí)、生活、工作息息相關(guān)。這是認(rèn)識和把握數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。

 ——本文原載于《教育研究與評論》（中學(xué)版）