全等三角形是初中平幾的重要內(nèi)容之一，在幾何證題中有著極其廣泛的應(yīng)用。然而在許多情況下，給定的題設(shè)條件及圖形并不具有明顯的全等條件，這就需要我們認(rèn)真分析，仔細(xì)觀察，根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征，挖掘潛在因素，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，巧構(gòu)全等三角形。借助全等三角形的有關(guān)性質(zhì)，就會迅速找到證題途徑，直觀易懂，簡捷明快?，F(xiàn)略舉幾例加以說明。

一.證線段垂直

例1.已知，如圖1，在中，AB＝2BC，求證：

圖1

分析與證明：本題可先作的平分線BD交AC于點(diǎn)D，由，又，得到。則為等腰三角形。再取AB中點(diǎn)E，連DE，借助等腰三角形的性質(zhì)，得到。再由，，BD＝BD，得到。由全等三角形的對應(yīng)角相等，得到，即。

二.證線段的倍分

例2.已知，如圖2，等腰中，，的平分線交AC于D，過C作BD的垂線交BD的延長線于E。求證：BD＝2CE（湖北中考題）

圖2

分析與證明：要證BD＝2CE，可延長BA、CE交于點(diǎn)F。由BE平分，，得到為等腰三角形。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CE＝EF，即。再由，AB＝AC，，得到，從而由全等三角形的對應(yīng)邊相等立即得到BD＝CF＝2CE。

三.證角相等

例3.已知，如圖3，在中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，BE＝AC，BE的延長線交AC于點(diǎn)F，求證：

圖3

分析與證明：由AD是中線，可“延長中線一倍”，借助中線性質(zhì)構(gòu)全等三角形。延長AD至G，使DG＝AD，連BG，由DG＝AD，，BD＝CD得到。由全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，得到AC＝BG，。而AC＝BE，則BE＝BG，所以，而，從而得到。

四.證角不等

例4.已知：如圖4，在中，，AD是BC邊的中線。

求證：

圖4

分析與證明：由AD是中線，可“延長中線一倍”，借助中線性質(zhì)構(gòu)全等三角形。延長AD至E，使DE＝AD，連BE。由DE＝CD，，BD＝CD，得到。由全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，得到BE＝AC，，在中，由，得到，而，所以

五.證線段相等

例5.已知：如圖5，在中，D是BC邊的中點(diǎn)，交的平分線于E，交AB于點(diǎn)F，交AC的延長線于點(diǎn)G。求證：BF＝CG。

圖5

分析與證明：要證BF＝CG，顯然要構(gòu)造三角形找全等。由ED垂直平分BC，連EB、EC，由垂直平分線性質(zhì)可得，EB＝EC。又AE為的平分線，且，，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，從而（HL）再由全等三角形的對應(yīng)邊相等立即可得BF＝CG。

六.證線段不等

例6.已知：如圖6，在中，AB＝AC，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，求證：

圖6

分析與證明：PB、PC雖在同一三角形中，但與已知條件無直接聯(lián)系，可利用圖形變換構(gòu)全等三角形。將繞頂點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，得，則，從而轉(zhuǎn)化為比較PC與QC的大小，為此只須證即可。由，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等得到，AQ＝AP，PB＝QC，所以，從而，即。由大角對大邊得到，即

七.證線段和差相等

例7.已知：如圖7，在中，，CD是的平分線，求證：BC＝AD＋AC

圖7

分析與證明：由CD是的平分線，可利用角平分線的對稱性。在BC上取一點(diǎn)E，使CE＝CA，連DE，由CA＝CE，，CD＝CD，可得。由全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，得到AD＝ED，且，而，得到，從而，所以

八.證線段和差不等

例8.已知：如圖8，D為的BC邊的中點(diǎn)，，的平分線分別與AB、AC交于點(diǎn)E、F，求證：

圖8

分析與證明：直接論證，條件不足，可設(shè)法將有關(guān)線段集中于同一三角形中，為此延長FD至M使DM＝FD，利用角平分線性質(zhì)構(gòu)全等三角形，幫助解決。延長FD至M，使DM＝FD，連結(jié)BM、EM。由DM＝DF，，BD＝CD，得到。由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BM＝CF。由，而，所以；又由，從而。再由，DE＝DE，得到。同樣由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到EM＝EF。而，所以。

從以上幾例可以看出，有些比較棘手的平幾證題百思不得其解時，根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，巧構(gòu)全等三角形，可迅速找到證題途徑，使問題迅捷獲證。真可謂“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”。