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林開亮 譯 可樂數(shù)學(xué)按：幾年前我們獲知張益唐先生在孿生素數(shù)問題上取得突破之時，異常激動；當(dāng)進一步得知他的傳奇經(jīng)歷時，更是感動。當(dāng)時《數(shù)學(xué)文化》聯(lián)合主編湯濤教授利用候機時間，在網(wǎng)上寫作，一氣呵成，寫成了第一篇中文報告作品《張益唐和北大數(shù)學(xué)78級--- 謹(jǐn)以此文紀(jì)念陳景潤誕辰80周年；他影響了那個難忘的時代》。后來就越來越多相關(guān)文字。英文的也不少。這一篇譯文的原文就是其一。想必很多讀者對張先生的故事也熟悉了。但他的治學(xué)精神是我們永遠的激勵。讀起熟悉的故事，感動依然。因此，我們還是決定再發(fā)一次張先生相關(guān)的文章。尤其難得的是，此譯文已經(jīng)得到傳主的肯定。
我們感謝林開亮博士授權(quán)發(fā)布，此處略有編輯，加入了一些圖片。林開亮博士現(xiàn)為西北農(nóng)林科技大學(xué)數(shù)學(xué)系年輕而很有作為的教師。在數(shù)學(xué)的普及方面做了許多工作，翻譯、寫作了很多著作。例如，他與合作者翻譯了《數(shù)學(xué)家畫冊》、《數(shù)學(xué)家的大腦》等。
譯者按：本文是對2015年2月2日《紐約客》上的張益唐專訪The Pursuit of Beauty:Yitang Zhang solves a pure-mathmystery. 的全文翻譯。原文作者 Alec Wilkinson。作者曾在文末注明：An earlier version of this article misstated the name of thedocumentary about Zhang. 感謝蔡天新教授告知，網(wǎng)上已經(jīng)有編譯過來的其他中文版：張益唐：天才的證明?！咀g者林開亮在翻譯時曾請教不少朋友，恐怕仍然有問題，還請各位指教?！?/span>
當(dāng)年我是憑作弊才通過高中數(shù)學(xué)升學(xué)考試的，現(xiàn)在揭一下老底，想必?zé)o妨。我只會加減乘除，一碰到方程式和x,y,z我就頭大了?？荚嚂r，我坐在聰明的同學(xué)Bob Isner，Bruce Gelfand，Ted Chapman亦或Donny Chamberlain旁邊，他們的書寫我能辨認(rèn)，我的目光掃瞄于他們的試卷和監(jiān)考老師之間。數(shù)學(xué)天賦，我是沒有，但我的侄女Amie Wilkinson倒是得天獨厚，她是芝加哥大學(xué)的數(shù)學(xué)教授。我從Amie那里第一次聽聞張益唐的傳奇，他是新罕布什爾大學(xué)的一位孤獨的兼職微積分講師，因為他解決了一個懸疑150多年的問題而贏得了許多獎項，包括9月份的MacArthur獎。
張益唐在2010年所選擇研究的問題來自數(shù)論，這是純數(shù)學(xué)的一個分支。不同于應(yīng)用數(shù)學(xué)，純數(shù)學(xué)的研究不懷任何實用目的。它跟藝術(shù)和哲學(xué)的距離與跟工程的距離是同樣的接近。張益唐說，“我的結(jié)果沒有實用價值?！庇鴶?shù)學(xué)家G. H. Hardy在1940年寫道，數(shù)學(xué)“是最質(zhì)樸和最冷峻的藝術(shù)和科學(xué)”。Bertrand Russell稱它是“挽救苦悶現(xiàn)實生活的收容所”。Hardy堅信數(shù)學(xué)要有精確的審美觀。一個數(shù)學(xué)證明，如張益唐給出的，“應(yīng)該像簡單而輪廓分明的星座，”他寫道，“而不是銀河系中雜亂無章的星群?！奔又荽髮W(xué)伯克利分校的數(shù)學(xué)教授Edward Frenkel說，張益唐的證明體現(xiàn)了一種“復(fù)興之美”，就是說盡管細節(jié)很艱深，但要義很容易理解。在純數(shù)學(xué)中追求美是一種信條（譯者注：物理學(xué)中亦然，如最著名的代表Dirac.）。去年，英國的神經(jīng)系統(tǒng)科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，當(dāng)數(shù)學(xué)家看到他們認(rèn)為美妙的數(shù)學(xué)時，頭腦中被藝術(shù)和音樂興奮的同一區(qū)域也興奮起來了。（譯者注（感謝歐陽順湘告知）：例如，見Semir Zeki, John Paul Romaya, Dionigi M. T. Benincasa 和 Michael F. Atiyah，The experience ofmathematical beauty and its neural correlates,Front. Hum. Neurosci. 8:68.有電子版 http://journal./Journal/10.3389/fnhum.2014.00068/abstract.）
張益唐所研究的問題通常被稱為“有界距離（bound gaps ）”。它所關(guān)注的是素數(shù)——即那些只能被1和它自身除盡的數(shù)，如2,3,5,7,11等。問題是，是否存在一個長度有限的柵欄（界），使得在無限多個位置——特別是當(dāng)數(shù)目是如此之大，以至于光是把它寫下來就要耗費整整一本書的紙張時，它都能卡住兩個素數(shù)？對于這個問題，圣荷西大學(xué)的教授Daniel Goldston、布達佩斯Alfred Renyi 數(shù)學(xué)研究所的研究員Janos Pintz和伊斯坦布爾海峽大學(xué)的Cem Yildirim的聯(lián)合工作表明，他們比任何人都更清楚是否存在這樣一個界以及這個界可能是多少，在2005 年之前，他們的工作是最接近答案的。Goldston說他曾以為有生之年都看不到答案了。“我曾認(rèn)定那是不可能的，”他告訴我。
張益唐只在2001年發(fā)表過一篇論文，但頗受好評。到2010年，他已經(jīng)55歲了?！懊總€數(shù)學(xué)家都應(yīng)謹(jǐn)記，比起任何其他藝術(shù)和科學(xué)，數(shù)學(xué)更是年輕人的游戲，”哈代如此寫道。他還寫道，“我從沒見過哪個年過半百的數(shù)學(xué)家開創(chuàng)重大的數(shù)學(xué)進展?！?991年，張益唐在普渡大學(xué)獲得博士學(xué)位，但與導(dǎo)師莫宗堅不歡而散。莫宗堅最近在其個人主頁中寫了一篇文章描述了張益唐的研究生時代(譯者注：見http://www.math./~/ZhangYt.pdf)：“從他的眼睛中，我看到了一顆不安的心，一團燃燒跳動的火焰，一個想抵達北極的探險者?！睕]有莫宗堅的支持，張益唐離開了普渡，又因為從未發(fā)表一篇論文，他無法找到學(xué)術(shù)職位。他交替住在肯塔基州列克星敦和紐約的朋友那里，偶爾有臨時工作。在肯塔基，他加入了一個關(guān)注中國民主的小群體。他們的口號是：“自由、民主、法治、多元”。群員中有一個是實驗室的化學(xué)家，開了一家賽百味（Subway）連鎖店賺錢。另一個群員告訴我，“因為張益唐是數(shù)學(xué)天才，所以被請去幫忙?！睆堃嫣拼е鴷降昀铩！爱?dāng)生意很忙時，我?guī)椭浙y?！睆堃嫣谱罱嬖V我。“雖然我會做三明治，但我很少干那個活。”不上班時，他會去肯塔基大學(xué)的圖書館，閱讀代數(shù)幾何和數(shù)論的期刊。
“有好幾年，我沒有真正堅持我的數(shù)學(xué)夢想，”他說。
“想必你過得不太愉快?！?/p>
他聳聳肩：“我的生活并不是一帆風(fēng)順。”
1999年，在一位朋友的幫助下，張益唐終于在新罕布什爾大學(xué)謀得一個職位。在2010年選定了素數(shù)間隙問題之后，他并不確定該從哪里入手。“我在想，門在哪里？”張益唐說。“歷史上有很多數(shù)學(xué)家研究過這個問題，都堅信這里應(yīng)該有一扇門，但沒有人找到它。我試著摸了幾次，然后開始擔(dān)心這扇門究竟是否存在?！?/p>
“你曾沮喪過嗎？”
“我很累，”他說?！安贿^大多數(shù)時候我只是感到平靜。
我喜歡一邊踱步一邊思考。我太太看到我會問‘你在干啥？’我說，‘我在工作，在思考?！裏o法理解。她說，‘你什么意思？’”問題是如此復(fù)雜，他說“我沒辦法跟她講明白。”
據(jù)紐約大學(xué)理工學(xué)院數(shù)學(xué)教授楊鼎說，數(shù)學(xué)家遇到難題時就像“在走迷宮。當(dāng)你想證明一個定理時，有可能你會完全迷失，不清楚下一步你會走到哪里。通常，一旦有某個瞬間你靈光一閃找對了路，你會渴望再度進入新的迷宮繼續(xù)體驗這種喜悅與激動?！?/p>
張益唐非常沉默寡言，舉止彬彬有禮。最近當(dāng)我們散步時，他問我“是否可以戴上它？”他所指的是一副墨鏡。他舉在我面前，仿佛我要先檢查一下。對回答關(guān)于他本人和他的工作的問題，他沒有太大興趣。在我第一次見他半個小時之后，他說，“我有一個問題?！蔽覀円恢痹谡?wù)撍耐辍Ｋ麊枺骸澳氵€有多少問題？”他常常用三個詞來答復(fù)：“也許吧（Maybe）”， “Not so much（還行）”、和“Maybe not so much（也許還行吧）”。出于羞怯，他經(jīng)常說“我們”而不是“我”，比如，“我們也許不認(rèn)為這個方法如此重要?！彼粫r會在說話前嗯一聲。在發(fā)表其結(jié)果之后，他被邀請到普林斯頓高等研究所訪問半年。電影制片人George Csicsery為加州伯克利的數(shù)學(xué)科學(xué)研究所制作了一個關(guān)于張益唐的紀(jì)錄片，叫做《從無窮數(shù)起》（Counting from Infinity）。在片中，高等研究所的成員Peter Sarnak說，一天他碰到了張益唐就跟他說了一句hello，張益唐回復(fù)了一句hello。張益唐說那是他十天以來對別人吐出的第一個詞。Sarnak認(rèn)為這太極端了，即便對數(shù)學(xué)家來說也是如此，因此他每周一次邀請張益唐共進午餐。
芝加哥大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Matthew Emerton在普林斯頓也見到了張益唐。“我只能說他不是等閑之輩”，Emerton告訴我，“他不善于交際。我的印象是他極其淡定。他得了另一項大獎，因此周圍的人都在談?wù)撨@件事。也許大多數(shù)數(shù)學(xué)家對獲獎都很低調(diào)，因為他們并不是奔著得獎去的，但他好像尤其低調(diào)。得獎對他好像沒有絲毫影響。”楊鼎參加了張益唐2013年在哥倫比亞做的三個講座。“你本以為像他這樣的一個牛人應(yīng)該會展示或解釋他是何等聰明，”楊鼎說。“他做了優(yōu)美的報告，但一點也沒有炫耀的意思?！睆堃嫣脐P(guān)于他的工作的第一個報告是在哈佛做的，在他的論文發(fā)表之前。丘成桐教授聽聞了張益唐的工作后，邀請他去那里做報告。大約有50個人聽了他的報告。其中有一位哈佛的數(shù)學(xué)教授認(rèn)為張益唐的報告“簡直無法理解?！彼a充說，“報告的內(nèi)容很難談?wù)?，因為一切都有賴于微妙的專業(yè)理解?！绷硪晃还鸾淌贐arry Mazur跟我講，他為張益唐的“堅毅和他所表現(xiàn)出的勇敢和獨立”所打動。
在新罕布什爾，張益唐的辦公室在數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)大樓三層。辦公室有一張桌子，一臺電腦，兩把椅子，一塊白板和幾個書架。透過窗子他可以看到橡樹的枝干。書架上擺放著《Hilbert空間引論》（An Introduction to HilbertSpace）和《橢圓曲線，模形式和Fermat大定理》（EllipticCurves, Modular Forms, and Fermat’s Last Theorem）等。也有近代史，他所著迷的Napoleon，中文版的Shakespeare著作，因為這比Elizabeth時代的英文好懂。（譯者注：在季理真、翁秉仁的《張益唐專訪》一文中，張益唐提到：“我喜歡莎士比亞，過去我讀過中譯本，覺得真好，到美國后裝模作樣想看英文原本，結(jié)果看不懂，因為按照我在中國學(xué)的英文語法是不通的。”）
馬薩諸塞波士頓大學(xué)的數(shù)學(xué)系主任Eric Grinberg，在2003-2010年間是張益唐在新罕布什爾的同事。“張益唐非常謙遜，完全沒有架子，從不索求什么，”Grinberg告訴我?！拔覀冎浪谘芯恳恍┲匾臇|西。他雖然也用紙和筆，但唯一的備份存放在他的電腦里。每個月我會過去問他，‘不介意我給你做個備份吧？’當(dāng)然，所有東西都在他腦子里。在那方面，他高于常人。” 他的記憶力是罕見的。他的朋友齊雅格說，“我有時帶他參加聚會。但他從不開口，因而引人注目。我說，‘出于禮貌，你必須說話，求你了?！f，‘我享受你的高談闊論。’半年后，他能說出誰坐在哪里，誰開始了談?wù)?，并且能夠?fù)述出他們所說的話?！?/p>
“我可能認(rèn)為社交是在浪費時間，”張益唐說。 “當(dāng)然，也許我還有點靦腆?！?/p>
幾年前，張益唐賣掉了他的車，因為他實際上用不著。他在離學(xué)校只有四里的地方租了一套公寓，上下班跟學(xué)生一起坐校車。他說坐在車上他可以思考。一周七天，他早上八九點鐘到辦公室，晚上六七點回。他不思考數(shù)學(xué)的最長時間是兩周。有時他早上從前一晚入睡時所考慮的問題中醒來。他的辦公室外有一條長長的走廊，他喜歡來回踱步，有時他會去外面散步。
張益唐在長島的一家中國餐館遇見了與他結(jié)發(fā)12年的妻子，她曾是那里的一名服務(wù)員。她也是中國人，自稱Helen，而張益唐則自稱Tom。（譯者注：Tom跟唐讀音相近，看來他很愛他母親。Helen是希臘女神的名字，也有火把、光亮的意思，也許可以解釋《假如給我三天光明》（Three Days to See）的作者Helen Keller名字的來由。）張益唐說，一位同時認(rèn)識他們的朋友把他帶到了這家餐館，并把Helen指給他。朋友問他，“這個姑娘怎么樣？”Helen當(dāng)時也在考慮張益唐。為了追求Helen，張益唐有好幾個月每個周末都去紐約。第二年的夏天，Helen來到了新罕布什爾。然而，Helen不喜歡那里的冬天，于是搬到了加州，在一家美容院上班。她和張益唐在圣荷西有房子，學(xué)校放假時張益唐就在那里度假。
在去年憑借他的證明被提升為教授之前，他的飯碗是很不穩(wěn)的。“我從前是新罕布什爾的系主任，但我必須不時地提醒他，他還沒拿到永久職位?！盓ric Grinberg說?！拔覀兌己芨屑に?，但那不能保證他可以繼續(xù)干下去。他一直說他很享受在新罕布什爾的時光?！睆堃嫣仆渡碛谒財?shù)間隙問題已經(jīng)兩三年了，但仍然沒有找到門。“我們看不到任何希望，”他說。然而，2012年7月3日下午，他“在五到十分鐘之內(nèi)，豁然開朗了?！?/p>
當(dāng)時張益唐在普韋布洛拜訪朋友齊雅格，他是科羅拉多州立大學(xué)的音樂教授。幾個月前，齊雅格曾提醒張益唐曾答應(yīng)抽一天時間來教他兒子Julius學(xué)習(xí)微積分，因為Julius馬上就要上高三了。齊雅格打電話給張益唐問他“你還記得這個承諾吧？”于是張益唐在齊雅格家里待了一個月。每天上午他指導(dǎo)Julius學(xué)習(xí)約一個小時?！八麤]有固定的教程，”Julius告訴我，“內(nèi)容只是從他的記憶里流出來。有一次他提到，他的電話本上沒有一個號碼，因為他全都記住了。”
張益唐原打算在科羅拉多中斷研究放松一下，因此沒有帶任何筆記。7月3日，他正在齊雅格家的后院散步?！拔覀兗以谏缴希钩霈F(xiàn)了，而他抽著香煙，凝視著鹿，”齊雅格說?！皼]有鹿，”張益唐說，“只是漫步和思考，這是我的方式?！庇写蠹s半小時，張益唐忘懷天地地溜達著。
在1945年出版的《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》中，Jacques Hadamard 引用了一位數(shù)學(xué)家的說法，“通常對我來說，尤其是當(dāng)我一個人的時候，我發(fā)現(xiàn)自己置身于另一個世界。各種數(shù)學(xué)想法好像活了一樣。突然，各種問題帶著它們的答案自動出現(xiàn)在我眼前?！痹邶R雅格家的后院，張益唐體驗到類似的經(jīng)歷。“我看見了數(shù)字、方程式，甚至還有——很難說清楚那是什么，”張益唐說?！耙恍┓浅Ｌ貏e的東西，也許是數(shù)字，也許是方程式——一種神奇，亦或是幻象。我領(lǐng)悟到，盡管有一些細節(jié)尚需填充，但我們將有一個證明。然后我回到了房間里?！?/p>
張益唐并沒有對齊雅格提起他的突破。當(dāng)晚，齊雅格要指揮普韋布洛國慶音樂會（譯者注：美國國慶7月4日。）的帶妝彩排，張益唐跟他同去。“音樂會結(jié)束后，他不停地低哼著《星條旗永不落》，”齊雅格說，“他只是在慨嘆‘多美妙的旋律?。 ?/p>
我問張益唐：“你一定很聰明吧？”他說“也許吧，有點?！彼?955年出生在中國上海，母親是政府的一名文秘，父親是大學(xué)的電氣工程教授。孩提時他就“想知道一切數(shù)學(xué)，”他說，“他非常喜歡數(shù)學(xué)?！彼母改敢蚬ぷ鞫w到北京，張益唐留下來跟外婆住在一起。文化大革命期間，學(xué)校關(guān)閉了。他把大多數(shù)時間用來讀數(shù)學(xué)書，這是他從一家書店訂購的，價錢常常不到一美元。他很喜歡一套叫做《十萬個為什么》的系列叢書，有物理、化學(xué)、生物和數(shù)學(xué)各冊。當(dāng)他無法讀懂時，他說，“我努力自己解決這些問題，因為沒有人可以幫助我?！?/p>
13歲時張益唐來到北京。15歲時他跟母親一起下放到農(nóng)場，在那里種菜。張益唐的父親下放到另一個農(nóng)場。如果被發(fā)現(xiàn)在農(nóng)場看書，他會被勸止。“因為大家認(rèn)為數(shù)學(xué)在階級斗爭中不重要，”他說。幾年后，他回到了北京，在一家造鎖廠找到了工作。他開始學(xué)習(xí)以參加中國最高學(xué)府——北京大學(xué)的入學(xué)考試：“我用了幾個月來學(xué)習(xí)高中所有的化學(xué)和物理，幾個月來學(xué)習(xí)歷史。這有點倉促。”在23歲那一年，他被錄取了?！邦^一年我們學(xué)習(xí)微積分和線性代數(shù)——這非常令人興奮，”張益唐說，“最后一年，我選擇數(shù)論作為專業(yè)。”然而，他的教授則堅持讓他換到自己的領(lǐng)域——代數(shù)幾何作為主攻方向?！半m然我學(xué)了，但并不喜歡，”張益唐說?！澳菚r在中國，思想依舊如此：個人必須服從集體和國家的利益。他認(rèn)為代數(shù)幾何比數(shù)論更重要。他強迫我。他是大學(xué)校長，因此有特權(quán)?！?/p>
1984年夏，莫宗堅從普渡大學(xué)到北京大學(xué)訪問，邀請張益唐和其他幾位被舉薦的學(xué)生跟他到普渡做研究。莫宗堅的一個專長是Jacobian猜想，張益唐對此很有興趣。Jacobian猜想是1939年提出的一個代數(shù)幾何問題，它保證了在某些條件下，可以求解很復(fù)雜的方程組。它的難度被公認(rèn)為超出了研究生的水平，只有最厲害的代數(shù)幾何學(xué)家敢碰。一位數(shù)學(xué)家將它描述成“災(zāi)難問題”，因為它引發(fā)了很多麻煩。作為其博士學(xué)位論文，張益唐提交了該猜想的一個弱形式，也就是說，他能證明該猜想的一些推論，但不能證明它本身。
在得到博士學(xué)位之后，張益唐告訴導(dǎo)師說他想回歸數(shù)論?！拔耶?dāng)然不高興，”莫宗堅在給我的信中寫道， “然而，學(xué)生有權(quán)更改研究領(lǐng)域。所以我笑著跟他說byebye。過去的22年里，我沒有他的任何消息?！?/p>
畢業(yè)后，很多中國留學(xué)生都進入了計算科學(xué)或金融行業(yè)。張益唐從前在北大的師弟唐樸祁就在英特爾找到了工作。1999年，他打電話給張益唐?！拔矣X得他沒有學(xué)術(shù)工作太不公平了，”唐樸祁說。唐樸祁有一位北大老同學(xué)，現(xiàn)在新罕布什爾數(shù)學(xué)系任教。當(dāng)唐樸祁得知該系正在招聘微積分教師時，他推薦了張益唐。“他決定讓張益唐試一下這個臨時職位，”唐樸祁說。
2012年末，張益唐完成了論文《素數(shù)之間的有界距離》，之后花了一兩個月的時間系統(tǒng)地核驗每個步驟，他說這“非常無趣”。2013年4月17日，在沒有告訴任何人的情況下，他把論文投給了《數(shù)學(xué)年刊》（Annals of Mathematics），這是最權(quán)威的數(shù)學(xué)期刊。
在《年刊》的檔案中，有許多沒有發(fā)表的論文，它們斷言解決了每個人曾經(jīng)思考過甚至是根本不存在的所有數(shù)學(xué)問題，有的論文作者是一些“知道很多數(shù)學(xué)，然后廢了的人，”一位數(shù)學(xué)家告訴我。這種人通常斷定其他進攻這個問題的人都錯了?；蛘咚麄冃Q自己同時解決了好幾個問題，又或者“他們說他們用物理學(xué)中的某種統(tǒng)一場論解決了一個著名問題，”這位數(shù)學(xué)家說。像《年刊》這樣的期刊總是懷疑一些名不見經(jīng)傳的作者的投稿。
2013年，《年刊》一共收到了915篇投稿，但只接受了37篇。論文接受和發(fā)表之間的間隔通常是一年。當(dāng)一篇論文送到時， “會被迅速瀏覽，評判其價值，” 普林斯頓大學(xué)的教授兼《年刊》的主編Nicholas Katz告訴我，然后是可能長達數(shù)月的嚴(yán)格審稿?！皩τ谖覠o法評判的文章，我的作用是知道應(yīng)該去問誰，” Katz說?！霸趶堃嫣频那闆r，得到了迅速的回復(fù)，‘如果這是對的，那么它真的很奇妙。但你要謹(jǐn)慎。這家伙從前掛出了一篇論文，但那是錯的。他從來沒有發(fā)表，但也沒有將它撤回?！?審稿人所指的是張益唐在網(wǎng)頁arXiv.org上發(fā)布的一篇論文（譯者注：見 http:///abs/0705.4306.）數(shù)學(xué)家通常在結(jié)果正式發(fā)表前會把它公布在網(wǎng)上，以便于它們及早被公示。張益唐在2007年發(fā)布了一篇論文，但證明有漏洞。那篇論文考慮的是另一個著名問題，Landau-Siegel零點猜想，他之所以還保留著，是希望有一天能夠更正它。
Katz 將《素數(shù)之間的有界距離》發(fā)送給兩位讀者，他們被稱為審稿人。其中一位是羅格斯大學(xué)的教授Henryk Iwaniec，他的領(lǐng)域與張益唐相近。 “我瞄了幾分鐘，” Iwaniec 告訴我，“我的第一印象是： 有如此多的斷言已然錯了。我想，我還有其他事情要做?？赡芪蚁胪涎右幌拢吘顾麤]什么名氣。然后我接到了一個朋友的電話，說他恰好也在讀同一篇文章。我們原本打算在高等研究所待一周，干點別的事情，但我們被這篇要審的稿子打斷了。 ”
Iwaniec 和他的朋友多倫多大學(xué)的教授JohnFriedlander讀得越來越起勁?！霸谶@種情況，你不能從頭讀到尾，” Iwaniec 說，“你首先要看出，想法在哪里。自2005年以后，關(guān)于這個課題再沒有任何論文了。 問題很難解決。隨著我們讀得越來越多，這個工作正確的機率也變得越來越大。大約兩天以后，我們開始考察其完備性和關(guān)聯(lián)性。幾天以后，我們開始逐行逐行地核驗。這個活的目標(biāo)不再是要說這個工作很精彩，我們在考察這個結(jié)果是否確實正確。”
幾周以后，Iwaniec 和Friedlander 回復(fù)給 Katz，“我們已經(jīng)完成了對張益唐的《素數(shù)之間的有界距離》的研究?！彼麄兝^續(xù)寫道，“主要結(jié)果是一流的。作者成功證明了素數(shù)分布中的一個里程碑式的定理。”“我們非常深入地研究了論證，但發(fā)現(xiàn)，即便是要找出哪怕是一點點的瑕疵也很困難……我們非常榮幸力薦該文在《年刊》發(fā)表。”
一接到《年刊》的用稿通知（譯者注：張益唐的論文在當(dāng)年5月21日錄用（4月17日投稿，）。按照湯濤教授在《張益唐和北大數(shù)學(xué)78級》（《數(shù)學(xué)文化》2013年第2期）中的說法，“這可能是這一頂級期刊的一個紀(jì)錄了?！保?，張益唐就撥通了在圣荷西的Helen的電話。“我說， ‘請關(guān)注新聞和報紙?！?” 他說?！?‘你將會看到我的名字，’ 而她卻說， ‘你喝多了吧？’ ”
沒有一個公式能夠預(yù)言素數(shù)的出現(xiàn)——它們的行為仿佛是隨機的。 在公元前300年，Euclid證明了存在無窮多個素數(shù)。如果你設(shè)想將所有的數(shù)排在一條直線上，素數(shù)用紅色標(biāo)記，那么在一開始就有很多紅點： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43和 47 是50以下的素數(shù)。在100以內(nèi)有25個素數(shù)，1000以內(nèi)有 168 個素數(shù)，1000000以內(nèi)有78498個素數(shù)。當(dāng)素數(shù)越來越大時，它們變得越來越稀疏，而它們之間的距離，即間隙，也變得越來越大。
素數(shù)有如此多新穎的性質(zhì)，如此有魔力，以至于數(shù)學(xué)家開始迷信它。孿生素數(shù)對是間距為2的一對素數(shù)。間距為4的兩個素數(shù)被稱為堂表素數(shù)對（Cousin primes）， 間距為6的兩個素數(shù)被稱為性感素數(shù)對（sexy primes），而中間沒有其它素數(shù)的兩個素數(shù)則成為相鄰素數(shù)對。從Chris Caldwell和G. L. Honaker, Jr.的《素數(shù)古珍》（Prime Curios!}（譯者注：參見http://primes./curios/）中我還知道，一組絕對素數(shù)是這樣一組數(shù)，不論其數(shù)字怎樣排列都是素數(shù)，例如：199; 919; 991。幸運素數(shù)以666作為中心，例如700666007就是一個回文的幸運素數(shù)，因為它正著讀和反著讀都是一樣的。一組循環(huán)素數(shù)是這樣一組數(shù)，它在數(shù)字的循環(huán)之下總是素數(shù)，例如：1193, 1931, 9311, 3119。還有Cuban素數(shù)、Cullen素數(shù)和彎曲數(shù)字素數(shù)—— 其數(shù)字全是彎曲的（0, 6, 8和 9）。一個素數(shù)如果在刪除某些數(shù)字以后仍然是素數(shù)，就稱為可刪除的素數(shù)，例如1987。反素數(shù)是那種反過來寫仍然素數(shù)的素數(shù)，如389, 983。 數(shù)字超過一萬的素數(shù)稱為Gigantic素數(shù)。 有洞素數(shù)是那些數(shù)字有洞(0, 4, 6, 8和 9)的素數(shù)。 還有 Mersenne 素數(shù)、 Pierpont 素數(shù)、 Titanic 素數(shù)、 Wagstaff 素數(shù)、 Wall-孫-孫素數(shù)、Wolstenholme素數(shù)、 Woodall 素數(shù)和 Yarborough 素數(shù)等。
《素數(shù)之間的有界距離》是對孿生素數(shù)猜想的側(cè)面進攻，這一猜想在19世紀(jì)被提出，它斷言存在無限多對孿生素數(shù)對。它至今仍未解決。 Euclid雖然證明存在無限多的素數(shù)，但對是否存在無限多對孿生素數(shù)沒有給出任何信息。張益唐給出了一個距離，使得在無限多種情況下，間隙中有兩個素數(shù)。
“你不得不想象這是從無到有的改變，” Eric Grinberg 說。 “我們此前一無所知。這就像曾一度設(shè)想宇宙是無限的、無界的，卻發(fā)現(xiàn)它在某處有終結(jié)。”用圖示的話，間隙就像一把可以應(yīng)用于數(shù)軸的直尺。張益唐選擇了一把長度為70000000的尺子，因為一個這樣大小的數(shù)使得他的證明更容易。（如果要證明孿生素數(shù)猜想，直尺的長度就必須是2。）這把尺子在沿著數(shù)軸移動時，將有無限多次包含兩個素數(shù)。這是一種對無限多個數(shù)成立但并非對所有的數(shù)成立的結(jié)果。再給一個例子，有無限多個數(shù)是偶數(shù)，但并非所有的數(shù)都是偶數(shù)，還存在奇數(shù)。類似的，這把尺子在沿著數(shù)軸移動時，也有無限多次不包含兩個素數(shù)。
從張益唐的結(jié)果可以推出，存在一個不超過70000000的數(shù)，它精確定義了一個間隙以分離無限多對素數(shù)。一位數(shù)學(xué)家告訴我，可以用鴿籠原理來推導(dǎo)這個結(jié)果。你有無限多只鴿子，即無限多對素數(shù)；你有70000000-1=69999999個籠子：有間距為2,3,4,等直到70000000的籠子。每個鴿子只進一個籠子。最終某個籠子一定有無限多只鴿子。但無法確定究竟是哪個籠子。也許有許多這樣的籠子，甚至可能有699999999個籠子，但至少有一個籠子里有無限多只鴿子。
在發(fā)現(xiàn)存在這樣一個間隙后，張益唐對尋找定義了這一間隙的最小數(shù)不再感興趣。這在他看來只是技術(shù)性的工作，一種體力勞動——卓越的數(shù)學(xué)家稱之為“窮追猛趕”。然而，在張益唐的工作宣布一周之內(nèi)，世界各地的數(shù)學(xué)家競相尋找最小的數(shù)。這一動態(tài)為加州大學(xué)洛杉磯分校的教授陶哲軒所注意到。陶哲軒有一個合作研究項目的主意，數(shù)學(xué)家在其中可以降低這個數(shù)而不是“爭搶頭功”，他告訴我。
這個項目，稱為Polymath8，在2013年三月啟動，持續(xù)了大約一年。有賴于年輕的英國數(shù)學(xué)家James Maynard的工作，參與者有效地將這個界降低到246。“當(dāng)界降低時產(chǎn)生了一些問題，”陶哲軒說，“需要用到越來越多的計算機——有人甚至讓一臺高效率計算機運行了兩個星期才得到計算。理論方面也存在一些問題。用現(xiàn)有的方法，我們無法得到比6更好的界，因為無人知道如何克服一個稱為奇偶性問題的障礙?！?奇偶性問題說，具有某種性態(tài)的素數(shù)無法用現(xiàn)有的方法探測到。“我們從未堅信可以將界降低到2從而證明孿生素數(shù)猜想，但這是一段有趣的歷程，” 陶哲軒說。
“數(shù)學(xué)家是否應(yīng)該具備某種天賦？”
“專注?！?張益唐說。我們在細雨中漫步校園。 “你還應(yīng)該永不放棄你的個性，” 他接著說， “也許你面對的東西非常復(fù)雜，篇幅很長，但你要能通過直覺抓住要點?！?/p>
當(dāng)我們抵達張益唐的辦公室時，我問他如何找到這個問題的門的。他在一塊白板上寫下“Goldston-Pintz-Yildirim'和'Bombieri-Friedlander-Iwaniec”。 他說， “第一篇論文討論了有界間隙，而第二篇論文討論了算術(shù)數(shù)列中的素數(shù)分布。我把兩篇論文放在一起比較，加上我自己的創(chuàng)新，基于圖書館的多年閱讀。”
當(dāng)我問Peter Sarnak張益唐是如何得到他的結(jié)果時，他說 “他所做的一度被認(rèn)為難以企及。40年前也許這個問題是毫無希望的，但在2005年 Goldston-Pintz-Yildirim 把它推進到“仿佛若有光”的境地。每個人都在想，現(xiàn)在我們非常接近了，但直到2011年之前沒有人取得任何進展。 Bombieri, Friedlander和Iwaniec 做了另一項重要工作，但貌似無法將他們的思想與Goldston等人的工作聯(lián)合起來。Bombieri-Friedlander-Iwaniec的結(jié)果作為魔杖還不夠靈活——它受一些附加條件的牽制。這時張益唐單槍匹馬地出現(xiàn)了。許多人像使用電腦一樣使用定理。他們認(rèn)為， 如果它是對的，好，我用它就是了。然而你無法使用 Bombieri-Friedlander-Iwaniec的定理，因為它缺乏彈性。你必須相信我，因為即便是對于一個嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)家來說，這一點也很難解釋。張益唐對其中的技巧有深入的理解，他能夠改良Bombieri-Friedlander-Iwaniec，從而 搭起一座橋。這是他在數(shù)學(xué)方面做的最有意義的事情。他使得關(guān)于素數(shù)分布的 Bombieri-Friedlander-Iwaniec 技巧成為了任何素數(shù)研究的一個工具。 始于18世紀(jì)的一項數(shù)學(xué)進展通過他得到了延續(xù)?！?/p>
“我們的條件需要放松，” Iwaniec告訴我。“我們也試過，但無法去掉這些條件。我們沒有試多久，因為在失敗之后你開始猜測也許存在著某種固有的屏障，因此我們放棄了?！?/p>
我問他是否為張益唐的結(jié)果所震驚。 “張益唐的工作轟動了學(xué)界，” 他說， “他的工作是一項杰作。當(dāng)我們談?wù)摂?shù)論時，美大多源自其機理。盡管張益唐單槍匹馬，但他在某種程度上對這些了如指掌。這就是他的驚人之處。他只是神奇地將這些論文中的某些論證往前推進?！?/p>
Archimedes的同代人、希臘人Eratosthenes曾發(fā)明了一種簡單的方法來尋找素數(shù)，這種方法被稱為篩法。張益唐用到了一種非常復(fù)雜的篩法。為利用簡單的篩法找到比如說1000以內(nèi)的所有素數(shù)，你只需要寫下1000以內(nèi)的所有的數(shù)，然后從中劃掉2的所有倍數(shù)，3的所有倍數(shù)等，最多你只需要劃到31的所有倍數(shù)。張益唐應(yīng)用了一種與眾不同的篩法。之前的篩法篩除了那些相距很遠的數(shù)。用那種篩法，Goldston, Pintz和 Yildirim 證明了，總存在兩個素數(shù)，其距不超過那樣大小的素數(shù)的平均間距。 他們無法得到一個精確的間隙。張益唐通過利用一種較細的篩法取得了部分成功。
我問張益唐，他是否在研究新的東西。 “可能是兩三個我想解決的問題，”他說。“素數(shù)間隙是成功了，但我還有其他問題?！?/p>
“那將同等重要嗎？”
“是的。”
據(jù)其他數(shù)學(xué)家說，張益唐正研究關(guān)于Landau-Siegel 零點猜想的不完備結(jié)果?！叭绻晒α耍瑢⒏粦騽⌒?，” Peter Sarnak 說?！拔覀儾恢浪烤闺x它有多近，但他已經(jīng)證明了他是個天才。這一點毫無疑問。他還證明了他能堅持多年。有鑒于此，他成功的機率不是零，是正的?！?/p> “許多人都嘗試過那個問題，” Iwaniec 說。“但他只屬于他自己。無需著急。即便這將耗費他再一個十年，他也能泰然處之。除非你在解決一個已經(jīng)解決了的問題，只是其解答很繁冗或者其解一開始就很顯然，否則你大部分時光都是卡殼的。但張益唐樂意卡得更久一些?！?/p>
張益唐的僅對攻克重大問題的偏愛是不過見的。追求終身職位要求學(xué)者頻繁地發(fā)表論文，這通常意味著在一個領(lǐng)域內(nèi)將個人的工作精細化，而這是張益唐所不情愿的。在其他數(shù)學(xué)家面前，他沒有表現(xiàn)出好勝心，也沒有因為其他人都評上了教授、自己多年以來只是一個講師而不滿。朋友當(dāng)中沒有人認(rèn)為他適合某個終身職位?！拔艺J(rèn)為他做得很聰明，”楊鼎告訴我?！叭绻愠蔀橐幻麅?yōu)秀的微積分講師，學(xué)校會非常依賴你。你廉價而可靠，沒有理由開除你。干了幾年以后，你幾乎可以閉著眼睛講課。你會有很多的自由時間思考，只要你對生活沒有太高的奢求。當(dāng)然也有一些人嘗試著非終身的工作，但他們通常腦筋有問題、性格扭曲、過著不正常的生活，而且很難打交道，因為他們感覺被人瞧不起。顯然，張益唐從未有這種感覺?！?/p>
一天，當(dāng)他沏茶時，我來到張益唐的辦公室。他的桌上有一篇帶有方程式的論文，論文上擱著鋼筆。張益唐手里拿著一個信封，“我收到了老朋友的一封信，”他說。 “我們多年不見，現(xiàn)在他找到了我?！?/p>
他從抽屜里拿出一把剪刀，慢慢地剪開信封，如此地小心翼翼，仿佛他在舉行一個儀式。 信是用漢字寫的。他坐在椅子邊緣，慢慢地讀著。他放下信，從信封里掏出一張照片，是一家三口，男人、女人和小孩，以窗簾為背景。他把信再讀了一遍，塞回信封，放到抽屜里，然后合上?！八男碌刂吩诨屎髤^(qū)，”他說。然后他端起茶杯，吹著茶，透過茶杯上方看著我，仿佛凝視著墻面。
我問起Hardy關(guān)于年紀(jì)的觀察——Hardy還寫道，“一個數(shù)學(xué)家年過花甲也許仍然很有能力，但不能期待他有原創(chuàng)性的思想?！?/p> “這對我不適用，” 張益唐說。 他把茶放在桌上，目光延伸到窗外。“我仍然覺得我有直覺，”他說， “我仍然自信，仍然有一些其它想法。”
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