線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線性運(yùn)算的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩 陣。行列式和矩陣在十九世紀(jì)受到很大的注意 , 而且寫(xiě)了成千篇關(guān)于這兩個(gè)課題的文章。向量的概念 , 從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看不過(guò)是有序三元數(shù)組的一個(gè)集合 , 然而它以力或速度作為直接的物理意義 , 并且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫(xiě)出 物理上所說(shuō)的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有說(shuō)服力。同樣 , 行列式和矩陣如導(dǎo)數(shù)一樣（雖然 dy/dx 在數(shù)學(xué)上不過(guò)是一個(gè)符號(hào) , 表示包括△y/△x的極限的長(zhǎng)式子 , 但導(dǎo)數(shù)本身是一個(gè)強(qiáng)有力的概念 , 能使我們直接而創(chuàng)造性地想象物理上發(fā)生的事情）。因此，雖然表面上看，行列式和矩陣不過(guò)是一種語(yǔ)言或速記，但它的大多數(shù)生動(dòng)的概念能對(duì)新的思想領(lǐng)域提供鑰 匙。然而已經(jīng)證明這兩個(gè)概念是數(shù)學(xué)物理上高度有用的工具。 

   線性代數(shù)學(xué)科和矩陣?yán)碚撌前殡S著線性系統(tǒng)方程系數(shù)研究而引入和發(fā)展的。 行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來(lái)的，他在 1683 年寫(xiě)了一部叫做《解伏題之法》的著作，意思是 “ 解行列式問(wèn)題的方法 ” ，書(shū)里對(duì)行列式的概念和它的展開(kāi)已經(jīng)有了清楚的敘述。歐洲第一個(gè)提出行列式概念的是德國(guó)的數(shù)學(xué)家， 微積分學(xué)奠基人之一 萊布 尼 茲 （ Leibnitz ， 1693 年） 。 1750 年 克萊姆（ Cramer ） 在他的《線性代數(shù)分析導(dǎo)言》（ Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中 發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程的重要基本公式（既人們熟悉的 Cramer 克萊姆法則）。 1764 年 , Bezout 把確定行列式每一項(xiàng)的符號(hào)的手續(xù)系統(tǒng)化了。對(duì)給定了含 n 個(gè)未知量的 n 個(gè)齊次線性方程 , Bezout 證明了系數(shù)行列式等于零是這方程組有非零解的條件。 Vandermonde 是第一個(gè)對(duì)行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的闡述 ( 即把行列 ' 式理論與線性方程組求解相分離 ) 的人。并且給出了一條法則，用二階子式和它們的余子式來(lái)展開(kāi)行列式。就對(duì)行列式本身進(jìn)行研究這一點(diǎn)而言，他是這門(mén)理論的奠基人。 Laplace 在 1772 年的論文《對(duì)積分和世界體系的探討》中 , 證明了 Vandermonde 的一些規(guī)則 , 并推廣了他的展開(kāi)行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它們的余子式的集合來(lái)展開(kāi)行列式，這個(gè)方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名。 德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論。另一個(gè)研究行列式的是法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家 柯西 (Cauchy) ，他大大發(fā)展了行列式的理論，在行列式的記號(hào)中他把元素排成方陣并首次采用了雙重足標(biāo)的新記法，與此同時(shí)發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改進(jìn)并證明了 laplace 的展開(kāi)定理。相對(duì)而言，最早利用矩陣概念的是 拉格朗日（ Lagrange ） 在 1700 年后的雙線性型工作中體現(xiàn)的。拉格朗日期望了解多元函數(shù)的最大、最小值問(wèn)題，其方法就是人們知道的拉格朗日迭代法。為了完成這些，他首先需要一階偏導(dǎo)數(shù)為 0 ，另外還要有二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣的條件。這個(gè)條件就是今天所謂的正、負(fù)的定義。盡管拉格朗日沒(méi)有明確地提出利用矩陣。 

   高斯（ Gauss ） 大約在 1800 年提出了高斯消元法并用它解決了天體計(jì)算和后來(lái)的地球表面測(cè)量計(jì)算中的最小二乘法問(wèn)題。（這種涉及測(cè)量、求取地球形狀或當(dāng)?shù)鼐_位置的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支稱(chēng)為測(cè) 地學(xué)。）雖然高斯由于這個(gè)技術(shù)成功地消去了線性方程的變量而出名，但早在幾世紀(jì)中國(guó)人的手稿中就出現(xiàn)了解釋如何運(yùn)用“高斯”消去的方法求解帶有三個(gè)未知量 的三方程系統(tǒng)。在當(dāng)時(shí)的幾年里，高斯消去法一直被認(rèn)為是測(cè)地學(xué)發(fā)展的一部分，而不是數(shù)學(xué)。而高斯 - 約當(dāng)消去法則最初是出現(xiàn)在由 Wilhelm Jordan 撰寫(xiě)的測(cè)地學(xué)手冊(cè)中。許多人把著名的數(shù)學(xué)家 Camille Jordan 誤認(rèn)為是“高斯 - 約當(dāng)”消去法中的約當(dāng)。 

   矩陣代數(shù)的豐富發(fā)展，人們需要有合適的符號(hào)和合適的矩陣乘法定義。二者要在大約同一時(shí)間和同一地點(diǎn)相遇。 1848 年英格蘭的 J.J. Sylvester 首先提出了矩陣這個(gè)詞，它來(lái)源于拉丁語(yǔ)，代表一排數(shù)。 1855 年矩陣代數(shù)得到了 Arthur Cayley 的工作培育。 Cayley 研究了線性變換的組成并提出了矩陣乘法的定義，使得復(fù)合變換 ST 的系數(shù)矩陣變?yōu)榫仃?S 和矩陣 T 的乘積。他還進(jìn)一步研究了那些包括矩陣逆在內(nèi)的代數(shù)問(wèn)題。著名的 Cayley- Hamilton 理論即斷言一個(gè)矩陣的平方就是它的特征多項(xiàng)式的根，就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩陣?yán)碚撐募刑岢龅?。利用單一的字?A 來(lái)表示矩陣是對(duì)矩陣代數(shù)發(fā)展至關(guān)重要的。在發(fā)展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 為矩陣代數(shù)和行列式間提供了一種聯(lián)系。 數(shù)學(xué)家 Cauchy 首先給出了特征方程的術(shù)語(yǔ)，并證明了階數(shù)超過(guò) 3 的矩陣有特征值及任意階實(shí)對(duì)稱(chēng)行列式都有實(shí)特征值；給出了相似矩陣的概念，并證明了相似矩陣有相同的特征值；研究了代換理論， 

   數(shù)學(xué)家試圖研究向量代數(shù)，但在任意維數(shù)中并沒(méi)有兩個(gè)向量乘積的自然定義。第一個(gè)涉及一個(gè)不可交換向量積（既 v x w 不等于 w x v ）的向量代數(shù)是由 Hermann Grassmann 在他的《線性擴(kuò)張論》（ Die lineale Ausdehnungslehre ） 一 書(shū)中提出的。 (1844) 。他的觀點(diǎn)還被引入一個(gè)列矩陣和一個(gè)行矩陣的乘積中，結(jié)果就是現(xiàn)在稱(chēng)之為秩數(shù)為 1 的矩陣，或簡(jiǎn)單矩陣。在 19 世紀(jì)末美國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家 Willard Gibbs 發(fā)表了關(guān)于《向量分析基礎(chǔ)》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名論述。其后物理學(xué)家 P. A. M. Dirac 提出了行向量和列向量的乘積為標(biāo)量。我們習(xí)慣的列矩陣和向量都是在 20 世紀(jì)由物理學(xué)家給出的。 

   矩陣的發(fā)展是與線性變換密切相連的。到 19 世紀(jì)它還僅占線性變換理論形成中有限的空間。現(xiàn)代向量空間的定義是由 Peano 于 1888 年提出的。二次世界大戰(zhàn)后隨著現(xiàn)代數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)展，矩陣又有了新的含義，特別是在矩陣的數(shù)值分析等方面。 由于計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，許多實(shí)際問(wèn)題可以通過(guò)離散化的數(shù)值計(jì)算得到定量的解決。于是作為處理離散問(wèn)題的線性代數(shù)，成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)的 科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

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