【震撼來襲】華杯賽近三年決賽試卷解析+試題分析+備考建議

迎高考學(xué)習(xí)資料 2016-01-16

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近三年“華杯賽”試題分析報告

撰寫人：張勇，汪宜晟時間：2016/1/15

第一部分 “華杯賽”簡介

華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽（簡稱“華杯賽”）是為了紀(jì)念和學(xué)習(xí)我國杰出的數(shù)學(xué)家華羅庚教授，于1986年始創(chuàng)的全國性大型少年數(shù)學(xué)競賽活動，由中國少年報社（現(xiàn)為中國少年兒童新聞出版總社）、中國優(yōu)選法統(tǒng)籌法與經(jīng)濟數(shù)學(xué)研究會、中央電視臺青少中心等單位聯(lián)合發(fā)起并主辦?！叭A杯賽”是以教育廣大青少年從小學(xué)習(xí)和弘揚華羅庚教授的愛國主義思想、刻苦學(xué)習(xí)的品質(zhì)、熱愛科學(xué)的精神；激發(fā)廣大中小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、開發(fā)智力、普及數(shù)學(xué)科學(xué)為宗旨的活動。近30年來，“華杯賽”已成功舉辦了二十屆賽事和五屆“華杯賽”精英賽活動，全國有包括香港、澳門、臺灣在內(nèi)的100多個城市和地區(qū)，4000多萬少年兒童參加了比賽?！叭A杯賽”已成為了教育、鼓舞一代又一代廣大青少年勇攀科學(xué)高峰和奮發(fā)向上的動力，深受廣大學(xué)生、教師、家長的喜愛。日本、韓國、新加坡、馬來西亞、菲律賓、蒙古國、美國等國家也先后派隊參加。

第二部分試題分析

（一）題型、考點和難易程度劃分

自2007年第十二屆開始，華杯賽題型基本固定下來。初賽以選擇題和填空題為主，共10題總分100分，其中選擇題60分（6×10’），填空題40分（4×10’）。而決賽以填空題和解答題為主，共14題總分150分，其中填空題80分（8×10’），解答題70分（4×10’+2×15’）。本文主要討論決賽試題，以幫助正在準(zhǔn)備3月12日華杯賽決賽的同學(xué)更加全面的了解決賽考點，進而更加科學(xué)從容備考。以下是近三年決賽試題的題型、所屬模塊、考點以及難易程度總結(jié)，其中第十九屆A、B、D卷、第二十屆A、D卷除個別題目不同外，其他題目完全相同，在此只總結(jié)其中的A卷。以下是第十九屆決賽A卷試題分析，其他幾屆請下載附件。

以下是近三年決賽試卷難易程度所占比例，從圖中可以看出簡單題（一星）和中等難度題目（二星）占了將近整張試卷一半的分值，而中等偏上難度題目（三星）和高難度題目（四星）加起來占一半的分值。其中簡單題和高難度題題目加起來占30%左右，而中等難度題目和中等偏上難度題目加起來占60%左右。

（二）各個模塊所占分值變化

我們把試題按照六個模塊來劃分：計算、幾何、應(yīng)用題、計數(shù)、數(shù)論和組合。當(dāng)然一道試題不可能只考一個知識點，經(jīng)常會出現(xiàn)綜合性的題目，例如組合部分的試題會涉及到數(shù)論和計數(shù)知識等，以下是每張試卷各大模塊所占分值的變化趨勢：

以下是近三年各個模塊所占比例統(tǒng)計結(jié)果，從圖中可以看出，幾何、數(shù)論和組合部分所占比重較大，計算和計數(shù)所占比重相對較?。?/font>

（三）考點詳細解讀

通過以上對近三年試題題型和考點的總結(jié)，相信大家已經(jīng)對華杯賽決賽所考察的知識模塊、難易程度及各模塊所占比重有了大致的了解。那么具體到每個模塊，歷屆華杯賽都喜歡考察哪些知識點呢？下面我們對每個模塊所涉及的考點及孩子們需要掌握的程度進行詳細總結(jié)。

1. 計算模塊：計算題幾乎是每年必考一題，通常會放在第一題，難度是全卷最小的，因此這10分是參賽孩子們必須拿到手的。只有對于簡單會做的題目拿滿分，難度大的題目盡量拿分，才有可能沖刺獎牌。試想如果會做的計算題目10分因為粗心沒有拿到手，那么要想用后面難題來補上這10分將是非常困難的，所以這10分非常重要，一定要拿到手！從歷屆決賽題目來看，這道計算題考點基本都是分小混合運算、提取公因數(shù)、約分、拆分和湊整等常規(guī)技巧，退一萬步講，如果臨時想不出巧算方法，那么硬算也是可以的，總之命題老師不是想在計算上考到大家，而是為了把這10分送給所有考生。

2. 幾何模塊：幾何部分每年會考一道題或者兩道題，涉及的考點集中在：基本圖形的面積計算（三角形、平行四邊形、正方形、長方形、梯形、圓和扇形等）、勾股定理和常用勾股數(shù)、等高模型、一半模型、鳥頭模型、燕尾模型、風(fēng)箏模型、沙漏模型、金字塔模型和格點面積公式等，要求孩子能夠熟練基本圖形面積計算公式，會用割補法和整體減局部法對不規(guī)則圖形進行分割和拼湊，從而間接求面積。會用等高模型和一半模型對圖形進行等積變換，理解和運用“七大模型”實現(xiàn)圖形面積比與線段長度比之間的轉(zhuǎn)化。要求孩子孩子具有一定的添加輔助線能力，有時題目中無法直接運用模型進行求解，這時需要孩子對圖形具有敏銳的觀察力和對題目考點的把控，添加輔助線后運用模型求解。例如第十八屆決賽A卷第4題需要簡單添加輔助線構(gòu)造直角三角形進行求解，第十八屆決賽B卷第10題需要添加簡單輔助線構(gòu)造等高模型和燕尾模型求解，第十九屆決賽A卷第12題需要添加簡單輔助線構(gòu)造風(fēng)箏模型求解，第二十屆決賽A卷第11題需要創(chuàng)造性的添加輔助線構(gòu)造一半模型幫助求解。所以大家平時要多積累輔助線的添加方法，目的都是為了使用模型或者使圖形變得更加規(guī)則。

3. 應(yīng)用題模塊：應(yīng)用題模塊包含的考點有：和差倍分問題、行程問題、工程問題、年齡問題、平均數(shù)問題、比例法解應(yīng)用題以及濃度和經(jīng)濟問題。對于和差倍分問題要理解份數(shù)的思想；行程問題涉及的考點比較多，但在比賽中一般不會涉及到簡單的行程問題，而是較為復(fù)雜的像流水行船、變速問題、時鐘問題、多人多次相遇和追及、走走停停和變道問題等。要求孩子們能熟練運用比例（時間一定，路程比等于速度比；速度一定，路程比等于時間比；路程一定，速度比與時間比成反比）和份數(shù)的思想，會畫行程線段圖幫助理解題意，對于有的題目用方程解比較方便的要會借助方程解題。行程問題出現(xiàn)在決賽中難度一般都比較大，比如第十八屆決賽A卷的第11題流水行船問題，第十八屆決賽B卷的第7題份數(shù)思想的運用，第十九屆決賽A卷第11題份數(shù)思想的運用和第二十屆決賽A卷第4題的鐘表問題等。其他應(yīng)用題模塊相比行程問題會簡單一些，但也要對掌握每種問題對應(yīng)的基本解法，比如工程問題的量率對應(yīng)、年齡問題中抓住年齡差不變、平均數(shù)問題的“移多補少”思想、濃度問題中的十字交叉法等?？偟膩碚f應(yīng)用題模塊在決賽中一般會出現(xiàn)兩道題左右，難度都是中等較為偏上，但不是最難的題目，所以對于有志沖刺獎牌的同學(xué)這部分分?jǐn)?shù)一定要拿到手。

4. 計數(shù)問題：計數(shù)問題在決賽中也頻繁出現(xiàn)，涉及到的考點主要有：枚舉法、加乘原理、抽屜原理、容斥原理和排列組合等。計數(shù)問題綜合性比較強，可以和幾何、數(shù)論和組合數(shù)學(xué)知識點進行綜合，所以難度比較大。注意枚舉時要做到不重不漏，這樣就需要進行有序枚舉或者制訂一定的枚舉策略幫助枚舉，有時會涉及到抽屜原理、容斥原理和幾何旋轉(zhuǎn)對稱等，抽屜原理和最不利原則要放在一起進行理解。例如第十八屆決賽A卷第13題與組合構(gòu)造結(jié)合進行的分類枚舉，第十八屆決賽B卷第9題綜合容斥原理和排列組合的幾何計數(shù)，第十九屆決賽A卷第9題的分類枚舉，第二十屆決賽A卷第8題與組合綜合的分類枚舉等。計數(shù)部分每年會出20分左右的題目，要拿到這部分分?jǐn)?shù)需要在其他模塊打好基礎(chǔ)，包括加乘原理、排列組合、數(shù)論和組合計數(shù)等。

5. 數(shù)論模塊：從以上考點分析和各個模塊所占比重分析可以看到，單純的數(shù)論題每年大概在兩道題左右，但是我們說數(shù)論模塊是華杯賽中非常重要的一部分，往往是拉開差距的地方，因為除了單純的數(shù)論題目外，數(shù)論還會和計數(shù)以及組合數(shù)學(xué)相結(jié)合出題，難度一般都會很大，因此實際上數(shù)論在每套試卷中考察的實際分值在50分以上，所以同學(xué)們平時要在數(shù)論上多下功夫。數(shù)論模塊的考點包括：數(shù)的整除特征、位置原理、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)、完全平方數(shù)、余數(shù)問題等。例如，第十八屆決賽A卷第3題、第5題和第7題的余數(shù)問題，第十八屆決賽A卷第14題數(shù)論與構(gòu)造的綜合，第十九屆決賽B卷第2題因數(shù)和倍數(shù)，第二十屆決賽A卷第5題數(shù)論與排列組合和位置原理綜合，第7題數(shù)論與容斥原理綜合，第9題公因數(shù)和公倍數(shù)等。數(shù)論是大部分學(xué)生的一個痛點，所以在比賽中也是容易拉出差距的地方，對這部分的備考需要先理解一些數(shù)論的基本結(jié)論和性質(zhì)，然后通過專題性的訓(xùn)練進行鞏固和加深理解，并且達到熟練運用的目標(biāo)。

6. 組合數(shù)學(xué)：在本文中，把所有的雜題部分歸類為組合數(shù)學(xué)。考點包括：數(shù)字謎、數(shù)陣圖、不定方程、論證與構(gòu)造、分類討論、最值問題、周期問題、比賽問題、邏輯推理等。組合部分涵蓋類型廣，難度大，所占分值高。要想這部分拿高分，只有通過多練習(xí)和多見題型。對于一些比較巧妙的構(gòu)造方法，要花時間琢磨透徹。豎式數(shù)字謎要熟悉幾種分析方法，包括尾數(shù)分析、進退位分析、數(shù)字和分析等，數(shù)字謎跟數(shù)論知識具有千絲萬縷的聯(lián)系，所以要同時在這兩部分下功夫；數(shù)陣圖要掌握重數(shù)分析；不定方程跟數(shù)論也有千絲萬縷的聯(lián)系，涉及到數(shù)的整除，所以也要在數(shù)論上下功夫；邏輯推理部分熟悉假設(shè)法和列表分析等常規(guī)方法等。這部分出題靈活，有志沖刺一等獎的同學(xué)還得多做練習(xí)。

第三部分備考建議

總的來說，華杯賽題目難度和靈活性是在所有比賽當(dāng)中最高的，要想拿到獎牌和名次，一定要做到難度低的題目保證把分拿到手，要克服粗心失分。正如前面我所分析的，整個試題中第一題計算難度比較低，這10分是必須要拿到的。對于這部分的備考，可以分模塊每天訓(xùn)練幾道，重點訓(xùn)練：分小互化、分?jǐn)?shù)約分、分?jǐn)?shù)四則混合、分小混合（考試時可以把所有小數(shù)化為分?jǐn)?shù)進行運算）、提取公因數(shù)、拆分和湊整，考慮到這個題目式子不會太復(fù)雜，如果考試時一時無法想出技巧，完全可以把所有小數(shù)化為分?jǐn)?shù)硬算（計算過程一定可以實現(xiàn)約分和湊整），關(guān)鍵要細心。對于難度不高的幾何部分，這20分左右的分?jǐn)?shù)至少要拿到10分，爭取拿到20分。因為幾何題目的套路都比較清晰，只要認(rèn)真?zhèn)淇?，這部分我相信同學(xué)們可以完全拿下！那么對于幾何備考，建議按照我前面所羅列的考點進行逐一擊破，可以每天訓(xùn)練一個考點：基本圖形的面積計算（三角形、平行四邊形、正方形、長方形、梯形、圓和扇形等）、勾股定理和常用勾股數(shù)及弦圖、等高模型、一半模型、鳥頭模型、燕尾模型、風(fēng)箏模型、沙漏模型、金字塔模型和格點面積公式，訓(xùn)練時先把基本公式記住，然后每天訓(xùn)練一個考點5道題目左右。對于應(yīng)用題模塊，涉及考點太多，建議同學(xué)們把訓(xùn)練重點放在行程問題、工程問題、時鐘問題和濃度問題上，尤其注意比例法和份數(shù)思想解行程，把時鐘問題轉(zhuǎn)化為行程問題，可以考慮每個模塊花兩天時間進行專題訓(xùn)練。而后面的計數(shù)問題、數(shù)論和組合問題三個模塊題目靈活難度大，不建議專題突破，更建議同學(xué)們做近三年的華杯賽真題！對于準(zhǔn)備沖刺獎杯的同學(xué)，不會的題目一定要參考答案或者詢問老師把題目搞懂！除了針對模塊知識點各個擊破外，同學(xué)們考試時還要注意過程的書寫，決賽有6個解答題，這部分題目不僅僅要寫出正確答案，還要把推理過程的主要步驟寫清楚，會有一定的步驟分。在備考的時候同學(xué)們也要注意勞逸結(jié)合，注意休息，作息規(guī)律，避免生病感冒，保持良好的狀態(tài)。最后，祝愿各位同學(xué)在比賽中取得自己理想的成績，為自己的小升初錦上添花！