蝴蝶定理　　英文名稱Butterfly theorem
　　概況：
　　蝴蝶定理最先是作為一個征求證明的問題，刊載于1815年的一份通俗雜志《男士日記》上。由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理內(nèi)容：圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。
　　出現(xiàn)過許多優(yōu)美奇特的解法，其中最早的，應(yīng)首推霍納在職1815年所給出的證法。至于初等數(shù)學(xué)的證法，在國外資料中，一般都認(rèn)為是由一位中學(xué)教師斯特溫首先提出的，它給予出的是面積證法，其中應(yīng)用了面積公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《數(shù)學(xué)教師》創(chuàng)刊號上，杜錫錄同志以《平面幾何中的名題及其妙解》為題，載文向國內(nèi)介紹蝴蝶定理，從此蝴蝶定理在神州大地到處傳開。 

　　這里介紹一種較為簡便的初等數(shù)學(xué)證法。
　　證明：過圓心O作AD與BC的垂線，垂足為S、T，連接OX，OY，OM，SM，MT。
　　∵△AMD∽△CMB
　　∴AM/CM=AD/BC
　　∵SD=1/2AD，BT=1/2BC
　　∴AM/CM=AS/CT
　　又∵∠A=∠C
　　∴△AMS∽△CMT
　　∴∠MSX=∠MTY
　　∵∠OMX=∠OSX=90°
　　∴∠OMX+∠OSX=180°
　　∴O，S，X，M四點共圓
　　同理，O，T，Y，M四點共圓
　　∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX
　　∴∠MOX=∠MOY ，
　　∵OM⊥PQ
　　∴XM=YM
　　這個定理在橢圓中也成立，如圖
　?。?，橢圓的長軸A1、A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M（o，r）（b＞r＞0）。
　　（Ⅰ）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標(biāo)及離心率；
　?。á颍┲本€y=k1x交橢圓于兩點Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直線y=k2x交橢圓于兩點Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）（y４＞０）。
　　求證：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
　?。á螅τ冢á颍┲械腃，D，G，H，設(shè)CH交X軸于點P，GD交X軸于點Q。
　　求證： | OP | = | OQ |。
　?。ㄗC明過程不考慮CH或GD垂直于X軸的情形）
　　2．解答：北京教育考試院招生考試辦公室專家在公布的《2003年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試試題答案匯編》中給出的參考解答如下：
　　（18）本小題主要考查直線與橢圓的基本知識，考查分析問題和解決問題的能力。滿分15分。
　　（Ⅰ）解：橢圓方程為x2/a2+(y-r)2/b2=1
　　焦點坐標(biāo)為
　?。á颍┳C明：將直線CD的方程y=k?x代入橢圓方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，
　　整理，得
　　(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
　　根據(jù)韋達(dá)定理，得
　　x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，
　　所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①
　　將直線GH的方程y=k2x代入橢圓方程，同理可得
　　x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②
　　由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)
　　所以結(jié)論成立。
　?。á螅┳C明：設(shè)點P（p，o），點Q（q，o）。
　　由C，P，H共線，得
　　(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4
　　解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
　　由D，Q，G共線，同理可得
　　q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)
　　由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，變形得：
　　x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
　　即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
　　所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。
　　3．簡評
　　本小題主要考查直線與橢圓等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力。試題入門容易，第（Ⅰ）問考查橢圓方程、待定系數(shù)法、坐標(biāo)平移和橢圓性質(zhì)：焦點坐標(biāo)、離心率、看圖說話即可解決問題，但考查的卻都是重點內(nèi)容。
　　第（Ⅱ）問是典型的直線與橢圓的位置關(guān)系問題。待證式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4這樣的對稱式，式子結(jié)構(gòu)對稱優(yōu)美，和諧平衡，使人很容易聯(lián)想起一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的韋達(dá)定理，啟示了證明問題的思路。這里用到了解析幾何最根本的思想和最根本的方法。解兩個聯(lián)立的二元二次方程組，用代入消元法得到一元二次方程，分離系數(shù)利用韋達(dá)定理給出關(guān)于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表達(dá)式，再分別代入待證式兩邊運算即達(dá)到證明目的。證明的過程中，由兩個聯(lián)立方程組結(jié)構(gòu)的相似性運用了“同理可得”，整個證明過程也令人賞心悅目，感受到了邏輯證明與表達(dá)的順暢、簡約的美的魅力。
　　第（Ⅲ）問證明中用到了三點共線的充要條件，用到了過兩點的直線的斜率公式，分別解出p，q以后，|OP|=|OQ|等價轉(zhuǎn)化成了p= -q（或p+q=0。）此時分析前提條件（Ⅱ）及待證結(jié)論p= -q，關(guān)鍵在于溝通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)與x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的聯(lián)系。參考解答中的表述略去了一些變形的中間過程，使人不易看出溝通的線索，以及命題人變形的思路，因此讀者理解起來感到困難。如果將兩式做如下變形，則思路就顯然順暢自然。
　　設(shè)：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)為①式，兩邊同取倒數(shù)，得
　　1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’
　　設(shè)：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)為 ②式，兩邊同取倒數(shù)，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移項得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’
　　將①’兩邊同乘以k1·k2，即得
　　k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
　　它與②’完全一樣。這里利用兩式同時變形的方法可以較容易實現(xiàn)目的，有分析、有綜合，有思維，有運算。思路的選擇有賴于對式子特征的觀察聯(lián)想。
　　綜觀這道題的題目特征及解答過程，我們看到了用代數(shù)方程但方法處理幾何問題的作用與威力。
　　4．賞析：
　　上面我們看到，試題的結(jié)構(gòu)及其解答都令人感到賞心悅目，至此，我們不禁要追問一句：試題是怎么命制出來的？它的背景是什么？它對我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)、高三復(fù)習(xí)與備考有什么啟示？
　　關(guān)于圓，有一個有趣的定理：
　　蝴蝶定理 設(shè)AB是圓O的弦，M是AB的中點。過M作圓O的兩弦CD、EF，CF、DE分別交AB于H、G。則MH=MG。
　　這個定理畫出來的幾何圖，很像一只翩翩飛舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（圖2）。
　　盯著試題的圖1仔細(xì)看，它像不像橢圓上翩翩飛舞的蝴蝶？
　　像，而且像極了。試題的證明過程及結(jié)果告訴我們，橢圓中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法證明的。如果令橢圓的長軸，短軸相等，即a=b，則橢圓就變成了圓，橢圓中的蝴蝶定理就變成了圓上的蝴蝶定理，上面的證明一樣適用。由于橢圓也可以看作將一個圓經(jīng)“壓縮變換”而得，故圓上的蝴蝶定理經(jīng)“壓縮變換”也可以變成橢圓上的蝴蝶定理?！棒骠婧铏E圓，飛落高考數(shù)學(xué)花。”讀者諸君欣賞至此，是否體會到了數(shù)學(xué)命題幾何專家命制高考試題的“高招”及良苦用心？
　　[關(guān)于“橢圓上的蝴蝶”，張景中院士在其獻(xiàn)給中學(xué)生的禮物一書《數(shù)學(xué)家的眼光》“巧思妙解”一節(jié)中有著精妙的論述，有興趣的讀者請參閱該書P54-59]。
　　5．啟示
　　橢圓上的蝴蝶翩翩飛舞，飛落到了北京數(shù)學(xué)高考試題的百花（草）園，令人欣喜異常。它雖然有著競賽數(shù)學(xué)、仿射變換、數(shù)學(xué)名題的背景，然而這里證明它，卻只用到了教科書里反復(fù)提到的三點共線問題和斜率公式，用到了解析幾何最基本的方法。高級中學(xué)課本《平面解析幾何》全一冊（必修）數(shù)處提到三點共線問題，如P13習(xí)題一第14題：已知三點A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。求證：三點在一條直線上：P17練習(xí)4：證明：已知三點A、B、C，如果直線AB、AC的斜率相等，那么這三點在同一條直線上；P27習(xí)題二第9題：證明三點A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一條直線上；P47復(fù)習(xí)參考題一第3題：用兩種方法證明：三點A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一條直線上。你看，課本上的練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題，反復(fù)提到了三點共線的證明，并且強調(diào)用不同的方法來證明。為什么？你（老師、學(xué)生）關(guān)注到了它嗎？
　　實際上，三點共線的不同證明，可以把解析幾何第一章的重點基礎(chǔ)知識充分調(diào)動起來，組織起來。你可以用基本公式——平面上兩點間的距離公式
　　證明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以應(yīng)用定比分點公式x=（x1+λx2）/（1+λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去證λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用過兩點的直線的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去證KAB=KAC；你還可以先建立直線AB的方程f(x,y)=0，然后驗證點C的坐標(biāo)適合直線AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直線AB的方程之后，利用點到直線的距離公式　
　　證明dc-AB=0；你還可以計算△ABC的面積，去證Ｓ△ABC=0。你看，有五、六種方法可以解決同一個問題，當(dāng)然難度有高有低。一題多解中選擇方法、優(yōu)化方法也是能力（洞察、觀察）的體現(xiàn)，從比較中才可以鑒別方法的優(yōu)劣。據(jù)說考試下來，有一些重點中學(xué)的尖子生對自己沒能解答出第（Ⅲ）問很懊悔，一些老師也說這個題目“運算量太大難以完成”！不知讀者諸君欣賞至此，能不能發(fā)現(xiàn)上述問題的癥結(jié)究竟發(fā)生在哪里？北京市有許多重點中學(xué)的師生，對高中數(shù)學(xué)課本的習(xí)題不屑一顧，很少去鉆研教材中的例題、習(xí)題，去尋求與發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，去總結(jié)解題的原則、思路與規(guī)律。各種各樣的復(fù)習(xí)資料，幾十套幾十套的各地模擬試卷，使高三學(xué)生跳進(jìn)題海做得昏天黑地而難以自拔，這哪里還談得上素質(zhì)教育與培養(yǎng)能力？我們應(yīng)當(dāng)從欣賞“翩翩飛舞的橢圓蝴蝶”中去用心體會“精選題目充分利用題目的“營養(yǎng)”價值”在數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)中的重要作用，從而解放思想，勇敢大膽地摒棄“題海戰(zhàn)術(shù)”。而要使學(xué)生跳出題海，老師就必須首先跳入題海，“題海探珠”，感悟數(shù)學(xué)教育改革的真諦?！⒅鼗A(chǔ)、注重理解、注重聯(lián)系、注重能力。
　　補充：混沌論中蝴蝶定理
　　數(shù)學(xué)的一門分支是混沌論?；煦缯撝杏幸粋€非常著名的定理——蝴蝶定理。它是說，一些最輕微的因素，能夠在復(fù)雜的環(huán)境中，引起滔天的巨浪，就好比地球南半球一只蝴蝶輕輕地扇動美麗的翅膀，那微小的氣流，已足已引起北半球的颶風(fēng)和海嘯。
　　而我們怎能跟蹤那葉尖的微微一顫呢？ 所以經(jīng)濟(jì)和氣象都是不可預(yù)測的，正如人生無法預(yù)測。
　　蝴蝶定理的推廣
　　如圖I，是“蝴蝶定理”，有結(jié)論EP=PF；如圖II，是“蝴蝶定理”的演變，點P，Q，R，S是否也存在某種關(guān)系呢？
　　所以過圓心O的兩個同心圓內(nèi)弦中點M作兩條直線交圓于A、B、C、D、E、F、G、H，連AF、BE、CH、DG分別交弦于點P、Q、R、S，則有等式：成立。
　　證明：引理，如右圖，有結(jié)論
　　由及正弦定理即可得到：
　　原結(jié)論
　　作OM1AD于M1，OM2EH于M2，
　　于是，MA - MD = MB - MC = 2MM1 = 2Msin；
　　MH - ME = MG - MF = 2MM2 = 2Msin
　　且MA*MD = ME*MH，MB*MC = MF*MG，代入上式，又
　　故原式成立
　　證畢。