視頻字幕：

我是Adrien Douady.

我在數學上的成就

集中于復數方面.

我的貢獻在于推動了代數幾何學

與動力系統(tǒng)理論.

復數歷史悠久.

這兒左邊是Tartaglia 和 Cardano,

復數的創(chuàng)始者,生活在文藝復興時期.

右邊是Cauchy 和 Gauss,

在19世紀鞏固了這個理論.

復數

并不復雜!

它們曾被叫做'不可能的數字'

至今有時也會被稱為'虛的'.

因為,它確實需要一點兒想像力。

然而今天,這些數在科學中隨處可見

并也不再神秘了.

由它們還能畫出

漂亮的分形圖形。

我做過許多相關研究.

還制作了最早數學動畫片之一

'兔子的動態(tài)圖'。

我先在黑板上為你解釋復數.

數學家總是喜歡用粉筆寫字...

看我的三角尺和量角器

有時表現得很不尋常...

先畫一條加上刻度的直線。

數學中最好的方法之一,

是將幾何與代數聯(lián)系起來.

這是代數幾何學的開端.

數字可以兩兩相加, 點也可以!

看這紅藍兩點， 都在直線上。

這兩點相加，

等于綠點!一加二等于三!

移動紅藍兩點,

其'和'綠點也隨之移動.

更有趣的是點點之間還可以相乘.

如,乘以 -2 的運算.

將點 1 變?yōu)辄c -2.

若再次乘以-2,

則換回到

原點的同一側，

并將距離擴大兩倍.

當然,我們得到 4.

所以連乘兩次 -2,,

相當于乘以 4.

乘以-1是非常簡單的.

每一點都被送到了關于

原點對稱的一點上,

也就是轉動半圈,

或說旋轉180度.

一個數乘以它的本身,

結果總是正的.

如果乘一次負1,

是轉動半圈;

再乘一次,

則回到了起點!

負1 乘以 負1 等于

正1。

你看, 乘以負1 的運算，

將 2 送到 -2。

若再次乘以負1 ,

則又回到了 2.

很明顯,不是嗎?

因此,沒有任何一個數

乘以它本身等于-1.

也就是說,-1沒有平方根.

可數學家是極富創(chuàng)造力的!

19世紀初,Robert Argand

有一個非常棒的主意.

他對自己說: 既然乘以負1

是轉動180度,

它的平方根應是轉動它的一半:90度.

轉動兩次四分之一圈,

正好是轉動半圈!

四分之一圈的平方是半圈,所以我們得到負1.

這樣想就足夠了!

因此,Argand宣布 負1 的平方根

是對應于1的一個90度的旋轉.

然而,這迫使我們離開水平直線,

將一個數賦予

不在直線上的平面中的點!

由于這個構造有點兒奇怪,

我們說 負1 的平方根,是一個虛數。

并稱它為 i.

但是,一旦我們有勇氣離開直線,

問題就變得簡單了.

2i,3i等都可被表現出來。

平面上的每一點都對應著一個復數

相反地,所有復數都定義一個平面上的點.

平面上的點全部變成了數!

而且他們還可以兩兩相加。

看這紅點,它表示 1+2i .

將它與藍點 3+i 相加，

很自然的，

我們得到...

4+3i .

從幾何學角度來說,這只是向量相加.

不僅它們可以相加，

更有趣的是,

這些復數也可以相乘，

正如實數一樣.

請看...

怎樣將一個復數乘以 2.

2 乘以 1+2i 自然應該

等于 2+4i 。

從幾何學角度來說,乘 2 非常簡單;

它只是擴大兩倍;

紅點擴大兩倍,正是綠點!

乘 i 也并不困難，

只是相當于轉動四分之一圈.

要將 3+i 乘以 i,

只需將其轉動四分之一圈.

得到的是 -1+3i 。

不算復雜吧!

最后,我們可將任意兩個復數相乘

沒有問題吧?

例如, 把 2+1.5i 與 -1+2.4 i 相乘.

如通常一樣,

先算乘 2 ,再算乘 1.5i ,然后將結果相加.

于是我們得到:

'2乘以...'

我們得到

-2 + 4.8 i + (- 1.5 i + 3.6*i*i)。

但是, 要記得 i 的平方等于 -1,

所以要把 i*i 換成 -1。

我們得到:

-2 -3.6 加上...

整理一下, 即得到

-2 -3.6 + 4.8 i - 1.5 i ,

結果是

-5.6 + 3.3 i 。

好了,現在我們能夠

將復數相乘了，

換句話說,我們能將平面上的點相乘!

這太不可思議了!

我們曾認為平面是2維的

因為需要兩個數

來描述任意一點的位置

但現在一個數就夠了!

當然,現在涉及到的是復數!

此時要引進

兩個新概念：

復數的模和輻角.

復數 z 的模

只是原點與 z 點之間的距離.

測量一下紅點的模

也就是 2 + 1.5 i 的模

看, 它等于 2.5.

因此 2 + 1.5 i 的模是 2.5.

對于藍點,我們得到 2.6.

對于綠點,

紅點與藍點的積，

我們得到 6.5 。

這是個規(guī)則:兩個復數的乘積的模

正是它們的模的乘積.

復數的輻角

是這點和原點的連線，

與橫軸的差角。

如紅色復數的輻角

是36.8度.

藍點的輻角是112.6度.

它們的乘積,綠點的輻角是149.4度;

這是兩個數的輻角的和...

兩個復數相乘,

相當于模相乘,輻角相加.

讓我們用球極平面射影

來完結與復數的首次相遇.

取一球體,讓它在原點與黑板相切.

對黑板上的每一點,

使用球極平面射影

將每個復數,

對應于球面上的一點.

只有球體的北極

也就是投影的極點，

與任何復數都沒有聯(lián)系。

我們說它對應于無窮遠處.

數學家們說球面

是一條復射影直線.

為什么是直線?

因為只需一個數來描述它的點!

為什么是復的?

因為這些數是復數.

為什么是射影?

因為要用射影來加入一個無窮遠點.

數學家們真是怪異，

竟然說球面是一條直線!