介紹：系統(tǒng)建模

　　設(shè)計(jì)控制體統(tǒng)的第一步是通過(guò)自然規(guī)律或者實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。我們會(huì)引進(jìn)狀態(tài)空間和傳遞函數(shù)來(lái)代表系統(tǒng)。然后我們回顧一些基本的機(jī)械或者電力系統(tǒng)模型，并且會(huì)在MATLAB中展示怎么近一步分析。

　　本教程中使用到的關(guān)鍵Matlab命令是：tf，ss。

目錄

• 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)
• 狀態(tài)空間模型
• 傳遞函數(shù)模型
• 機(jī)械模型
• 例：質(zhì)量塊-彈簧-阻尼系統(tǒng)
• MATLAB中輸入狀態(tài)模型
• MATLAB中傳遞函數(shù)模型
• 電氣系統(tǒng)
• 例：RLC電路
• 系統(tǒng)辨識(shí)
• 系統(tǒng)變換

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

　　按確定性規(guī)律隨時(shí)間演化的系統(tǒng)，稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。對(duì)于很多物理模型來(lái)說(shuō)，這種規(guī)律可以表示為一組一價(jià)微分方程：

（1）

　　在上面的方程中， 是狀態(tài)向量，由n個(gè)狀態(tài)變量組成。例如在一個(gè)簡(jiǎn)易的質(zhì)量塊-彈簧-阻尼系統(tǒng)中，兩個(gè)狀態(tài)變量可以是質(zhì)量塊的位置和速度。是輸入信號(hào)向量，表示“外力”作用在系統(tǒng)上，f是狀態(tài)向量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)后的非線性函數(shù)。

　　任意一時(shí)刻的狀態(tài)可能都被初始狀態(tài)和入決定。雖然狀態(tài)變量并不是獨(dú)立的，但狀態(tài)變量有最小個(gè)數(shù)，假設(shè)為n。n與系統(tǒng)的階數(shù)和狀態(tài)空間的維數(shù)相關(guān)。系統(tǒng)的階數(shù)通常與儲(chǔ)能元素的個(gè)數(shù)一致。

　　在Eq.(1)中的關(guān)系是很普遍的可以用來(lái)描述很多系統(tǒng)，但是，它很難分析。通常有兩種簡(jiǎn)化方法。第一，如果函數(shù)f不隨時(shí)間變化，i.e.,然后就可以說(shuō)是定長(zhǎng)系統(tǒng)。這是一種很合理的假設(shè)，因?yàn)樽匀灰?guī)律不隨時(shí)間變化。對(duì)于定常系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，函數(shù)f的參數(shù)或系數(shù)是固定的。然而控制的輸入可能與時(shí)間相關(guān)。

　　第二通常的假設(shè)是關(guān)于系統(tǒng)的線性度的。實(shí)際上，幾乎每一個(gè)物理系統(tǒng)都是非線性的。換句話說(shuō)，f是關(guān)于狀態(tài)和輸入的很復(fù)雜的函數(shù)。這些非線性產(chǎn)生于很多不同的方面，最常見的一種是，系統(tǒng)的一個(gè)元素達(dá)到了系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)中的物理極限，就是說(shuō)系統(tǒng)‘飽和’。不過(guò)，在一個(gè)足夠小的工作范圍內(nèi)，大多數(shù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)近似線性，即。

　　直到電腦出現(xiàn)，只有分析線性定常系統(tǒng)是可行的。因此，大部分控制理論是基于上面的兩個(gè)假設(shè)。幸運(yùn)的是，正如我們將看到的，這些結(jié)果已被證明是非常有效的，許多重大的工程挑戰(zhàn)已經(jīng)使用LTI技術(shù)解決。事實(shí)上，反饋控制系統(tǒng)的真正的優(yōu)勢(shì)是他們可以工作，在不可避免的不確定性建模的情況下。

狀態(tài)空間模型

　　對(duì)于線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)如下：

		（2）
		（3）

　　x為狀態(tài)向量，為狀態(tài)向量對(duì)事件求導(dǎo)，u為輸入或者控制向量，y為輸出向量，A為系統(tǒng)矩陣，B為輸入矩陣，C為輸出矩陣。

　　輸出方程式（3）是必不可少的，因?yàn)橛行顟B(tài)變量不容易直接觀察或者不感興趣。通過(guò)控制器，輸出矩陣C用于指定狀態(tài)變量。D是零矩陣時(shí)，也常常沒(méi)有直接的前饋控制。

　　狀態(tài)空間表示法，也被稱為時(shí)域表示，可以輕松地處理多輸入多輸出（MIMO）系統(tǒng)，具有非零初始條件的系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)（通過(guò)公式（1））。因此，狀態(tài)空間表示是廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代控制理論。

傳遞函數(shù)模型

　　LTI系統(tǒng)有極其重要的屬性，如果系統(tǒng)的輸入是正弦的，然后輸出將正弦在相同的頻率，但一般具有不同的幅度和相位。這些的幅度和相位差作為頻率的函數(shù)被稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

　　使用拉普拉斯變換，它可以把一個(gè)系統(tǒng)的時(shí)域到頻域表示輸出/輸入表示，稱為傳遞函數(shù)。在這樣做時(shí)，它也將微分方程化為代數(shù)方程往往是更容易分析。

　　一個(gè)時(shí)域函數(shù)的拉普拉斯變換，，定義如下：

（4）

　　其中參數(shù) 是一個(gè)復(fù)雜的頻率變量。在實(shí)踐中，你可以直接評(píng)估的拉普拉斯變換是非常罕見的。通常都是通過(guò)查表發(fā)現(xiàn)你感興趣的函數(shù)變換：拉普拉斯變換表 Laplace Transform Table

　　一個(gè)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換是特別重要的：

（5）

　　頻域方法通常用來(lái)分析線性時(shí)不變的單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng)，例如由一個(gè)常系數(shù)微分方程如下：

（6）

　　這個(gè)方程的拉普拉斯變換如下：

（7）

　　和分別是和的拉式變換。我們假設(shè)每個(gè)初始條件，和為零。傳遞函數(shù)如下：

（8）

　　傳遞函數(shù)的分子和分母可變換成所謂的零極點(diǎn)增益形式：

（9）

　　傳遞函數(shù)的零點(diǎn)是，是分子多項(xiàng)式的根。傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是，是分母多項(xiàng)式的根。無(wú)論是零、極點(diǎn)可能是復(fù)值（有實(shí)部和虛部）。系統(tǒng)增益為。

　　請(qǐng)注意，我們還可以直接從狀態(tài)空間確定的傳遞函數(shù)表示如下：

（10）

機(jī)械系統(tǒng)

　　牛頓定律是分析機(jī)械系統(tǒng)的基礎(chǔ)。牛頓第二定律，公式（11），表明作用在物體上的力的總和等于質(zhì)量乘以加速度。牛頓第三定律，指出如果兩體連接，然后他們的經(jīng)驗(yàn)同樣大小的力作用在相反的方向。

（11）

　　應(yīng)用該方程時(shí)，最好是建立一個(gè)受力分析圖（FBD）顯示所有施加的力。

例：質(zhì)量塊-彈簧-阻尼系統(tǒng)

　　這個(gè)系統(tǒng)的受力分析圖如下所示。彈力與質(zhì)量塊的位移x成正比，粘性阻尼力與質(zhì)量的速度成正比。因?yàn)檫@兩個(gè)力阻礙彈簧的運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗麄兊氖芰Ψ较驗(yàn)閄的負(fù)方向。注意到，當(dāng)時(shí)，彈簧未拉伸。

　　現(xiàn)在我們進(jìn)行總結(jié)和運(yùn)用牛頓第二定律力量，方程（11）。在這種情況下，沒(méi)有力作用在Y 軸方向；然而，在X方向我們可得：

（12）

　　這個(gè)方程，稱為控制方程，完全刻畫系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)狀態(tài)。后來(lái)，我們將看到如何使用它計(jì)算系統(tǒng)的響應(yīng)，在任何外部輸入的情況下，以及分析系統(tǒng)的性能，如穩(wěn)定性和性能。

　　確定的質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示，我們必須降低二階方程為一組兩個(gè)一階微分方程。為此，我們選擇的位置和速度作為狀態(tài)變量。

（13）

　　注意，這些狀態(tài)變量分別對(duì)應(yīng)于在彈簧的勢(shì)能和質(zhì)量塊的動(dòng)能。經(jīng)常選擇狀態(tài)變量時(shí)，它有助于考慮系統(tǒng)中德獨(dú)立的儲(chǔ)能元件。

　　在這種情況下，狀態(tài)方程如下：

（14）

　　如果我們?cè)诳刂瀑|(zhì)量塊的位置感興趣，然后輸出方程如下：

（15）

在MATLAB中輸入狀態(tài)空間模型

　　現(xiàn)在我們將告訴你如何通過(guò)m-file在MATLAB中輸入狀態(tài)空間方程。讓我們?yōu)槊總€(gè)變量分配數(shù)值。

　　創(chuàng)建一個(gè)新文件，輸入以下命令。

　　假設(shè)初始條件為零時(shí)拉式變換為：

（16）

　　傳遞函數(shù)為

（17）

在MATLAB中輸入傳遞函數(shù)模型

　　現(xiàn)在我們將告訴你如何通過(guò)m-file在MATLAB中輸入傳遞函數(shù)。輸入如下命令在你定義過(guò)系統(tǒng)參數(shù)的m文件中。

　　請(qǐng)注意，我們所使用的符號(hào)變量s來(lái)定義我們的傳遞函數(shù)模型。大多數(shù)情況下，我們建議使用此方法；然而，在某些情況下，例如在舊版本的MATLAB 或者要連接Simulink時(shí)，你可能需要直接使用的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)定義的傳遞函數(shù)模型。在這些情況下，使用下面的命令：

電氣系統(tǒng)

　　像牛頓定律在機(jī)械系統(tǒng)，基爾霍夫電路法是電力系統(tǒng)分析的基本工具?；鶢柣舴螂娏鞫桑↘CL）狀態(tài)的電流進(jìn)入和退出一個(gè)電路節(jié)點(diǎn)的總和必須等于?；鶢柣舴螂妷憾桑↘VL）指出，電壓差在電路中的任何閉環(huán)的總和是零。應(yīng)用KVL時(shí)，源電壓通常為陽(yáng)性和負(fù)載電壓作為負(fù)。

例：RLC電路

　　現(xiàn)在我們考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的三個(gè)電子元件的串聯(lián)組合：一個(gè)電阻，電感，和一個(gè)電容器，被稱為一個(gè)RLC電路。

　　由于該電路是一個(gè)單環(huán)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只具有一個(gè)輸入和輸出；因此，由KCL知整個(gè)電路中的電流相同?，F(xiàn)在應(yīng)用KVL，我們得到以下方程。

（18）

　　我們注意到，方程為RLC電路對(duì)質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)類似的形式。特別是，他們都是二階系統(tǒng)，電荷（積分電流）對(duì)應(yīng)的位移，感應(yīng)系數(shù)對(duì)應(yīng)質(zhì)量，電阻對(duì)應(yīng)粘性阻尼，電容對(duì)應(yīng)彈簧剛度。在理解的動(dòng)力系統(tǒng)時(shí)，這些類比和像他們這樣的類比會(huì)成為非常有用的概念。

　　建立狀態(tài)空間時(shí)，通過(guò)選擇電荷和電流作為狀態(tài)變量。

		（19）
		（20）

　　狀態(tài)方程為：

（21）

　　選擇電流作為輸出：

（22）

　　傳遞函數(shù)可以求得通過(guò)做拉式變化：

		（23）
		（24）

　　RLC的狀態(tài)空間和傳遞函數(shù)模型可以寫入matlab，使用與討論了的質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)的相同方法。

系統(tǒng)辨識(shí)

　　在本節(jié)中，我們已經(jīng)看到了如何使用基本的物理原理建立模型系統(tǒng)；然而，這往往是不可能的因?yàn)橄到y(tǒng)的參數(shù)是不確定的，或基本過(guò)程是根本不知道。在這些情況下，我們必須依靠實(shí)驗(yàn)測(cè)量和統(tǒng)計(jì)技術(shù)來(lái)開發(fā)一個(gè)系統(tǒng)模型，這一過(guò)程稱為系統(tǒng)辨識(shí)。

　　系統(tǒng)識(shí)別可以使用時(shí)域或頻域數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，Introduction: System Identification詳見系統(tǒng)辨識(shí)介紹頁(yè)。

　　也可以查閱MATLAB的 System Identification Toolbox 獲得更多的信息。

系統(tǒng)變換

　　在MATLAB的大部分操作對(duì)于對(duì)傳遞函數(shù)模型，狀態(tài)空間模型，或零極點(diǎn)增益形式都可以很好的運(yùn)行。此外，如果有需要的話，三種形式的轉(zhuǎn)換是很簡(jiǎn)單的。如果你需要學(xué)習(xí)如何從一種表示形式轉(zhuǎn)換為其他，詳見系統(tǒng)轉(zhuǎn)換介紹頁(yè)Introduction: System Conversions。