談解題教學(xué)中即時評價的十個切入點

解題教學(xué)過程中即時性評價是教師對學(xué)生的解題學(xué)習(xí)活動信息、理解程度和學(xué)習(xí)表現(xiàn)進行處理和即興點評的過程.即時性評價的作用在于形成反饋、產(chǎn)生激勵、實施調(diào)控和引導(dǎo)，借此來協(xié)同學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、教材結(jié)構(gòu)及教師的認(rèn)知結(jié)構(gòu)間的多元認(rèn)知關(guān)系，優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，監(jiān)控學(xué)生的學(xué)習(xí)進程，促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí).下面基于解題教學(xué)的實踐，談一談解題教學(xué)過程中通過即時性評價協(xié)同解題教學(xué)中多元認(rèn)知關(guān)系的十個切入點.

1．即時評價解題思路的合理性

解題教學(xué)過程中要通過即時性的評價，引導(dǎo)學(xué)生從使用已知條件、解題方法的選擇、引用的知識和根據(jù)等方面來反思解題過程的合理性.

案例1  若動點 到 的距離和到直線 的距離相等，則點 的軌跡方程是什么？

多數(shù)同學(xué)給出如下解答：設(shè)點 ，根據(jù)題意有 ，整理得 .面對這個結(jié)果，我們可以追問：這個方程是什么曲線的方程？問題引發(fā)學(xué)生對方程結(jié)構(gòu)的關(guān)注，經(jīng)過變形和觀察,發(fā)現(xiàn)方程可化為 ，由此可得 ，這是一條直線的方程.至此，我們可繼續(xù)追問：軌跡為什么是直線呢？帶著追問作簡圖，我們發(fā)現(xiàn)求出的直線與已知直線互相垂直，而且點 在已知直線上，所以到點 的距離和到直線 的距離相等的點的軌跡是一條過點 且垂直于原直線的直線.

2．即時評價解題過程的嚴(yán)密性

案例2  設(shè) 是 的內(nèi)角， ，求 的值．

學(xué)生解答過程： 是 的內(nèi)角， ，又 ，

當(dāng) 是銳角時 ，當(dāng) 是鈍角時 ．

當(dāng) 是銳角時 ，

當(dāng) 是鈍角時 ．

解完此題后，要求學(xué)生即時評價以上求解過程，考察問題解決的過程是否還可以改進？

經(jīng)討論后發(fā)現(xiàn)： ， ，又 ，

若 是鈍角，則 此時 與 中內(nèi)角和 矛盾， ．

以上對角的二次估計，是對解題嚴(yán)謹(jǐn)性的即時性評價，解題教學(xué)中，教師對學(xué)生解題過程的嚴(yán)謹(jǐn)性提出質(zhì)疑，是培養(yǎng)學(xué)生的“元認(rèn)知”能力很重要的途經(jīng).

3．即時評價解題方法的靈活性

案例3  過拋物線 的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，問這樣的直線有幾條?

學(xué)生1:設(shè)直線AB的斜率為k，寫出直線AB的方程，與拋物線 聯(lián)立，推導(dǎo)出A、B兩點橫坐標(biāo)與k的關(guān)系，進而由A、B兩點橫坐標(biāo)之和等于5，推算符合條件的k的值的個數(shù)為2.

教師評價:以上是聯(lián)列方程組求解的坐標(biāo)法（解決此類問題的常規(guī)方法），答案是對的.抓住弦過焦點這一特點有沒有其它的思路？

學(xué)生2：若弦AB的長等于通徑，則這樣的直線有一條，若弦AB的長小于通徑，則這樣的直線不存在，若弦AB的長大于通徑，則這樣的直線有2條，而拋物線 的通徑長為4，由拋物線的定義可知，弦AB的長等于A、B兩點到拋物線準(zhǔn)線:x=-1的距離之和，即AB的長等于7，答案為2條.

教師評價：第一個同學(xué)是利用方程知識解決了該問題，第二位同學(xué)將直線AB的條數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為弦AB的長與通徑的大小關(guān)系的判定，而對弦AB的長的計算，巧用拋物線的定義，將問題轉(zhuǎn)化為A、B兩點到拋物線準(zhǔn)線距離之和，充分體現(xiàn)了解題的靈活性.

4．即時評價求解問題的統(tǒng)一性

案例4  已知關(guān)于 的方程 有實數(shù)解，求實數(shù) 的取值范圍.

分析  通過分離變量，原題化歸為求函數(shù) 的值域，基于“消元”的思想，可得

又  故

教師評價：我們要重視一類問題的核心問題的學(xué)習(xí).如：以上問題就是以下幾個問題的核心問題.（1）若方程： 在 上有實數(shù)解，求 的取值范圍；（2）求函數(shù) 的值域；（3）實數(shù) 為何值時，圓 與拋物線 有交點？對于（3）可以作如下代換，令 即可發(fā)現(xiàn)，上述三個問題都圍繞著“求 的值域”這一核心問題，由此看到以上解題的統(tǒng)一性和統(tǒng)領(lǐng)性. 以上解題過程給我們?nèi)缦聠⑹荆簲?shù)學(xué)學(xué)習(xí)既要重視“由薄到厚”（加強解題實踐）的過程，又要重視“由厚到薄”的過程，要善于總結(jié)、歸納，進行“多題一解”的思考，尋求解題的統(tǒng)一性.

5．即時評價求解思想的深刻性

案例5  若 ，解不等式 .

分析 當(dāng) 時，  可化為  當(dāng) 時， 無解，原不等式解集為空集，當(dāng) 時，原不等式解集為

教師評價：解含有參數(shù)的不等式，關(guān)鍵在于分類討論和準(zhǔn)確把握討論標(biāo)準(zhǔn).為了深度理解和處理含參數(shù)的不等式的方法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，我們應(yīng)用比較法來考察如下問題：

對不等式 ，分別求滿足下列條件的實數(shù) 的取值范圍.

（1）不等式的解集為

（2）不等式在 上有解；

（3）不等式在 上恒成立；

（4）不等式的解集總是區(qū)間 的子集.

以上四個問題的處理方法如下：

    （1）據(jù)案例5， 時， 且  故 ；

（2）不等式在 上有解等價于  則 . 即 ；

（3）不等式在 上恒成立，等價于 且 且  則 ；即 ；

（4）不等式的解集總是區(qū)間 的子集，當(dāng) 時，  此時   時解集為空集，故

以上四個問題表述相似，很容易混淆，通過即時性的類比與比較，可以更深刻地理解每個問題的求解思想，引導(dǎo)學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)，還可以引導(dǎo)學(xué)生自覺養(yǎng)成比較認(rèn)知的習(xí)慣.

6．即時評價解題學(xué)習(xí)的合作性

案例6  直線 過不同的兩點 )、 ，求直線 的傾斜角 的取值范圍.

在一次聽課中，一位老師對以上問題，設(shè)計了如下的教學(xué)過程：這位老師將學(xué)生分成五組，讓學(xué)生合作互動，互相評價（即時評價的一種形式）,以促進問題的解決.

第一組給出了如下解答： ，又 ，故

第三組卻提出了質(zhì)疑性評價：“還要考慮 時的情形，此時， 不存在， ，所以正確答案應(yīng)是  

第四組提出了不同評價：“當(dāng) 時，點A的坐標(biāo)也是(0，1)，與點B重合，不合題意，所以第一組的答案是正確的.”

第二組給出進一步的質(zhì)疑性評價：“第一組和第三組的答案都不對，既然 ，那么點A的坐標(biāo)就不可能是(0，1)，所以 ， ，故正確答案應(yīng)是：

聽完課后，我總覺得，教師應(yīng)對以上小組合作學(xué)習(xí)過程作如下導(dǎo)向性的即時性評價：剛才各組間的討論交流是合作、共享性的即時性評價，這種生生間的即時評價有助于大家建構(gòu)起對知識的更深層次的、全面的理解，促進同學(xué)們對直接經(jīng)驗的深度學(xué)習(xí)，還可以幫助同學(xué)們獲得間接經(jīng)驗.如果教師堅持對此類解題學(xué)習(xí)的合作過程作導(dǎo)向性的即時評價，對培養(yǎng)學(xué)生合作意識、合作能力是十分有益的.

7．即時評價求解思維的發(fā)散性

案例7  在案例6中，我們可以用數(shù)形結(jié)合的思想即時評價求解過程中對變量幾何意義的理解，引發(fā)“變量——動點”的發(fā)散性思維，進而促使學(xué)生產(chǎn)生如下構(gòu)造性解法：“點A的軌跡是拋物線y=-x²+1(0<|x|≤1)上的兩段弧，考察直線 繞點 轉(zhuǎn)動與兩段拋物線弧的關(guān)系，即可得到答案.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進行即時反思，感悟破除思維定勢，進行求異思維的探究方式，感悟思維的多向性、開放性、跳躍性和創(chuàng)造性.

案例8  已知函數(shù)  求函數(shù) 的最大值.

學(xué)生給出如下求解過程：   

又

 而  

則  故函數(shù) 的最大值為

針對以上過程，教師采用了質(zhì)疑的方式進行了評價，問：何時取得最大值 ？一個學(xué)生答道： 時，取得最大值.再問： 此時，學(xué)生間產(chǎn)生了碰撞、交流、合作的過程，發(fā)現(xiàn)以上解題過程忽視了對函數(shù)定義域的深入研究，沒有挖掘到隱藏的信息，誤判了函數(shù)定義域，從而擴大了函數(shù)的值域.教師針對以上質(zhì)疑過程，用批判的眼光作了如下即時評價：由函數(shù) 的定義域可知 中應(yīng)有  此時  即 與 的公共定義域為  故  又  

因為  所以  故函數(shù) 的最大值為

9．即時評價解題實踐的主動性

著名教育家贊可夫說過：“學(xué)生積極的情感、歡快的情緒能使學(xué)生精神振奮，思維活躍，容易形成新的聯(lián)系.而消極的情緒，則會抑制學(xué)生的智力活動.”由此可知，要提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性，必須要培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性.

教學(xué)實踐告訴我們，對學(xué)生的主動學(xué)習(xí)行為給予即時的評價，有助于培育、鞏固主動學(xué)習(xí)意識和主動學(xué)習(xí)方式.如：對主動預(yù)習(xí)的學(xué)習(xí)行為作肯定的即時性評價，有助于培育主動學(xué)習(xí)的意識與主動學(xué)習(xí)能力.對主動參與互動與展評的學(xué)習(xí)行為作激勵性即時評價，有助于培育主動合作學(xué)習(xí)的意識與主動合作學(xué)習(xí)的能力.對面對新問題，主動進行“知覺（實驗）——猜想——驗證——應(yīng)用”的解決問題過程的同學(xué)，進行賞識性的即時評價，有助于學(xué)生逐步形成大膽猜想、主動探究、勇于發(fā)現(xiàn)新知識的學(xué)習(xí)方式.

又如：當(dāng)學(xué)生的發(fā)言有獨到見解時，我們應(yīng)欣賞其思維的主動性，并“沿著他的思路走”或給予合作探究的口吻或投去贊許的目光或給予深情的期盼，通過用這種平等、民主、融洽的即時激勵的評價，拓展學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感空間，縮短師生間的距離，使學(xué)生在心理放松、心理自由的情感環(huán)境中進入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)，孕育數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動意識，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力.

案例10  高三復(fù)習(xí)蘇教版選修2-2 2.1.2 例2 (已知 均為正實數(shù)， ，求證： ).我們可以通過課前自主預(yù)習(xí)、探究的方式復(fù)習(xí)比較法、綜合法、分析法，通過課上展示、同伴互助探究復(fù)習(xí)反證法，通過教師引導(dǎo)學(xué)生互評，教師即時性的點評引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)換元法、放縮法和函數(shù)單調(diào)性法.這樣的學(xué)習(xí)過程，即時性的自評、互評、師評能使各層次的學(xué)生得到肯定和極大的滿足感，獲得主動參與探究的自信心.

10．即時評價解題表達的規(guī)范性

學(xué)生解題不規(guī)范主要表現(xiàn)在：忽視審題、解答書寫不嚴(yán)密和解題后無檢查等問題.還表現(xiàn)在：字跡潦草、書寫不整潔.針對學(xué)生中存在的這些問題，華羅庚教授曾教育中學(xué)生在數(shù)學(xué)表達上要做到“想得清楚，說得明白，寫得干凈”.為此，在教學(xué)中要強化對解題規(guī)范性的即時評價.

10.1即時評價審題

觀察學(xué)生的審題過程，我們發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生面對新題走馬觀花式的讀題后，就根據(jù)自己的經(jīng)驗及老師講過的類似題型去做題.具體表現(xiàn)為：

⑴只會找出明確告訴的已知條件和目標(biāo)，不思考文字語言、符號語言、圖形語言的轉(zhuǎn)換，更沒有意識去揭示隱含條件.

⑵沒有意識分析條件到目標(biāo)缺少什么？只從條件順推，不從目標(biāo)去分析，更缺少通過畫畫、寫寫、算算進行合情推理.

⑶缺乏考慮條件、目標(biāo)之間內(nèi)在聯(lián)系的意識，缺少尋找與哪個數(shù)學(xué)原理相匹配的元認(rèn)知.

因此，在解題教學(xué)過程中，我們要強化對審題過程與審題方法的即時性評價，來提高學(xué)生的審題能力.

審題有四個關(guān)鍵步驟：讀、畫（寫）、辨、定.因此，一要即時評價“讀”，評價學(xué)生理解題目中的每一個關(guān)鍵字、關(guān)鍵詞、關(guān)鍵句，弄清題目中的條件和結(jié)論的情況；二要即時評價“ 畫（寫）”，評價學(xué)生通過畫畫、寫寫、算算進行數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，從中發(fā)現(xiàn)隱含的條件的情況；三要即時評價“辨”，評價學(xué)生明辨題中給出的（或所設(shè)的）字母或式子的含義，理清已知和未知的關(guān)系，揭示問題本質(zhì)的情況，幫助學(xué)生把思維內(nèi)部的無聲語言轉(zhuǎn)化為有聲有形語言，克服數(shù)學(xué)語言識別上的障礙，并引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)語言復(fù)述和互譯訓(xùn)練，提高各種語言之間互譯的本領(lǐng)，促使學(xué)生數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確應(yīng)用與簡練表達；四要即時評價“定”，評價學(xué)生應(yīng)用策略性知識確定解題思路（方法），規(guī)劃解題步驟的情況.

10.2  即時評價解題書寫過程

學(xué)生解題過程中存在闡述不清，表述不規(guī)范的主要表現(xiàn)為：

⑴使用數(shù)學(xué)符號隨心所欲.如直線a在平面β內(nèi)，寫成a∈β.

⑵計算、推理過程跳躍性過大，每兩步之間跨度太大，不能做到步步有據(jù).

⑶解題過程層次不分明、條理不清晰，語言不達意.例如：代數(shù)式化簡求值不按要求進行，直接代入，缺乏合理性與條理性；解答題不寫“解”；證明題不寫“證明”；應(yīng)用題不按設(shè)、列、解、驗、答五個程序進行等.

針對以上現(xiàn)象，我們可以通過對學(xué)生的板演進行即時評價，通過投影作業(yè)、課堂練習(xí)即時評價學(xué)生使用數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確性、書寫格式的規(guī)范性，通過師生共同訂正等方式，逐步使學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范解題的習(xí)慣.

10.3 即時評價解題后的檢查

在教學(xué)過程中，我們可以通過對檢查解題過程中是否有混淆概念的情況、是否忽視了隱含條件、是否用特殊代替一般、是否忽視特例、是否有邏輯上的錯誤、運算是否正確和題目本身是否有誤等問題進行即時評價，促進學(xué)生養(yǎng)成解題后進行檢查、反思、糾錯的習(xí)慣，通過對是否有歸納解題步驟和注意事項的意識、是否有引申變題和拓展多種解法的學(xué)習(xí)流程進行即時評價，促進學(xué)生元認(rèn)知能力的提高.

綜上所述，在解題教學(xué)中，首先要對學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法、基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的行為給予積極關(guān)注與即時評價，促進“四基”層面的發(fā)展；其次要積極關(guān)注和即時評價訓(xùn)練新課標(biāo)中提到的“五大能力”的學(xué)習(xí)行為，促進學(xué)生自主挖掘數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能；其三，要積極關(guān)注和即時評價學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力，促進學(xué)生自主發(fā)展能力的全面提升，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和可持續(xù)發(fā)展奠定良好基礎(chǔ).