函數(shù)的單調(diào)性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本文主要幫助考生深刻理解函數(shù)單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.

知識點(diǎn)一：函數(shù)單調(diào)性

(1)相關(guān)概念

增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?span style="position:relative;top:2.0pt">，如果對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上任意兩個自變量的值，當(dāng)，都有，那么就說在這個區(qū)間上是增函數(shù)，如下圖（1）；

用數(shù)學(xué)符號表示：是增函數(shù).

減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?span style="position:relative;top:2.0pt">，如果對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上任意兩個自變量的值，當(dāng)，都有，那么就說在這個區(qū)間上是減函數(shù)，如下圖（2）.

用數(shù)學(xué)符號表示：是減函數(shù).

單調(diào)性：如果函數(shù)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性.

單調(diào)區(qū)間：函數(shù)在某個區(qū)間上具有單調(diào)性，則這一區(qū)間就叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）對于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解，要注意以下三點(diǎn)：

①單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性；

②單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的具有任意性，不能用特殊值代替.

③由于定義都是充要性命題，因此由是增（減）函數(shù)，且，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.

知識點(diǎn)二：函數(shù)單調(diào)性的判定方法（常用的）

（1） 定義法（基本法）；

①取值：任取，且；

②作差：；

③變形：通常是因式分解或配方；

④定號：即判斷差的正負(fù)；

⑤下結(jié)論：即指出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性.

例：判斷函數(shù)在（1，+∞）上的單調(diào)性．

變式訓(xùn)練：證明函數(shù)在上是減函數(shù).

（2） 利用已知函數(shù)的單調(diào)性；

在研究函數(shù)的單調(diào)性時，常需要先將函數(shù)化簡，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知的單調(diào)性，因此掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過程. 

如果函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間.

①的單調(diào)性：增函數(shù)，減函數(shù)；

②的單調(diào)性：減區(qū)間；增區(qū)間；

③的單調(diào)性：，減區(qū)間，增區(qū)間；

，增區(qū)間，減區(qū)間；

④在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，則時，在上是增（減）函數(shù)；時則相反；

⑤若、是區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則在區(qū)間上是增（減）函數(shù)；

⑥若且在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，則在上是減（增）函數(shù)，在上是增（減）函數(shù)；

⑦軸（與軸垂直）對稱圖形的函數(shù)在它們的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，中心對稱圖形的函數(shù)在它們的對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，例如求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：，，

.

（3） 利用函數(shù)的圖像；

函數(shù)y＝|x²－2x－3|的單調(diào)增區(qū)間是________．

【解析】　y＝|x²－2x－3|＝|(x－1)²－4|，

作出該函數(shù)的圖像(如圖)．

由圖像可知，其增區(qū)間為[－1,1]和[3，＋∞)．

（4） 依據(jù)一些常用結(jié)論及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法；

①兩個增（減）函數(shù)的和仍為增（減）函數(shù)；

②一個增（減）函數(shù)與一個減（增）函數(shù)的差是增（減）函數(shù)；

③奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性；

④偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性；

⑤互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性；

⑥如果在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，那么在區(qū)間的任一子區(qū)間上也是增（減）函數(shù)；

⑦如果單調(diào)性相同，那么是增函數(shù)；如果單調(diào)性相反，那么是減函數(shù).

對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可概括為“同性則增，異性則減”

例：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 （      ）

A.       B.            C.           D.

知識點(diǎn)三：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

（1）  利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值的大?。?/span>

例：已知對稱軸為 ，比較、 、 的大小。

（2）  利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍；

例：已知在 上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

變式訓(xùn)練：函數(shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，且f(2m)＞f(－m＋9)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)

A．(－∞，－3)                          B．(0，＋∞)

C．(3，＋∞)                              D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

（3）  求某些函數(shù)的值域或最值；

①直接法：利用常見函數(shù)的值域來求

一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域?yàn)?/span>R，值域?yàn)?/span>R；

反比例函數(shù)的定義域?yàn)?/span>{x|x0}，值域?yàn)?/span>{y|y0}；

二次函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，

當(dāng)a>0時，值域?yàn)?/span>{}；

當(dāng)a<0時，值域?yàn)?/span>{}。

②配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如：的形式；

③分式轉(zhuǎn)化法（或改為“分離常數(shù)法”）

④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；

⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；

⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；

⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。

⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。

例1.求下列函數(shù)的值域：

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）；

（7）；（8）；（9）。

解：（1）（配方法），

∴的值域?yàn)?span style="position:relative; top:12.0pt">。

改題：求函數(shù)，的值域。

（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增，

∴當(dāng)時，原函數(shù)有最小值為；當(dāng)時，原函數(shù)有最大值為。

∴函數(shù)，的值域?yàn)?span style="position:relative;top:5.0pt">。

（2）求復(fù)合函數(shù)的值域：

設(shè)（），則原函數(shù)可化為。

又∵，

∴，故，

∴的值域?yàn)?span style="position:relative; top:5.0pt">。

（3）（法一）反函數(shù)法：

的反函數(shù)為，其定義域?yàn)?span style="position:relative;top:5.0pt">，

∴原函數(shù)的值域?yàn)?span style="position:relative;top:5.0pt">。

（法二）分離變量法：，

∵，∴，

∴函數(shù)的值域?yàn)?span style="position:relative;top:5.0pt">。

（4）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)，則，

∴原函數(shù)可化為，∴，

∴原函數(shù)值域?yàn)?span style="position:relative; top:5.0pt">。

注：總結(jié)型值域，

變形：或

（5）三角換元法：

∵，∴設(shè)，

則

∵，∴，∴，

∴，

∴原函數(shù)的值域?yàn)?span style="position:relative; top:5.0pt">。

（6）數(shù)形結(jié)合法：，

∴，∴函數(shù)值域?yàn)?span style="position:relative;top:5.0pt">。

（7）判別式法：∵恒成立，∴函數(shù)的定義域?yàn)?span style="position:relative; top:2.0pt">。

由得：    ①

①當(dāng)即時，①即，∴

②當(dāng)即時，∵時方程恒有實(shí)根，

∴△，

∴且，

∴原函數(shù)的值域?yàn)?span style="position:relative; top:5.0pt">。

（8），

∵，∴，

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立。

∴，

∴原函數(shù)的值域?yàn)?span style="position:relative; top:12.0pt">。

（9）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：，

∴（其中），

∴，

∴，

∴，

∴，

∴原函數(shù)的值域?yàn)?span style="position:relative; top:12.0pt">。

點(diǎn)評：上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類型與方法，在現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值，在后面的復(fù)習(xí)中要作詳盡的討論。

案列探究

［例1］已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：

(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力.屬★★★★題目.

知識依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.

錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運(yùn)算技能不過關(guān)，結(jié)果很難獲得.

技巧與方法：對于(1)，獲得f(0)的值進(jìn)而取x=－y是解題關(guān)鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點(diǎn).

證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數(shù).

(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.

令0<x₁<x₂<1,則f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)－f(－x₁)=f()

∵0<x₁<x₂<1,∴x₂－x₁>0,1－x₁x₂>0，∴>0,

又(x₂－x₁)－(1－x₂x₁)=(x₂－1)(x₁+1)<0

∴x₂－x₁<1－x₂x₁,

∴0<<1,由題意知f()<0，

即f(x₂)<f(x₁).

∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0.

∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù).

［例2］設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應(yīng)用以及對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法.本題屬于★★★★★級題目.

知識依托：逆向認(rèn)識奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題.

錯解分析：逆向思維受阻、條件認(rèn)識不清晰、復(fù)合函數(shù)判定程序紊亂.

技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認(rèn)識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.

解：設(shè)0<x₁<x₂,則－x₂<－x₁<0，∵f(x)在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，

∴f(－x₂)<f(－x₁),∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x₂)=f(x₂),f(－x₁)=f(x₁),

∴f(x₂)<f(x₁).∴f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.

由f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1)得：2a²+a+1>3a²－2a+1.解之，得0<a<3.

又a²－3a+1=(a－)²－.

∴函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是［，+∞］

結(jié)合0<a<3,得函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間為［，3).

錦囊妙計

本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：

(1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價性.

若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性.

同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的“磁場”及“訓(xùn)練”認(rèn)真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一.

復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.問題的解決關(guān)鍵在于：既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù).

(2)加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一.正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目，下一節(jié)我們將展開研究奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用.

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)的單調(diào)性又是函數(shù)的重要性質(zhì)。在求解某些數(shù)學(xué)問題時，若能根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個適當(dāng)?shù)膯握{(diào)函數(shù)，往往能化難為易，化繁為簡，獲得巧解和妙解。下面舉例說明。

一. 巧求代數(shù)式的值

例1. 已知，求的值。

解：已知條件可化為

設(shè)，則

而在R上是增函數(shù)

則有，即

所以

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，利用單調(diào)性求解。

拓展練習(xí)：已知方程的根為α，方程的根為β，求α+β的值。（答案：）

二. 妙解方程

例2. 解方程

解：易見x=2是方程的一個解

原方程可化為

而（因?yàn)?img width="114" height="49" src="http://userimage8.360doc.com/21/0128/22/72877561_202101282246380451YLIS0NCV6UC9SAYJ70.jpg">）

在R上是減函數(shù)，同樣在R上是減函數(shù)

因此在R上是減函數(shù)

由此知：當(dāng)時，

當(dāng)時，

這說明與的數(shù)都不是方程的解，從而原方程僅有唯一解。

拓展訓(xùn)練：解方程。（答：）

點(diǎn)評：解該類型題有兩大步驟：首先通過觀察找出其特解，然后等價轉(zhuǎn)化為的形式，最后根據(jù)的單調(diào)性得出原方程的解的結(jié)論。

三. 妙求函數(shù)的值域

例3. 求函數(shù)的值域。

解：令，則

因?yàn)?img width="63" height="17" src="http://userimage8.360doc.com/21/0128/22/72877561_2021012822463807328AJGGERI5ECBNU0VUO.jpg">，所以

而在內(nèi)遞增

所以

又

而

所以為所求原函數(shù)的值域。

四. 巧解不等式

例4. 解不等式

解：設(shè)

原不等式可化為

則，即

設(shè)

顯然是R上的減函數(shù)，且，那么不等式

即

因此有，解得

點(diǎn)評：解不等式其實(shí)質(zhì)是研究相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，正負(fù)值問題。用函數(shù)觀點(diǎn)來處理此類問題，不僅可優(yōu)化解題過程，且能讓我們迅速獲得解題途徑。

拓展訓(xùn)練：解不等式。（答：）

五. 巧證不等式

例5. 設(shè)，求證。

證明：當(dāng)m，n中至少有一個為0時，則有，結(jié)論成立。

設(shè)

因?yàn)?img width="94" height="24" src="http://userimage8.360doc.com/21/0128/22/72877561_202101282246390154G96QGRIQ7SWFTOA6LI.jpg">在上單調(diào)遞增

所以與必同號，或同為0（當(dāng)且僅當(dāng)時）

從而

因此，原不等式成立（當(dāng)且僅當(dāng)或，或時取“=”號）。

點(diǎn)評：原不等式等價于，這可由冪函數(shù)在上遞增而得到。

本題可拓展：令，則。

六. 巧解恒成立問題

例6. 已知函數(shù)對區(qū)間上的一切x值恒有意義，求a的取值范圍。

解：依題意，

對上任意x的值恒成立

整理為對上任意x的值恒成立。

設(shè)，只需

而在上是增函數(shù)

則

所以

七. 巧建不等關(guān)系

例7. 給定拋物線，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)。若，求l在y軸上的截距的變化范圍。

解：設(shè)

由，得

聯(lián)立（1）（2）（3）（4），解得

所以或

所以的方程為或

當(dāng)時，在y軸的截距為

令，則

所以在［4，9］上是減函數(shù)

故

所以直線在y軸上截距的取值范圍是：

八. 巧解數(shù)列問題

例8. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，S_n是數(shù)列的前n項(xiàng)和，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論。

解：（1）由，

有

得

因此

（2）

設(shè)（n為正整數(shù)）

所以

即在上是遞增的

從而

即

所以當(dāng)時，

當(dāng)時，

1)兩個“同性”的函數(shù)的和或差的奇偶性不變； 
2)兩個“同性”的函數(shù)的積或商（商中除式不能為零）是偶函數(shù)； 
3)兩個“異性”的函數(shù)的和或差是非奇非偶函數(shù)； 
4)兩個“異性”的函數(shù)的積或商（商中除式不等于零）是奇函數(shù)。

    復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：遵循同增，異減的原則；在復(fù)合函數(shù)F(x)=f(g(x))中，設(shè)y=f(u)，u=g(x)，則：當(dāng)f(x)單增，且g(x)單增時；或當(dāng)f(x)單減，且g(x)單減時，y單增；當(dāng)f(x)單增，且g(x)單減時；或f(x)單減，且g(x)單增時，y單減；復(fù)合函數(shù)的奇偶性：f，g有一個是偶函數(shù)，F就是偶函數(shù)，只有f，g都是奇函數(shù)的時候，F才是奇函數(shù)。

課后作業(yè)

難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)下列函數(shù)中的奇函數(shù)是(    )

A.f(x)=(x－1)                                    B.f(x)=

C.f(x)=                                 D.f(x)=

2.(★★★★★)函數(shù)f(x)=的圖象(    )

A.關(guān)于x軸對稱                                                B.關(guān)于y軸對稱

C.關(guān)于原點(diǎn)對稱                                                D.關(guān)于直線x=1對稱

二、填空題

3.(★★★★)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是_________.

4.(★★★★★)若函數(shù)f(x)=ax³+bx²+cx+d滿足f(0)=f(x₁)=f(x₂)=0 (0<x₁<x₂),且在［x₂,+∞上單調(diào)遞增，則b的取值范圍是_________.

三、解答題

5.(★★★★)已知函數(shù)f(x)=a^x+ (a>1).

(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，+∞)上為增函數(shù).

(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.

6.(★★★★★)求證函數(shù)f(x)=在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù).

7.(★★★★)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且滿足：

(i)f(x₁－x₂)=；

(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1.求證：

(1)f(x)是奇函數(shù).

(2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個周期是4a.

8.(★★★★★)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R，且對m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且

f(－)=0,當(dāng)x>－時，f(x)>0.

(1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個函數(shù)，并加以驗(yàn)證.

參考答案

難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)為奇函數(shù).

答案：C

2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

答案：C

二、3.解析：令t=|x+1|,則t在(－∞,－1上遞減，又y=f(x)在R上單調(diào)遞增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上遞減.

答案：(－∞,－1

4.解析：∵f(0)=f(x₁)=f(x₂)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x₁)(x－x₂)=ax³－a(x₁+x₂)x²+ax₁x₂x，

∴b=－a(x₁+x₂),又f(x)在［x₂,+∞單調(diào)遞增，故a>0.又知0＜x₁＜x,得x₁+x₂>0,

∴b=－a(x₁+x₂)＜0.

答案：(－∞,0）

三、5.證明：(1）設(shè)－1＜x₁＜x₂＜+∞,則x₂－x₁>0,>1且>0,

∴>0,又x₁+1>0,x₂+1>0

∴>0,

于是f(x₂)－f(x₁)=+ >0

∴f(x)在(－1，+∞）上為遞增函數(shù).

(2）證法一：設(shè)存在x₀＜0(x₀≠－1)滿足f(x₀)=0,則且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x₀＜2與x₀＜0矛盾，故f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.

證法二：設(shè)存在x₀＜0(x₀≠－1)使f(x₀)=0,若－1＜x₀＜0,則＜－2,＜1,∴f(x₀)＜－1與f(x₀)=0矛盾，若x₀＜－1,則>0, >0，∴f(x₀)>0與f(x₀)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.

6.證明：∵x≠0,∴f(x)=,

設(shè)1＜x₁＜x₂＜+∞,則.

∴f(x₁)>f(x₂),故函數(shù)f(x)在(1，+∞）上是減函數(shù).(本題也可用求導(dǎo)方法解決）

7.證明：(1）不妨令x=x₁－x₂,則f(－x)=f(x₂－x₁)= 

=－f(x₁－x₂)=－f(x).∴f(x)是奇函數(shù).

(2）要證f(x+4a)=f(x),可先計算f(x+a),f(x+2a).

∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.

∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a為周期的周期函數(shù).

8.(1）證明：設(shè)x₁＜x₂,則x₂－x₁－>－,由題意f(x₂－x₁－)>0,

∵f(x₂)－f(x₁)=f［(x₂－x₁)+x₁］－f(x₁)=f(x₂－x₁)+f(x₁)－1－f(x₁)=f(x₂－x₁)－1=f(x₂－x₁)+f(－)－1=f［(x₂－x₁)－］>0,

∴f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).

(2)解：f(x)=2x+1.驗(yàn)證過程略.