五年級(jí)上冊的數(shù)學(xué)教材計(jì)算內(nèi)容安排相對集中，既有簡單的小數(shù)加、減、乘、除的口算和豎式計(jì)算，又有小數(shù)四則混合運(yùn)算（不超過三步），整數(shù)加法、乘法的運(yùn)算律推廣到小數(shù)，能應(yīng)用運(yùn)算律和一些運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行小數(shù)的簡便計(jì)算；還有會(huì)根據(jù)實(shí)際需要求積、商的近似數(shù)，能用小數(shù)四則計(jì)算解決一些簡單的實(shí)際問題。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在小數(shù)乘除法的計(jì)算中，錯(cuò)誤尤其集中。

小數(shù)乘法和除法在教材中分兩個(gè)部分：第一部分小數(shù)乘、除法的計(jì)算以整數(shù)乘、除法的計(jì)算作為知識(shí)基礎(chǔ)，聯(lián)系整數(shù)乘、除法的意義學(xué)生很容易理解小數(shù)乘整數(shù)以及除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的意義，只是計(jì)算時(shí)多了小數(shù)點(diǎn)的處理這一新問題；第二部分小數(shù)乘小數(shù)以及一個(gè)數(shù)除以小數(shù)，既要以前一個(gè)單元學(xué)習(xí)的內(nèi)容為基礎(chǔ)，而且應(yīng)用積、商的變化規(guī)律分別進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，學(xué)習(xí)的難度較大，因而這部分內(nèi)容學(xué)生錯(cuò)誤相對較多。

一、知識(shí)性錯(cuò)誤

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，新知的學(xué)習(xí)都是建立在相應(yīng)舊知基礎(chǔ)上的，新舊知識(shí)之間有著密切的聯(lián)系。學(xué)生對舊知理解水平的高低會(huì)影響新知的學(xué)習(xí)，任何一個(gè)聯(lián)結(jié)點(diǎn)發(fā)生偏差，新舊知識(shí)就無法對接，有時(shí)還會(huì)引發(fā)新舊知識(shí)之間的矛盾沖突，導(dǎo)致無法構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

（一）舊知負(fù)遷移

在計(jì)算小數(shù)加減法時(shí)要遵循“相同的計(jì)數(shù)單位相加減”的原則，即小數(shù)點(diǎn)對齊。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)乘法筆算時(shí)，兩個(gè)數(shù)對位問題和小數(shù)加減法的對位相混淆，學(xué)生不明白為什么要“末位對齊”。

（二）舊知識(shí)遺忘

學(xué)生在計(jì)算時(shí)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：

第一題，整數(shù)乘法計(jì)算方法已經(jīng)遺忘，錯(cuò)誤地將十位上的1乘23，結(jié)果的末位和個(gè)位對齊了。

第二題，在除法計(jì)算中，除到哪一位商就寫在那一位的上面。這里當(dāng)10÷25不夠商1時(shí)，要用0來占位，這同整數(shù)除法的計(jì)算法則一致，但學(xué)生遇到不夠除的時(shí)候卻急于把后一位移下來接著除，導(dǎo)致前一數(shù)位上“0未占位”。

（三）聯(lián)結(jié)點(diǎn)偏差

小數(shù)乘法中“積的小數(shù)位數(shù)”是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。學(xué)生雖然理解了小數(shù)乘整數(shù)的算理，但是在具體計(jì)算時(shí)關(guān)于0的處理還是會(huì)出現(xiàn)偏差：因數(shù)末尾的0沒有先落下來就點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)；積中先把0劃去，再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)；點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)的方向錯(cuò)誤，從左邊數(shù)出位數(shù)再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)。

小數(shù)除法計(jì)算中，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：

第一題，除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法豎式基本格式?jīng)]有掌握，商的小數(shù)點(diǎn)沒有和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊。

第二題，整數(shù)部分不夠商1，要對著那一位商0。

第三題，學(xué)生對商不變的規(guī)律的認(rèn)識(shí)比較模糊，沒有順利地將除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法。

二、心理因素的干擾

每個(gè)學(xué)生都是獨(dú)立的個(gè)體，心理的發(fā)展水平也必然存在很大的差異。

（一）思維定勢影響

口算小數(shù)乘除法時(shí)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：2.4×5=10，3.5÷0.1=0.35，可能分別受2.5×4=10和3.5×0.1=0.35的定勢影響。

（二）感知水平較低

部分學(xué)生的注意力穩(wěn)定性較差，很容易受到外界或內(nèi)部因素的影響。導(dǎo)致計(jì)算時(shí)加法算成減法，乘法算成除法。還有很多學(xué)生的感知水平?jīng)]有達(dá)到五年級(jí)學(xué)生的平均水平，在計(jì)算中抄錯(cuò)數(shù)字、看錯(cuò)符號(hào)的情況時(shí)有發(fā)生。

（三）態(tài)度不夠端正

有些學(xué)生沒有樹立正確的學(xué)習(xí)態(tài)度，養(yǎng)成了一些不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，如寫字速度過快、字跡潦草、馬虎、不規(guī)范，計(jì)算時(shí)不列豎式，計(jì)算后不檢驗(yàn)等，導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)。

三、應(yīng)對策略

提高學(xué)生的計(jì)算能力，應(yīng)“循理入法，以理馭法”。一方面靠理解原理而不是靠死記硬背來保證正確性，靠巧思活用而不是靠不費(fèi)思索的“自動(dòng)化”來達(dá)到一定的熟練程度；另一方面，將計(jì)算過程中的推理系統(tǒng)化和程序化。比如，豎式實(shí)質(zhì)上是乘法分配律經(jīng)過簡化的、合理的推理書寫形式。

（一）根據(jù)學(xué)情分散難點(diǎn)

小數(shù)乘除法的計(jì)算屬于程序性知識(shí)，理解起來比較簡單，再加上一定的練習(xí)就能形成技能。但實(shí)踐證明，小數(shù)乘除法的計(jì)算，在整個(gè)小數(shù)運(yùn)算中既是重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，要在短時(shí)間內(nèi)把學(xué)生的計(jì)算夯實(shí)，難度相當(dāng)大。

于是，筆者根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，從實(shí)際出發(fā)，將小數(shù)乘除法計(jì)算中的難點(diǎn)進(jìn)行分解，降低學(xué)習(xí)的坡度，采用“架階梯，小步走”的方式，促進(jìn)學(xué)生理解算理、掌握算法，從而形成相應(yīng)的技能。例如，學(xué)習(xí)小數(shù)乘整數(shù)時(shí)，將1課時(shí)的內(nèi)容分成2課時(shí)來進(jìn)行。第1課時(shí)重點(diǎn)讓學(xué)生理解算理，第2課時(shí)則將重點(diǎn)放在算法上。對于算理和算法的處理，可以整體考慮，系統(tǒng)設(shè)計(jì)。如果學(xué)生在不理解算理的基礎(chǔ)上單純訓(xùn)練算法，那只是一種機(jī)械的模仿，充其量只是獲得了一種操作技能。如果只強(qiáng)調(diào)算理而缺乏必要的計(jì)算訓(xùn)練，那也難以形成計(jì)算技能。因此，理解算理、掌握算法是形成計(jì)算技能的兩翼，算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉和概括，二者相輔相成。

（二）多元表征理解算理

小數(shù)和整數(shù)相乘的教學(xué)中，教師通過創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的購物場景：（1）一種橡皮每塊0.8元，買3塊要多少元？（2）一種橡皮筋每根0.08元，買3根要多少元？喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。教師設(shè)問：0.8×3為什么等于2.4呢？對于這個(gè)問題教師創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生多角度表征，這樣可超越算法層面，理解算理。學(xué)生中出現(xiàn)了以下幾種表征：

（1）基于加法意義：

（2）化成整角思考：0.8元是8角。8×3＝24（角），24角＝2元4角，2元4角＝2.4元；

（3）利用圖形和小數(shù)計(jì)數(shù)單位來表征：

……

學(xué)生用同樣的思路回答第二問以后，教師趁熱打鐵設(shè)問：如果是0.008×3，你喜歡用加法算嗎？喜歡換算成元角分后再計(jì)算嗎？那可以怎么思考呢？逼迫學(xué)生在對比的情境中進(jìn)行方法的擇優(yōu)，得出利用小數(shù)計(jì)數(shù)單位來思考更簡便。計(jì)算的靈活性源于數(shù)學(xué)理解，教學(xué)中教師幫助學(xué)生建立多元表征形式之間的相互支持與彼此聯(lián)系，促進(jìn)理解的生成和完善。多角度地考察問題,討論各種方法，做出比較并找到最好的一種，實(shí)際上是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種持續(xù)動(dòng)力。

（三）優(yōu)化練習(xí)鞏固算法

計(jì)算技能的形成離不開必要的練習(xí)，練習(xí)的設(shè)計(jì)要面向全體學(xué)生，由易到難，由簡單到復(fù)雜，螺旋上升。教師根據(jù)小數(shù)乘除法知識(shí)結(jié)構(gòu)的繁簡和難易程度，設(shè)計(jì)專項(xiàng)練習(xí)、變式練習(xí)、對比練習(xí)、錯(cuò)題辨析等，促進(jìn)學(xué)生的計(jì)算技能由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，自主建構(gòu)起數(shù)的運(yùn)算的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成良好的計(jì)算能力。

專項(xiàng)練習(xí)。

例如，在學(xué)生基本領(lǐng)悟小數(shù)與整數(shù)相乘的算理之后，教師設(shè)計(jì)專項(xiàng)練習(xí)：

0.7×4=（ ）

想： 個(gè) 0.1× ＝  個(gè)0.1

0.21×4=（ ）

想： 個(gè) 0.01× ＝  個(gè)0.01

……

小數(shù)乘整數(shù)的算理在專項(xiàng)練習(xí)中進(jìn)一步明朗化，從有圖的形象思維提升到無圖的抽象思維，直奔小數(shù)乘整數(shù)的本質(zhì)。

2.變式練習(xí)。

在小數(shù)乘除法教學(xué)的過程中，教師精心設(shè)計(jì)變式題組，利用變式題組幫助學(xué)生在不同情境中認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)屬性，促進(jìn)學(xué)生對法則的理解更精確、更概括，更易于遷移。

例如，在小數(shù)乘法的練習(xí)課中，設(shè)計(jì)這樣的題組：50.3×1.3，50.3×1，50.3×0.3。先讓學(xué)生計(jì)算出結(jié)果，然后再讓學(xué)生觀察這些算式有什么特點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生猜想，再通過舉例驗(yàn)證猜想，從而得出規(guī)律。再設(shè)計(jì)這樣的題組：2.76○2.76×0.19，0.19○2.76×0.19，讓學(xué)生運(yùn)用剛才的規(guī)律解決問題，體會(huì)規(guī)律的價(jià)值。

3.錯(cuò)題辨析。

學(xué)生對計(jì)算技能的學(xué)習(xí)和掌握，需要經(jīng)歷從不懂到懂、從不會(huì)到會(huì)、從出現(xiàn)較多錯(cuò)誤到出現(xiàn)較少錯(cuò)誤甚至不出現(xiàn)錯(cuò)誤的自我矯正過程。錯(cuò)誤能反映出學(xué)生認(rèn)識(shí)上存在的偏差，反映出學(xué)生的學(xué)習(xí)困難所在，以及行為習(xí)慣、情感態(tài)度等非認(rèn)知品質(zhì)等狀態(tài)。

所以，教師要做有心人，把一些典型錯(cuò)誤進(jìn)行收集整理，按照知識(shí)體系整理歸類。當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容時(shí)，這些寶貴的錯(cuò)誤資源就可以提醒教師，學(xué)生可能會(huì)在哪些地方出現(xiàn)認(rèn)知上的偏差，或者在哪些地方會(huì)存在什么樣的困難，讓教師更好地從學(xué)生實(shí)際出發(fā)。同時(shí)，教師還可以把這些錯(cuò)誤呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生在找錯(cuò)、改錯(cuò)中反思問題所在，剖析錯(cuò)誤根源，從而有效地進(jìn)行前饋控制，更好地促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的深度建構(gòu)。

（四）加強(qiáng)口算夯實(shí)基礎(chǔ)

“冰凍三尺，非一日之寒?！庇?jì)算技能的形成不是憑一時(shí)之力所能形成的。除了運(yùn)用多種手段促進(jìn)學(xué)生對算理的理解和精心設(shè)計(jì)課堂練習(xí)進(jìn)行科學(xué)訓(xùn)練外，教師還可以堅(jiān)持每天課前2分鐘的口算練習(xí)，做到“拳不離手，曲不離口”，從而克服思維障礙，推動(dòng)思維深入發(fā)展，使計(jì)算能力不斷提升。

（五）注重元認(rèn)知培養(yǎng)

元認(rèn)知，就是對認(rèn)知的認(rèn)知。具體地說，是關(guān)于個(gè)人自己認(rèn)知過程的認(rèn)識(shí)和調(diào)節(jié)，對思維和學(xué)習(xí)活動(dòng)的認(rèn)識(shí)和控制。元認(rèn)知的培養(yǎng)其實(shí)就是要培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行自我反思的能力。它既包括對問題表征的反思、對策略選擇的反思、對模式識(shí)別的反思、對推理過程的反思，也包括解題后對問題及方法的反思。引導(dǎo)學(xué)生對小數(shù)乘除法進(jìn)行反思、學(xué)會(huì)反思、養(yǎng)成批判與反思的習(xí)慣，不僅可以減少或避免錯(cuò)誤的發(fā)生，而且可以全方位地提升學(xué)生的計(jì)算品質(zhì)。

例如，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)了0.75÷0.12=6……3這一錯(cuò)誤時(shí)，教師首先引導(dǎo)學(xué)生觀察分析：你從哪兒看出余數(shù)有問題？學(xué)生很快找到了三種判斷錯(cuò)誤的方法：與除數(shù)比，與被除數(shù)比，用6×0.12＋3≠0.75進(jìn)行驗(yàn)算。教師再問：出現(xiàn)這類錯(cuò)誤的主要原因在哪里？想一想，自己為什么沒有得到正確答案？應(yīng)該怎樣糾正？學(xué)生在自我反思的過程中，不僅“知其錯(cuò)”，更“知其所以錯(cuò)”，在糾正錯(cuò)誤的同時(shí)，深化了對知識(shí)的理解。