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注意：“變量”不同于“自變量”，不能說“二次函數(shù)是指自變量的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)”?！?a target="_blank" ss_c="ssc.citiao.link">未知數(shù)”只是一個數(shù)（具體值未知，但是只取一個值），“變量”可在實數(shù)范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個數(shù)或函數(shù)——也會遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別.如同函數(shù)不等于函數(shù)的關(guān)系。 1.二次函數(shù)是拋物線，但拋物線不一定是二次函數(shù)。開口向上或者向下的拋物線才是二次函數(shù)。拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）[1] 2.拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。 3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。 4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。
6.拋物線與x軸交點個數(shù):Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。Δ= b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。當Δ= b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x= -b±√b2－4ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a） 當a>0時，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數(shù)，在{x|x>-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變; 當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0). 7.定義域：R 值域：（對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷） ①[(4ac-b^2)/4a，正無窮）； ②[t，正無窮） 奇偶性：偶函數(shù) 周期性：無 解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式] ?、臿≠0 ?、芶>0，則拋物線開口朝上；a<0，則拋物線開口朝下； ?、?a target="_blank" ss_c="ssc.citiao.link">極值點：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； ?、圈?b^2-4ac, Δ>0，圖象與x軸交于兩點： ?。╗-b+√Δ]/2a，0）和（[-b-√Δ]/2a，0）； Δ=0，圖象與x軸交于一點： ?。?b/2a，0）； Δ<0，圖象與x軸無交點； ?、趛=a(x-h)^2+t[配方式] 此時，對應(yīng)極值點為（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）； 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點坐標為 [-b/2a,(4ac-b2)/4a] 把三個點代入函數(shù)解析式得出一個三元一次方程組，就能解出a、b、c的值。 頂點式 y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù)),頂點坐標為對稱軸為直線x=h，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax2的圖像相同，當x=h時，y最值=k.有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式。 例：已知二次函數(shù)y的頂點(1,2)和另一任意點(3,10)，求y的解析式。
注意：與點在平面直角坐標系中的平移不同，二次函數(shù)平移后的頂點式中，h>0時，h越大，圖像的對稱軸離y軸越遠，且在x軸正方向上，不能因h前是負號就簡單地認為是向左平移。 具體可分為下面幾種情況： 當h>0時，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到； 當h<0時，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向左平行移動|h|個單位得到； 當h>0,k>0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象； 當h>0,k<0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象； 當h<0,k>0時，將拋物線y=ax2向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象； 當h<0,k<0時，將拋物線y=ax2向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象。 交點式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點時的拋物線，即b2-4ac≥0] . 已知拋物線與x軸即y=0有交點A（x1，0）和 B（x2，0）,我們可設(shè)y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三點代入x、y中便可求出a。 由一般式變?yōu)?a target="_blank" ss_c="ssc.citiao.link">交點式的步驟： 二次函數(shù)(16張) ∵x1+x2=-b/a， x1·x2=c/a(由韋達定理得), ∴y=ax2+bx+c =a(x2+b/ax+c/a) =a[x2-(x1+x2)x+x1·x2]=a(x-x1)(x-x2). 重要概念：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向。a>0時，開口方向向上；a<0時，開口方向向下。a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。 其他知識介紹：牛頓插值公式 f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引導出交點式的系數(shù)a=y/(x·x)(y為截距) 二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。 雙根式 y=a(x-x1)*(x-x2) 若ax2+bx+c=0有兩個實根x1,x2，則y=a(x-x1)(x-x2)此拋物線的對稱軸為直線x=(x1+x2)/2。 三點式 已知二次函數(shù)上三個點，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)） 則f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)[3] 與X軸交點的情況 當△=b2-4ac>0時，函數(shù)圖像與x軸有兩個交點。(X1,0), (X2,0). 當△=b2-4ac=0時，函數(shù)圖像與x軸只有一個交點。(-b/2a，0)。 Δ=b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x=-b±√b2－4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a） 4 方程關(guān)系編輯特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)） 當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即 此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。 函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。 1．二次函數(shù)y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
再向上移動k個單位，就可得到y(tǒng)=a(x+h)2+k（h<0,k>0）的圖象 當h<0,k<0時，將拋物線y=ax^2向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位，就可得到y(tǒng)=a(x+h)2+k（h<0,k<0）的圖象 在向上或向下。向左或向右平移拋物線時，可以簡記為“上加下減，左加右減”。 因此，研究拋物線 y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖象提供了方便。 2．拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。 3．拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減?。划攛 ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大。若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小。 4．拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標軸的交點： (1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)； (2)當△=b2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x1-x2| =√△/∣a∣（a絕對值分之根號下△）另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點的橫坐標） 當△=0．圖象與x軸只有一個交點； 當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y<0。 5．拋物線y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a。 頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值。 6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 (1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式： (a≠0) (2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸或極大（?。┲禃r，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。 (3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。 基本圖象 在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像，可以看出，在沒有特定定義域的二次函數(shù)圖像是一條永無止境的拋物線。 如果所畫圖形準確無誤，那么二次函數(shù)圖像將是由一般式平移得到的。 軸對稱 二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a 對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點為二次函數(shù)圖像的頂點P。 特別地，當b=0時，二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）。 a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè) a,b異號，對稱軸在y軸右側(cè) 頂點 二次函數(shù)圖像有一個頂點P，坐標為P ( h,k ) 當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點式y(tǒng)=a(x-h)^2+k。 h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。 開口 二次項系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。 當a>0時，二次函數(shù)圖像向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則二次函數(shù)圖像的開口越小。 決定位置的因素
當a>0,與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因為對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同號 當a>0,與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號 可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0 ），對稱軸在y軸右。 事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值。可通過對二次函數(shù)求導得到。 決定交點的因素 常數(shù)項c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點。 二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,C） 注意：頂點坐標為（-h,k)， 與y軸交于（0,C)。 與x軸交點個數(shù) a<0;k>0或a>0;k<0時，二次函數(shù)圖像與x軸有2個交點。 k=0時，二次函數(shù)圖像與x軸只有1個交點。 質(zhì)疑點：a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函數(shù)圖像與X軸無交點。 當a>0時，函數(shù)在x=h處取得最小值ymin=k，在x減函數(shù)，在x>h范圍內(nèi)是增函數(shù)（即y隨x的變大而變?。?，二次函數(shù)圖像的開口向上，函數(shù)的值域是y>k 當a<0時，函數(shù)在x=h處取得最大值ymax=k，在x<h范圍內(nèi)是增函數(shù)，在x>h范圍內(nèi)是減函數(shù)（即y隨x的變大而變大），二次函數(shù)圖像的開口向下，函數(shù)的值域是y<k 當h=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù) 圖像要點 對稱關(guān)系 對于一般式： ①y=ax^2+bx+c與y=ax^2-bx+c兩圖像關(guān)于y軸對稱 ②y=ax^2+bx+c與y=-ax^2-bx-c兩圖像關(guān)于x軸對稱 ③y=ax^2+bx+c與y=-ax^2-bx+c-2b^2*|a|/4a^2關(guān)于頂點對稱[2] ④y=ax^2+bx+c與y=-ax^2+bx-c關(guān)于原點對稱。 對于頂點式： ①y=a(x-h)^2+k與y=a(x+h)^2+k兩圖像關(guān)于y軸對稱，即頂點（h,k）和（－h(huán),k）關(guān)于y軸對稱，橫坐標相反、縱坐標相同。 ②y=a(x-h)^2+k與y=-a(x-h)^2-k兩圖像關(guān)于x軸對稱，即頂點（h,k）和（h,－k）關(guān)于y軸對稱，橫坐標相同、縱坐標相反。 ③y=a(x-h)^2+k與y=-a(x-h)^2+k關(guān)于頂點對稱，即頂點（h,k）和（h,k）相同，開口方向相反。 ④y=a(x-h)^2+k與y=-a(x+h)^2-k關(guān)于原點對稱，即頂點（h,k）和（－h(huán),－k）關(guān)于原點對稱，橫坐標、縱坐標都相反。 （其實①③④就是對f(x)來說f(-x),-f(x),-f(-x)的情況） 知識要點 1.要理解函數(shù)的意義。
2.要記住函數(shù)的幾個表達形式，注意區(qū)分。 3.一般式，頂點式，交點式，等，區(qū)分對稱軸，頂點，圖像，y隨著x的增大而減?。ㄔ龃螅┑鹊?a target="_blank" ss_c="ssc.citiao.link">差異性。 4.聯(lián)系實際對函數(shù)圖像的理解。 5.計算時，看圖像時切記取值范圍。 6.隨圖像理解數(shù)字的變化而變化。 二次函數(shù)考點及例題 二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)。 誤區(qū)提醒 （1）對二次函數(shù)概念理解有誤，漏掉二次項系數(shù)不為0這一限制條件； （2）對二次函數(shù)圖象和性質(zhì)存在思維誤區(qū)； （3）忽略二次函數(shù)自變量取值范圍； （4）平移拋物線時，弄反方向 定義表達 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax2+bx+c （a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.） 則稱y為x的二次函數(shù)。 二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。 表達方式 一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0） 頂點式：y=a(x-h)2+k[拋物線的頂點P（h，k）] 交點式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線] 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系： h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax？，x?=(-b±√b2-4ac)/2a 性質(zhì)相關(guān) 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x=-b/2a。 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。 特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個頂點P，坐標為 P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a) 當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b2-4ac=0時，P在x軸上。 3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下 |a|越大，則拋物線的開口越小。 4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a有1個交點。 5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。 拋物線與y軸交于（0，c） 6.拋物線與x軸交點個數(shù) Δ=b2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。 Δ=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。 Δ=b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x=-b±√b2－4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a） 幾何畫板——基礎(chǔ)代數(shù)幾何必備.注意：左增右減 |
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