常用的數(shù)學(xué)思想方法有哪些？

銳安 2015-03-17

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中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)一常用的數(shù)學(xué)思想和方法北師大版
　　一、常用的數(shù)學(xué)思想（數(shù)學(xué)中的四大思想）
　　1.函數(shù)與方程的思想
　　用變量和函數(shù)來思考問題的方法就是函數(shù)思想，函數(shù)思想是函數(shù)概念、圖象和性質(zhì)等知識更高層次的提煉和概括，是在知識和方法反復(fù)學(xué)習(xí)中抽象出的帶有觀念的指導(dǎo)方法。
　　深刻理解函數(shù)的圖象和性質(zhì)是應(yīng)用函數(shù)思想解題的基礎(chǔ)，運(yùn)用方程思想解題可歸納為三個步驟：①將所面臨的問題轉(zhuǎn)化為方程問題；②解這個方程或討論這個方程，得出相關(guān)的結(jié)論；③將所得出的結(jié)論再返回到原問題中去。
　　2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想
　　在中學(xué)數(shù)學(xué)里，我們不可能把“數(shù)”和“形”完全孤立地割裂開，也就是說，代數(shù)問題可以幾何化，幾何問題也可以代數(shù)化，“數(shù)”和“形 ”在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化、相互滲透。
　　3．分類討論思想
　　在數(shù)學(xué)中，我們常常需要根據(jù)研究對象性質(zhì)的差異。分各種不同情況予以考察，這是一種重要數(shù)學(xué)思想方法和重要的解題策略，引起分類討論的因素較多，歸納起來主要有以下幾個方面：（1）由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論；（2）由數(shù)學(xué)變形所需要的限制條件所引起的分類討論；（3）由于圖形的不確定性引起的討論；（4）由于題目含有字母而引起的討論。
　　分類討論的解題步驟一般是：（1）確定討論的對象以及被討論對象的全體；（2）合理分類，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，做到既無遺漏又無重復(fù) ；（3）逐步討論，分級進(jìn)行；（4）歸納總結(jié)作出整個題目的結(jié)論。
　　4.等價轉(zhuǎn)化思想
　　等價轉(zhuǎn)化是指同一命題的等價形式.可以通過變量問題的條件和結(jié)論，或通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q轉(zhuǎn)化問題的形式，或利用互為逆否命題的等價關(guān)系來實(shí)現(xiàn)。
　　常用的轉(zhuǎn)化策略有：已知與未知的轉(zhuǎn)化；正向與反向的轉(zhuǎn)化；數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；一般于特殊的轉(zhuǎn)化；復(fù)雜與簡單的轉(zhuǎn)化。
　　二、常用的數(shù)學(xué)方法
　　主要有換元法、配方法和待定系數(shù)法三種。
　　三、例題解析
　　【例1】（2004年北京市東城區(qū)）解方程：x+1-3x+1=2．
　　解：設(shè)x＋1＝y(tǒng)，則原方程化為y-3y=2
　　去分母，得y2-2y-3=0．
　　解這個方程，得y1=-1,y2=3．
　　當(dāng)y＝－1時，x＋1＝－1，所以x＝－2；
　　當(dāng)y＝3時，x＋1＝3，所以x＝2．
　　經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2和x＝－2均為原方程的解．
　　〖點(diǎn)撥〗解分式方程通常是采用去分母或還元法化為整式方程，并特別要注意驗(yàn)根。
　　【例2】已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2，且經(jīng)過點(diǎn)（1，4）和點(diǎn)（5，0），則該拋物線的解析式為。
　　〖解析〗∵函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2,∴b=-4a …①將點(diǎn)（1，4）、（5，0）的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=4…② 25a+5b+c=0③.解①②③得a=-12,b=2,c=52.故拋物線的解析式為y=-12x2+2x+52.
　　〖點(diǎn)撥〗利用待定系數(shù)法可求函數(shù)的解析式、代數(shù)式及多項(xiàng)式的因式分解等符合題設(shè)條件的數(shù)學(xué)式。
　　【例3】（05年長沙市）某通訊器材公司銷售一種市場需求較大的新型通訊產(chǎn)品．已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價為40元，每年銷售該種產(chǎn)品的總開支（不含進(jìn)價）總計120 萬元．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之問存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
　?、徘髖關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
　?、圃噷懗鲈摴句N售該種產(chǎn)品的年獲利z（萬元）關(guān)于銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式（年獲利＝年銷售額一年銷售產(chǎn)品總進(jìn)價一年總開支）．當(dāng)銷售單價x為何值時，年獲利最大？并求這個最大值；
　　⑶若公司希望該種產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于40萬元，借助⑵中函數(shù)的圖象，請你幫助該公司確定銷售單價的范圍．在此情況下，要使產(chǎn)品銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價應(yīng)定為多少元？
　　〖解〗：⑴設(shè)y=kx+b ，它過點(diǎn)(60，5)，(80，4)
　　∴5=60k+b4=80k+b 解得k=-120b=8
　　∴y=-120x+8,
　?、苲=yx-40y-120=（-120x+8）（x-40）-120=-120x2＋10x-440;
　　∴當(dāng)x=100元時，最大年獲得為60萬元．
　　⑶令z=40，得40=-120x2＋10x-440，整理得：
　　x2-200x＋9600=0
　　解得：x1=80,x2=120，
　　由圖象可知，要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應(yīng)在80元到120元之間．…(8分)又因?yàn)殇N售單價越低，銷售量越大，所以要使銷售量最大，又要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應(yīng)定為80元．
　　〖點(diǎn)撥〗解此類問題，要仔細(xì)閱讀題目，理清思路，從而建立數(shù)學(xué)模型（函數(shù)模型）
　　【例4】（2007年福建漳州）如圖，已知矩形ABCD，AB=3，BC=3，在BC上取兩點(diǎn)E、F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點(diǎn)P在AD上，PE、PF分別交AC于點(diǎn)G、H．
　?。?）求△PEF的邊長；
　?。?）在不添加輔助線的情況下，當(dāng)F與C不重合時，從圖中找出一對相似三角形，并說明理由；
　?。?）若△PEF的邊EF在線段BC上移動．試猜想：PH與BE有何數(shù)量關(guān)系？并證明你猜想的結(jié)論．
　　[解] （1）過P作PQ⊥BC于Q
　　矩形ABCD
　　∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC
　　∴PQ=AB=3
　　...........

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