分類枚舉

分類枚舉，就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)把題目的答案分為幾種類型，一一列舉出來(lái)。分類枚舉的方法主要用來(lái)解決一些排列組合的問(wèn)題，列舉時(shí)要有序分類，保證答案既不遺漏又不重復(fù)，其中分類標(biāo)準(zhǔn)的確定是解題的關(guān)鍵，同一題因標(biāo)準(zhǔn)不同可能有不同的分類方法，好的分類方法會(huì)使解題過(guò)程變得更加簡(jiǎn)單。學(xué)會(huì)分類枚舉，不僅可以解決本講的問(wèn)題，遇到更復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，我們也可以用列舉的方法找出部分答案，然后在已有答案中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而進(jìn)一步尋求解題方案。

【題目】：

把10只鴿子關(guān)在3個(gè)同樣的籠子里，使得每個(gè)籠子里都有鴿子，可以有多少種不同的放法？

【解析】：

這里籠子都是同樣的，因此3只籠子是無(wú)序的。

因?yàn)?0÷3=3……1，根據(jù)題中條件，可得鴿子最少的那個(gè)籠子里的鴿子不多于3只，不少于1只，我們可以這樣分為三類：

一、鴿子最少的那個(gè)籠子里有1只鴿子，共有4種放法：①1只、1只、8只；②1只、2只、7只；③1只、3只、6只；④1只、4只、5只。

二、鴿子最少的那個(gè)籠子里有2只鴿子，共有3種放法：①2只、2只、6只；②2只、3只、5只；③2只、4只、4只。

三、鴿子最少的那個(gè)籠子里有3只鴿子，共有1種放法：①3只、3只、4只。

所以共有放法：4+3+1=8（只）。

【題目】：

有一架天平和三只重量分別為1克，3克，6克的砝碼，你知道用這架天平和這些砝碼共能稱出多少種重量嗎？

【解析】：

這一題要在孩子學(xué)習(xí)了三上第三單元，認(rèn)識(shí)了常見(jiàn)的稱和質(zhì)量單位后，再學(xué)習(xí)比較合適。如果超前完成，需要對(duì)孩子介紹一下天平的用法。

因?yàn)?克+3克+6克=10克，所以這架天平最重能稱出10克，最輕能稱出1克。因此這架天平最多能稱出1克到10克之間的10種不同重量的物體，然后我們?cè)賹?duì)這10類情況進(jìn)行驗(yàn)證：

①天平左邊：物體   右邊：1克砝碼  能稱出1克重的物體；

②天平左邊：物體+1克砝碼   右邊：3克砝碼  能稱出2克重的物體；

③天平左邊：物體   右邊：3克砝碼  能稱出3克重的物體；

④天平左邊：物體   右邊：3克砝碼+1克砝碼  能稱出4克重的物體；

⑤天平左邊：物體+1克砝碼   右邊：6克砝碼  能稱出5克重的物體；

⑥天平左邊：物體   右邊：6克砝碼  能稱出6克重的物體；

⑦天平左邊：物體   右邊：6克砝碼+1克砝碼  能稱出7克重的物體；

⑧天平左邊：物體+1克砝碼   右邊：6克砝碼+3克砝碼  能稱出8克重的物體；

⑨天平左邊：物體  右邊：6克砝碼+3克砝碼  能稱出9克重的物體；

⑩天平左邊：物體  右邊：6克砝碼+3克砝碼+1克砝碼  能稱出10克重的物體。

在列舉的過(guò)程中可以讓孩子慢慢的領(lǐng)悟規(guī)律：有1克和3克的砝碼，不僅可以稱出1克和3克重的物體，還可以稱出重量是1克和3克的和或差的物體，依此類推。

所以這架天平最多能稱出10種不同重量的物體。

【題目】：

1997 的數(shù)字和是1+9+9+7=26，在小于2000的四位數(shù)中，數(shù)字和為26的除了1997外還有幾個(gè)？

【解析】：

小于2000的四位數(shù)都是一千多，千位上都是1。數(shù)字和為26，26-1=25，個(gè)、十、百三位上的數(shù)字和為25。25-9-9=7，因此三個(gè)數(shù)位上數(shù)字最小不能小于7，最大不能大于9。我們根據(jù)百位上數(shù)字的大小分為三類：

一、百位上數(shù)字是7，有1個(gè)：1799；

二、百位上數(shù)字是8，有2個(gè)：1889、1898；

三、百位上數(shù)字是9，有3個(gè)：1979、1988、1997；（千位和百位上的數(shù)字確定后，十位上數(shù)字再按從小到大枚舉出所有情況。）

所以符合條件的數(shù)共有6個(gè)，除了1997外，還有5個(gè)。