編者的話

    1月13日，我們發(fā)表了北京第二實驗小學副校長華應龍老師的文章《有“化錯”，才有真正的學習》。華老師認為，“化錯教學”是破解“標準化”教育模式，培育良性教育生態(tài)的需要，是矯正重“結(jié)果”，輕“過程”教學弊端的需要。那么，在實際教學中，如何運用呢？今天，我們就呈現(xiàn)華老師的課堂現(xiàn)場，感悟華老師是如何將錯誤的嘗試最終引向正確的結(jié)果，讓學生體悟到“失敗是成功之母”。

【課前慎思】

    學生在作業(yè)中經(jīng)常會生成一些非?？少F的猜想，可是，往往是想到就用，不去驗證。有時碰巧對了，我會鼓勵他們堅守自己的猜想，因為如果不繼續(xù)做全面、深入地思考和探究，下次遇到似是而非的情景或者跨過一定界限，就會錯得糊里又糊涂。有時碰巧錯了，如果得不到恰當?shù)囊龑?，?chuàng)新的火花便從此漸漸熄滅。其實，錯誤往往是創(chuàng)造的開始。

    作為教師，在學生猜想之后又應該做些什么？數(shù)學事實首先是被猜想然后是被證實，那么，學生學習數(shù)學的過程就應該是被看作在做猜想和驗證的游戲。著名數(shù)學家、教育家G·波利亞在他的經(jīng)典名著《數(shù)學與猜想》中指出：“在數(shù)學領(lǐng)域中，猜想是合理的，值得尊敬的，是負責任的態(tài)度。請允許我在此向教授所有班級的數(shù)學教師們呼吁：讓我們教猜想吧！”他給我們的忠告是：“盡早建立猜想，慢些承認它們?！?/p>

    一般地，不能根據(jù)一個例子就做出判斷。無論舉出多少正例都不能完全確定結(jié)論的絕對正確性，而只要舉出一個反例，就可以說明結(jié)論的錯誤。所以，這節(jié)課想借助學生作業(yè)中的一些創(chuàng)造性猜想的討論，讓學生明白猜想其實就是提出了一個問題，一個假設(shè)，有理由較少的猜想，有理由較多的猜想；猜想之后需要驗證。舉的例子首先要判斷是否蘊含在假設(shè)之中，驗證之后，可能是確認猜想，也可能是要修正猜想。

    那么，驗證的方法有哪些呢？舉正例，找反例，打比方想算理？除了初中將開始學習的演繹證明，還有小學五年級學生能接受的驗證方法嗎？“穿新鞋走老路”算不算？也就是有了一個新的猜想，驗證時是走業(yè)已確認的老路，最后看是否是殊途同歸。那“穿新鞋走老路”算舉例子，還是講道理呢？

    對學生而言，舉出一個反例來證明結(jié)論的錯誤是有經(jīng)驗的，也是容易理解的。而對于舉出很多正確的例子還未必能證明結(jié)論的正確性，是比較難以理解的。因此本節(jié)課，毫無疑問要在這方面用力。舉的例子不可能窮盡的話，從哪里知道就舉不出反例呢？當學生懂得了多個例子也不能確定猜想的絕對正確性，是否就給學生種下了懷疑所學知識的種子，給學生的創(chuàng)造留下了余地？

    我在故我思。好奇心是最好的老師，那么，最高的學習是不是應該是求不知？

    因此，我想和五年級學生一起分享這一節(jié)課，力爭達到以下目標：1.懂得猜想之后要驗證，初步學會驗證的方法。2.進一步體認差錯會暴露出問題、指引方向，培養(yǎng)對作業(yè)差錯的好感。3.感受數(shù)學的理性之美，積累發(fā)現(xiàn)數(shù)學的經(jīng)驗。

【課堂實錄】

    師：前幾天我在同學們作業(yè)本上發(fā)現(xiàn)了兩個很有意思的猜想。我跟老師們交流之后，老師們說“以前也見過，很有意思！”因此，我今天拿過來和在座同學們分享，大家請看——

    （板書學生的作業(yè)。）

    25.3×4.2

    =25×4+0.3×0.2

    =100+0.06

    =100.06

    看了這份作業(yè)，你有什么想法，你怎么來評價？

    （有一學生一臉驚喜：“原來還可以這樣做！”）

    生：我想這個25.3乘4.2，我覺得可以把它變一下，可以把它寫成25加上0.3的和，再乘以4加上0.2的和。這樣的話，就等于25乘4再加上0.3乘0.2，等于100加0.06，就等于100.06。

    生：我覺得這個算得不是特別對，因為我假設(shè)如果25.3不乘以4.2，而乘的是4，那樣的話，積應該是101.2，這樣都比100.06大。而現(xiàn)在25.3乘4.2，4.2比4還要大，所以這個答案肯定是不對的。

    師：看了這個解答，你最好奇的是哪一步？

    生：怎么從25.3乘以4.2一下子變成25×4+0.3×0.2了？

    師：是不是從這兒我們可以看出他有一個猜想？

    生：我覺得他的猜想是兩個數(shù)的乘積等于兩個數(shù)的整數(shù)部分乘積加上小數(shù)部分的乘積。

    師：這個猜想究竟對不對？有人認為對，有人認為不對，怎么辦？

    生（齊）：驗證。

    師：怎么去驗證？

    生（齊）：用豎式算一遍。

    師：真好?。ㄊ疽獯蠹覄庸P算。）很多同學都算完了，你發(fā)現(xiàn)了什么？

    生：算完了以后，發(fā)現(xiàn)黑板上這個答案是錯誤的。

    師：不但是錯了，而且還是小了。我很好奇，他當時是怎么想的？

    生：我覺得他是這么想的，先把兩個整數(shù)乘了，再把兩個小數(shù)乘了，對他來說思路就比較清晰。

    師：思路比較清晰！清晰在于——我們做小數(shù)加法的時候，是不是這么想的？（課件逐步出示以下算式）

    25.3+4.2

    =（25+0.3）+（4+0.2）

    =（25+4）+（0.3+0.2）

    =29+0.5

    =29.5

    生：對。

    師：小數(shù)加法是對的，小數(shù)減法這么做對嗎？

    生（齊）：對。

    師：順著這樣的思路往下想，小數(shù)乘法這么做對嗎？

    生（齊）：不對。

    生：我覺得如果小數(shù)乘法按照小數(shù)加法這么算是不對的，這個乘法應該是25.3乘以4，然后加上25.3乘以0.2，這兩個的和差不多是106.26。首先是0.3乘0.2等于0.06，然后再25乘0.2等于5，然后再用0.3乘4等于1.2，然后再用25乘4得到100。按照他的猜想，他只算了25乘4，0.3乘0.2，少算了一個25乘0.2和0.3乘4，所以他的結(jié)果就少了。

    （同學們紛紛點頭，贊賞地發(fā)出“對”“對”的聲音。）

    師：明白了？這樣一個猜想為什么是不對的呢？原來是和乘法的意義有關(guān)?？戳讼旅孢@個長方形面積圖。你會更加明白。（課件逐步出示如下）這個大長方形的長和寬分別是多少？它的面積用算式表示是什么？

    師：你在想什么？

    生：橘黃色面積的算式是0.3×0.2。（眾生點頭。）

    生：哦，我明白了，兩個綠色地方是他少算的部分。（眾生頻頻點頭。）

    師：現(xiàn)在我們回頭過來，再看看這個作業(yè)，你怎么評價？

    生：我覺得這個同學很聰明，他知道運用原來學過的方法，但是他在做之前，應該想一想它有什么弊端，比如說，少算了什么。

    生：加減法是一個運算級，乘除法是第二個運算級，我們不能把加法運算方法用到乘法上面去。他是想用簡便的方法，就是不太對。

    師：我很贊同大家的觀點?？吹竭@個作業(yè)，我很欣賞！我覺得他能夠邊計算、邊觀察數(shù)的特點、邊思考簡便算法，讓呆板的計算射進了思想的光芒。這個作業(yè)，錯得真好，讓我們明白了一個道理：既然是猜，就有可能對，也有可能錯，因此，猜想之后——

    生（齊）：要驗證。

    師：回顧一下，剛才我們是怎么驗證的？

    生：剛才我們用正常算的方法，用豎式去算的。

    師：正常算，舉一個例子算一算就知道了。

    生：想事實中算式所表示的圖。

    師：真好，角度不一樣。我們可以從豎式去想它的道理，也可以根據(jù)長方形面積圖來說明。我們可以通過舉例子來驗證，還可以講道理。這么看來，你覺得這個作業(yè)好不好？

    生：真好！

    師：開始我說有兩個作業(yè)，現(xiàn)在我們看另外一個作業(yè)，請看——（板書算式）

    （638-113）÷25

    =525÷25

    =500÷25+25÷25

    =20+1

    =21

    看完之后有什么想說的？有人在判斷對錯，我們首先考慮對還是錯？

    生（齊）：對了。

    師：你是不是發(fā)現(xiàn)它中間也有一個猜想？他的猜想是……

    （500+25）÷25

    =500÷25+25÷25

    看著屏幕，你能用自己的話說說這個猜想嗎？

    生：A加上B的和再除以C等于A除以C加上B除以C。

    生：我覺得這個猜想是把乘法分配律變成了除法分配律。

    師：現(xiàn)在的問題是除法有分配律嗎？或者說，這是一個偶然的巧合還是一個必然的規(guī)律，怎么辦？

    生（齊）：多試一把。

    師：對，再多試一把，就再舉幾例子，盡可能多地舉幾個例子。

    師：我請兩位同學到前面交流一下，有請馬少軒。

    馬：我首先舉一個例子300加上25的和除以25，也就等于300除以25加上25除以25，300除以25等于12，25除以25等于1，12加上1等于13，然后我列一個豎式答案也是13。第二個例子……

    師：好，我們看得明白了！你這樣舉4個例子，結(jié)論呢？

    馬：我的結(jié)論是這個類似的除法分配律的猜想是成立的。

    （全班熱烈的掌聲。）

    ……

    師：太棒了！剛才同學交流太精彩了。我特別欣賞馬少軒舉了4個例子，每個例子不單有按照猜想計算出來的步驟，旁邊還有一個驗證的豎式。這樣的比較，很有說服力。

    師：有沒有人找到?jīng)]有驗證到除法有分配律的例子？

    （沒有學生回應。少頃，有學生忽然想到“質(zhì)數(shù)”，因此教師建議“找一個質(zhì)數(shù)試一下”，全班也沒找到一個反例。）

    師：現(xiàn)在我們是不是做出一個結(jié)論，除法是有分配律的？

    師：是不是找到很多例子都是對的，就能夠做出這個結(jié)論呢？

    生：不是。

    師：我們找不到反例，不一定就沒有反例，是不是？所以，關(guān)于哥德巴赫猜想，有一個數(shù)學家已經(jīng)找了一億多個例子，但都沒有能夠做出絕對正確的結(jié)論。剛才我們舉例子了，現(xiàn)在能不能講道理？用生活中的事例來講道理。

    生：我是方程證明的。

    生：我看明白了。除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)倒數(shù)，乘法是有分配律的，最后再倒過來，乘以一個分數(shù)等于除以那個分數(shù)的倒數(shù)，因此證明了除法有分配律。

    （用方程證明的學生一臉燦爛，連聲說“謝謝！”）

    師：不單說“謝謝”，還可以說“你是我的知音”。（全班笑。）都明白了是嗎？

    生：我首先肯定他的方法是正確的，然后我覺得他直接寫（a+b+c+d）÷y就可以了。

    師：我同意你的建議。我們講道理的話，可以把兩個數(shù)的和除以一個數(shù)，轉(zhuǎn)換成乘以這個數(shù)倒數(shù)，這樣就有乘法分配律了，這樣就用原來的知識解決現(xiàn)在的問題。

    用生活當中的事例，也可以來講道理。看到“除法”是不是讓我們想到“分東西”呢？

    生：比如說，要把525個蘋果，平均分成25份，可以先把500個蘋果平均分成25份，再把25個蘋果平均分成25份。

    師：現(xiàn)在這么一說，是不是覺得除法真的有分配律？（學生點頭稱是。）用上我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，口頭回答計算過程。

    用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律做幾道題。

    （1300+26）÷13=1300÷13+26÷13=100+2=102

    （720+8）÷8=720÷8+8÷8=90+1=91

    150÷（15+15）=150÷15+150÷15=10+10=20

    （前兩題大家異口同聲，到第三題時有不同的聲音了。）

    師：這道題等于多少？

    生（部分學生）：5。

    師：等于是5還是20？

    生（齊）：5。

    師：這兒發(fā)現(xiàn)問題了，剛才咱們說除法有分配律，現(xiàn)在怎么沒有了呢？它們之間不同在哪兒？我們剛才舉例子的時候怎么沒有考慮到這種情況呢？請舉3個例子驗證“一個數(shù)除以兩個數(shù)的和”的情況。

    （同學們都在埋頭舉例。）

    師：還真找3個例子?。?/p>

    生：（醒悟過來了）有一個不成立的例子就足夠說明了。

    師：（板書：正例——？反例——?。┡e100個正例，也不能肯定；舉1個反例，就可以否定。

    如果開始舉例，就考慮到這種類型，舉的例子就更有代表性了。不過，也好，它讓我們學會從錯誤中學習，并且，有差錯的故事更難忘。

    （同學們開心地笑了。）

    師：我有一個猜想：“所有在場聽課的老師都是北京人?！闭埻瑢W們來幫我驗證。你想做些什么？

    生：一個一個地去問。

    生：請是北京人的老師舉手。

    生：請不是北京人的老師舉手。

    師：你覺得哪個方法好？（大家都同意第三個）這就是反例的力量。所以，數(shù)學家們常常喜歡找反例。

    回顧這兩份作業(yè)，回想這一節(jié)課，你有什么收獲呢？

    生：我的收獲就是懂得了猜想之后要驗證，驗證可以舉例子，可以講道理。

    生：我還知道了做數(shù)學題要多做一些猜想，然后再去驗證它。這是很有趣的事情。

    生：我知道我要學會猜想，不會猜想的話，就永遠不會有發(fā)現(xiàn)。

    師：我想跟大家交流咱們老校友錢學森的話：“所謂優(yōu)秀學生就是要有創(chuàng)新。沒有創(chuàng)新，死記硬背，考試成績再好也不是優(yōu)秀學生?！?/p>

    創(chuàng)新來自猜想。要創(chuàng)新就要敢猜想，有猜想就會有差錯。這節(jié)課，讓我們感悟到“猜想之后——”

    生（齊）：要驗證。

【課后反思】

    應該說，這節(jié)課課前提出的教學目標是較好地達到了。課上學生驚喜——“原來還可以這樣做！”這節(jié)課讓我驚訝——猜想的力量是無窮的，它可以撞開思維之鎖。

    已經(jīng)拖堂了，我和學生都還有好多話兒沒有說出口，時間都去哪兒啦？一節(jié)課40分鐘究竟能承載多少思考？教學內(nèi)容的現(xiàn)有結(jié)構(gòu)是一乘一除、一對一錯、一正一反，完美的結(jié)構(gòu)能構(gòu)建起完美的課堂嗎？很難，很難！因為這是從結(jié)構(gòu)出發(fā)的，這是從教師的“一廂情愿”出發(fā)的，而不是基于當下的學生的。再者，我們應該追求構(gòu)造完美的課堂嗎？追求美妙的課堂，可能會更好。老子說“大成若缺”。斷臂的維納斯不完整，但是很美妙。能接受和欣賞殘缺之美，我們在課堂上就會更自在和圓滿。并且，波利亞不是已經(jīng)說了嘛，“盡早建立猜想，慢些承認它們”。怎么慢？多舉例是慢，細思量是慢，不畢其功于一“課”，不奢望一節(jié)課就讓學生充分地承認、十分地信服也是慢……