我閑著沒事的時候，偶爾會想到這個有點蛋疼的問題。

前年的某個學期，我做過一次線性代數(shù)1的TA，這個學期又做了線性代數(shù)2的TA，改作業(yè)的時候常常感到胸悶異常以至于想吐血。

我覺得對于大一大二的同學來說，學數(shù)學有兩大悲?。阂淮蟊瘎∈菍W到頭只會套公式，還經(jīng)常套錯公式；另一大悲劇是不會寫證明，甚至不明白要證的是什么。（如果是做數(shù)學的研究，搞清楚要證什么是最難的一步；但對于一個普通的課后習題，搞明白要證什么還是比較容易的）如果你也改線性代數(shù)的作業(yè)，你就會知道世間有多少悲劇存在。

之前我也做過微積分1-2-3的TA，同學們普遍的感覺是一元微積分容易搞定，多元微積分非常的不知所云，曲面積分高斯公式要多糊涂有多糊涂。道理其實蠻簡單的，多元微積分就是一元微積分 + 線性代數(shù)。所以我覺得問題還是出在線性代數(shù)上邊。

如果你看過一些數(shù)學史，比如 Morris Kline (不是哥廷根的Felix Klein) 的古今數(shù)學思想的第二冊和第三冊，就會知道線性代數(shù)的定型比微積分晚了不少。微積分源起于17世紀后半期，到了19世紀已經(jīng)有了堅實的基礎，出現(xiàn)了很多成熟的教材。線性代數(shù)的定型則是20世紀的事情，如果我沒記得錯的話，Paul Halmos 于40年代寫的 Finite dimensional vector spaces 是第一本標準的線性代數(shù)教科書。一個很有趣的事情是，歷史上是先有行列式的概念，而后才有的矩陣的概念。（我想這是不奇怪的，比如多重積分的變量替換公式就會出現(xiàn)一個行列式的因子）

線性代數(shù)只用到了加減乘除，微積分則用到了極限的概念，為什么線性代數(shù)反而比微積分難學呢？我覺得答案在于線性代數(shù)需要學習的人有更高的數(shù)學成熟度。極限的想法在2千多年前就有了，阿基米德算過拋物線與直線圍成的面積，劉徽也用割圓法算過pi的近似值，因此我們有足夠的 motivation。以前曲邊梯形的面積不會算，現(xiàn)在終于會算了，學習的積極性可想而知。線性代數(shù)第一次觸及到數(shù)學的結構這個問題，我們沒有足夠的 motivation，對于即將出現(xiàn)的各種精巧的代數(shù)結構（比如特征子空間，Jordan標準型）準備不足，造成了理解與接受上的困難。我們都有這樣的經(jīng)驗：一個人如果講話莫名其妙，我們會懶得聽他啰嗦；同樣，如果跳出來一個莫名其妙的定義，我們的大腦會馬上拒絕思考。

如何獲得 motivation 呢，我覺得有兩種途徑，一是了解它的歷史，二是了解它的應用，可惜我們現(xiàn)在在這兩方面做得都很不足。沒有人給我們講線性代數(shù)的歷史，要知道它的應用則要等到多年之后，也許教材的前言可以寫的更好一些。

網(wǎng)上有一個名為《線性代數(shù)在工程設計方法論中的重要性》的文檔，是國外某個教授對他開的一門課的課程說明，我覺得寫的很好，值得一讀。

(英文原文) http://www./meetings/la03/proceedings/narayanan.pdf

(中文翻譯) http://211.71.86.13/web/jp/08sb/xxds/files/zw%E8%AF%91%E6%96%875.pdf

我想我們需要一門更有啟發(fā)性的線代課程，也需要同學投入更多的時間與精力。