一直在看，一直不懂。 我這人學(xué)數(shù)學(xué)的毛病，就是需要非常細(xì)致的知道每個變量的含義，誰變誰不變必須清清楚楚告訴我，否則我就沒有那個直覺。 anyway，從這篇文章入手吧：

http://www.cs./~welch/kalman/media/pdf/kalman_intro_chinese.pdf

所謂濾波，實際上是要去掉自己不想要的信號，保留想要的部分。一般來說，是把過程中的噪聲去掉。

卡爾曼濾波的默認(rèn)假定是，世界充滿噪聲，任何測量結(jié)果都有噪聲，狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程會有噪聲，你想知道系統(tǒng)的真實值么？玩兒蛋去吧。

卡爾曼濾波另一個重要假定模型是這樣的，一個系統(tǒng)會處在各種不同的狀態(tài)，并且會在狀態(tài)之間轉(zhuǎn)化來轉(zhuǎn)化去。但是呢，倒霉的是我們誰也不知道該系統(tǒng)當(dāng)前到底是在什么狀態(tài)；但是呢，幸運的是我們可以通過測量的結(jié)果猜測到系統(tǒng)當(dāng)前在一個什么狀態(tài)。

那啥叫狀態(tài)呢？例如系統(tǒng)的速度，加速度，溫度，腦殘度都算。離散系統(tǒng)的話，我們可以假設(shè)一個黑盒，黑盒里有許多顏色的燈（紅橙黃綠青藍(lán)紫），同時只能有一個顏色在亮著，ok，哪個燈在亮就是當(dāng)前狀態(tài)。

下面就是建模：

z_t = H*x_t + v_t;   (1)

x_t = A*x_(t-1) + B*u_(t-1) + w_(t-1);  (2)

初看起這倆式子來，我也頭大，不過稍微分析一下也不太難。x_t是t時刻系統(tǒng)所在狀態(tài)，z_t是所謂觀測值，u_t是系統(tǒng)控制變量（已知，但我做的領(lǐng)域一般用不著），w_t , v_t都是噪聲。 

那么式子(1)就是想說，觀測值和系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)系： 如果你看到種子發(fā)芽了，那么它的狀態(tài)就是剛出生；如果你看到它開始長葉兒了，那狀態(tài)就叫生長期；如果丫開花了，就叫啥啥期；如果結(jié)果了，就叫成熟期；如果蔫兒了，就叫嗝屁期。 

哦，對了，個人理解一下，以上公式限定為了線性系統(tǒng)，傳說中卡爾曼濾波是線性的，來源就在這里了，誰叫你是矩陣乘向量呢，你要是寫成f(x_t)，那有可能就是非線性的了。

那么式子(2)就是說，前一時刻狀態(tài)和下一時刻狀態(tài)之間的關(guān)系。我在這里卡了好久，總是以為丫是馬爾科夫過程，所以就完全無法理解A這個系數(shù)是憑啥得來的。其實，就是一個固定的轉(zhuǎn)移方程，該方程完全沒有概率問題。

所 以！以上式子中，固定下來的是H, A, B，這三個矩陣千年不變，萬年不變，并且是事先設(shè)定好的，全都已知。未知的話....你自己編一個模型吧。 那么w_t，v_t 在這里限定為兩個高斯白噪聲N(0, Q)和N(0, R)。 哦，對，這里要記得，Q,R都tm是協(xié)方差矩陣啊，因為，系統(tǒng)狀態(tài)和觀測值都是向量。我對協(xié)方差可郁悶可郁悶了。這里提一句，我就完全無法理解協(xié)方差想表達(dá)什么，為什么倆隨機(jī)變量獨立，協(xié)方差一定為0，雖然我也知道怎么推導(dǎo)，但就是不能直觀理解之，如果有人知道，還煩請告知。

那 繼續(xù)扯淡?？柭鼮V波，本質(zhì)是想要預(yù)測下一步的觀測值，或者實時監(jiān)控一下系統(tǒng)所在狀態(tài)。但一般在我這個領(lǐng)域，大家還都是在玩兒預(yù)測，那咱就從預(yù)測角度分 析。OK，直覺上，給定上一個位置的狀態(tài)x_(t-1)，式子(2)足夠了。但是，回到開始的默認(rèn)假設(shè)，式子(2)得到的結(jié)果x^-_t那是各種不準(zhǔn)確 啊。不準(zhǔn)確怎么辦？那就去看觀測值唄，于是得到觀測值z_t，但是觀測值也不準(zhǔn)確唉，那怎么辦？當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)，卡爾曼告訴我們一個灰常牛B的事情，一個相對準(zhǔn) 確的系統(tǒng)值具有如下結(jié)構(gòu)：

x&_t = x&-_t + K( z_t - H*x_(t-1) );  (3)

提 一下，這里" & "表示估計值，" - "表示是用前面式子算出來的估計值，不帶" - "表示是最后的估計值。 (3)這個式子是想說，你不是式子估計和觀測值都不準(zhǔn)么，那么你把他倆加個權(quán)，求個和，那就可能更準(zhǔn)確了。啥？你說這個式子不像加權(quán)？你把丫拆了，倒騰倒 騰不就像了。 所以，最牛B就牛B在了這個“K”，傳說中的卡爾曼增益。 這個K怎么得到的？我也不知道。 文章說法是，定義誤差 e_t = x_t - x&_t ，P_t為此誤差的協(xié)方差矩陣，目的是使這個誤差協(xié)方差矩陣最小化，把(3)代過去，于是折騰來折騰去，再求個導(dǎo)數(shù)為0，解得K，這個關(guān)鍵值的算法：

K = P-_t * H^T * ( H * P-_t * H^T + R) ^(-1);  (4)

哦，對了，另外注意一點，從此以后，我們就都在估計上做文章了，你只要記得，咱永遠(yuǎn)看不到真實值就行了，于是我們的式子里不是帶"&"就是帶"-"。

那么式子(4)就是在說，你丫這么著就把K求出來了。于是，問題就變成了這個P-_t怎么個求法。

說到這里，傳說中的卡爾曼濾波就算講完了。神馬？你說P-_k還沒求呢。是啊，卡爾曼濾波一共就倆需要求的玩意兒，還都tm是迭代求解，一個就是這個P-_t，另一個就是狀態(tài)x-_t。你隨便給個初始值，然后就迭著吧。

言歸正傳，我還得給出迭代的公式：

x-_t = A * x&_(t-1) + B * u_(t-1);  (5)

P-_t = A * P_(t-1) * A^T + Q;    (6)

大家一定別搞混Q和R誰是哪個公式冒出來的啊。 另外嚴(yán)重關(guān)切一下這里"-","&"以及不加的關(guān)系。 注意到啥沒有？對了，(6)式中等號右邊的P_(t-1)不帶任何符號，嘿嘿，那自然是還差一個公式啦：

P_t = (I - K_t * H ) P-_(t-1);   (7)

大功告成，以上就是傳說中的卡爾曼濾波的迭代求解方法，如果你要預(yù)測狀態(tài)呢，就用式子(5)的結(jié)果；如果預(yù)測觀測值呢，就把式子(5)的結(jié)果乘個H；如果是監(jiān)測狀態(tài)呢，就用式子(3)的結(jié)果。

至于一切式子中的推導(dǎo)過程，還有為神馬是這樣求出來的，咕~~(╯﹏╰)b，本人一概不知。淚奔告退。

最 后小注一下，文章指出，如果Q,R是常數(shù)，K會收斂，也即P也會收斂到常量。 另外，大家經(jīng)常詬病卡爾曼濾波都是假定高斯分布，我勒個去，這里的高斯分布到底說誰呢？噪聲項？雖然看上去應(yīng)該是，但我打賭不是?？墒瞧渌侄际嵌ㄖ?， 唉，頭大。我本來就是為了理解這句話才來學(xué)習(xí)卡爾曼濾波的。 還得慢慢學(xué)，繼續(xù)淚奔 。

PS, 于是，果然，文中提到x_t是一個隨機(jī)變量，并且在已知z_t的情況下 p(x_t | z_t) 服從N( x&_t, E[(x_t - x&_t)(x_t - x&_t)])，切記切記，這里所說的正態(tài)分布，是指已知觀測值的情況下，系統(tǒng)狀態(tài)是一個高斯分布的隨機(jī)變量。