三階幻方也叫九宮圖，它的特點(diǎn)是任意一橫行、一縱行以及對角線的三個(gè)數(shù)之和都相等。在幻方的來源及神奇?zhèn)髡f中大家已經(jīng)知道把1～9這九個(gè)數(shù)字填寫在3×3的方格里的一種答案了。下面給出幾種解答方法。

解法一：“楊輝口訣”：九子斜排、上下對易、左右相更、四維挺出。

  第一步： 將九個(gè)數(shù)從小到大斜著排好，如下圖的兩種排列方式均可。

 這就是著名的洛書的排列：“戴九履一（9在上中，1在下中），左三右七，二四為肩，六八為足，五居中央。

也可以用平移補(bǔ)空法：（1）像上面圖一的第二個(gè)圖那樣斜排；（2）平移：把1向下平移3格，9上移3格；7向右平移3格，3左移3格就得到圖四。
      解法二：  羅伯法：1居上行正中央，依次斜填右上方，上方出格下邊放，右邊出格左邊放，排重便在下格放，右上同出一個(gè)樣。具體填法如下：

8    1   6 
     3    5   7 
     4    9   2

1寫在上行正中間；2斜填右上方時(shí)上方出格就寫在同列的下邊；2的右上方填3時(shí)右邊出格，3就寫在同行的左邊；3的右上方是1排重了，4就寫在3的下面；依次斜填寫好5、6；6的右方上方同時(shí)出格，7就寫在6的下邊；7的右上方填8時(shí)右邊出格，8就寫在同行的左邊；8的右上方填9時(shí)上方出格,9就寫在同列的下邊。

解法三：數(shù)學(xué)推理

推理（1）：因?yàn)?～9這九個(gè)數(shù)字之和是45，正好是三個(gè)橫行數(shù)字之和，所以每一橫行的數(shù)字之和等于45÷3=15。也就是說，每一橫行、每一豎列以及每條對角線上三個(gè)數(shù)字之和都等于15。

在1～9這九個(gè)數(shù)字中，三個(gè)不同的數(shù)相加等于15的有：

9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，

8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。

因此每行、每列以及每條對角線上的三個(gè)數(shù)字可以是其中任一個(gè)算式中的三個(gè)數(shù)字。

因?yàn)橹行姆礁裰械臄?shù)既在一個(gè)橫行中，又在一個(gè)豎列中，還在兩對角線上，所以它應(yīng)同時(shí)出現(xiàn)在上述的四個(gè)算式中，只有5出現(xiàn)了四次，因此應(yīng)將5填在中心方格中。同理，四個(gè)角上的數(shù)既在一個(gè)橫行中，又在一個(gè)豎列中，還在一條對角線上，所以它應(yīng)同時(shí)出現(xiàn)在上述的三個(gè)算式中，符合條件的有2，4，6，8，因此應(yīng)將2，4，6，8填在四個(gè)角的方格中，同時(shí)應(yīng)保證對角線兩數(shù)的和相等。即下圖：

 經(jīng)試驗(yàn)，有八種不同填法，而它們都可以通過一個(gè)圖的旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)得到。所以，這八個(gè)圖本質(zhì)上是相同的，可以看作是一種填法

推理（2）：根據(jù)9個(gè)數(shù)的和是45得出每行或每列是15，并且中間數(shù)是5。

因?yàn)?5是奇數(shù)，欲使3個(gè)數(shù)和為奇數(shù)，則需要3個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，或者兩偶一奇。

那么再去確定藍(lán)色①位置填什么數(shù)。

如果①是奇數(shù)，因?yàn)棰?②+5=15，所以②應(yīng)填奇數(shù)

在這個(gè)條件下，假設(shè)⑦是奇數(shù)，則④是奇數(shù)，⑥是奇數(shù)，⑧⑤③也是奇數(shù)。

而除5外奇數(shù)只有4個(gè)，所以⑦不能是奇數(shù)。

假設(shè)⑦是偶數(shù)，則④是偶數(shù)，⑥是偶數(shù)，⑧⑤③也是偶數(shù)。

而偶數(shù)只有4個(gè)，所以⑦不是偶數(shù)。

當(dāng)①是奇數(shù)時(shí)，⑦不能是偶數(shù)也不能是奇數(shù)，所以①不能填奇數(shù)。

由此可以推出①是偶數(shù)。同理可推出②③④都是偶數(shù)。⑤⑥⑦⑧是奇數(shù)。

下面就可以根據(jù)推理（1）得出。

另外，用“ 對角對調(diào)，各數(shù)旋轉(zhuǎn) ” 的方法也可制作三階幻方。具體方法是：

  1 、將1—9九個(gè)數(shù)按從小到大的順序依次填寫而得到圖A

  2、將圖 A 的兩組對角的數(shù)對調(diào)   （例如數(shù) 1 與 9 對調(diào)），得到圖 B 。

  3、將圖 B 的各個(gè)數(shù)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 45 度（中心數(shù) 5 也可以說是旋轉(zhuǎn)了），就得到圖 C 所示的三階幻方。

                       1     2     3             9     2     7             4     9     2      

                       4     5     6             4     5     6             3     5     7                    

                       7     8     9             3     8     1             8     1     6                    

                             A                            B                            C  

  上面的解法讓我們實(shí)實(shí)在在掌握了三階幻方的解法。  如果你有興趣，就請你繼續(xù)關(guān)注本博客后續(xù)一些關(guān)于更高階幻方的解答規(guī)律和方法。