專題：綜合運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想解決函數(shù)綜合問(wèn)題

高考要求:

函數(shù)綜合問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣  本節(jié)課主要幫助考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能力 

重難點(diǎn)歸納: 

在解決函數(shù)綜合問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真分析、處理好各種關(guān)系，把握問(wèn)題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問(wèn)題來(lái)解決，尤其是注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用  綜合問(wèn)題的求解往往需要應(yīng)用多種知識(shí)和技能  因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件 

學(xué)法指導(dǎo):  怎樣學(xué)好函數(shù)

學(xué)習(xí)函數(shù)要重點(diǎn)解決好四個(gè)問(wèn)題  準(zhǔn)確深刻地理解函數(shù)的有關(guān)概念；揭示并認(rèn)識(shí)函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法；認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí) 

(一)準(zhǔn)確、深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念

概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，函數(shù)概念貫穿在中學(xué)代數(shù)的始終  數(shù)、式、方程、函數(shù)、排列組合、數(shù)列極限等是以函數(shù)為中心的代數(shù)  近十年來(lái)，高考試題中始終貫穿著函數(shù)及其性質(zhì)這條主線 

(二)揭示并認(rèn)識(shí)函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系  函數(shù)是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，是變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，利用函數(shù)觀點(diǎn)可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數(shù)列、曲線與方程等內(nèi)容  在利用函數(shù)和方程的思想進(jìn)行思維中，動(dòng)與靜、變量與常量如此生動(dòng)的辯證統(tǒng)一，函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式 

所謂函數(shù)觀點(diǎn)，實(shí)質(zhì)是將問(wèn)題放到動(dòng)態(tài)背景上去加以考慮  高考試題涉及5個(gè)方面  (1)原始意義上的函數(shù)問(wèn)題；(2)方程、不等式作為函數(shù)性質(zhì)解決；(3)數(shù)列作為特殊的函數(shù)成為高考熱點(diǎn)；(4)輔助函數(shù)法；(5)集合與映射，作為基本語(yǔ)言和工具出現(xiàn)在試題中 

(三)把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法

函數(shù)圖像的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖像的平移變換、對(duì)稱變換 

(四)認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)

函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)就是用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系，求得問(wèn)題的解決 縱觀近幾年高考題，考查函數(shù)思想方法尤其是應(yīng)用題力度加大，因此一定要認(rèn)識(shí)函數(shù)思想實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)

典型題例示范講解

例1設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意x1、x2∈［0, ］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0 

(1)求f( )、f( );

(2)證明f(x)是周期函數(shù)；

(3)記an=f(2n+ ),求

命題意圖  本題主要考查函數(shù)概念，圖像函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力 

知識(shí)依托  認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1+x2)＝

f(x1)·f(x2)找到問(wèn)題的突破口 

錯(cuò)解分析  不會(huì)利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)進(jìn)行合理變形 

技巧與方法  由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)變形為 是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 

解  因?yàn)閷?duì)x1,x2∈［0, ］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)= ,　　x∈［0,1］

又因?yàn)閒(1)=f( + )=f( )·f( )=［f( )］2

f( )=f( + )=f( )·f( )=［f（ ）］2

又f(1)=a>0

∴f( )=a ,　f( )=a

(2)證明  依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故f(x)=f(1+1－x),

即　f(x)=f(2－x),x∈R 

又由f(x)是偶函數(shù)知　f(－x)=f(x),x∈R

∴f(－x)=f(2－x),x∈R 

將上式中－x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期 

(3)解  由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］

∵f( )=f(n· )=f( +(n－1) )=f( )·f((n－1)· )=……

=f( )·f( )·……·f( )=［f( )］n=a

∴f( )=a  

又∵f(x)的一個(gè)周期是2∴f(2n+ )=f( ),　∴an=f(2n+ )=f( )=a  

因此an=a ∴

例2甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元 

(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

命題意圖  本題考查建立函數(shù)的模型、不等式性質(zhì)、最值等知識(shí)，還考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力 

知識(shí)依托  運(yùn)用建模、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法 

錯(cuò)解分析  不會(huì)將實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)問(wèn)題，易忽略對(duì)參變量的限制條件 

技巧與方法  四步法  (1)讀題；(2)建模；(3)求解；(4)評(píng)價(jià) 

解法一  (1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為 ,全程運(yùn)輸成本為y=a· +bv2· =S( +bv)

∴所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=S( +bv),v∈(0,c  

(2)依題意知，S、a、b、v均為正數(shù)

∴S( +bv)≥2S                       ①

當(dāng)且僅當(dāng) =bv,即v= 時(shí)，①式中等號(hào)成立  

若 ≤c則當(dāng)v= 時(shí)，有ymin＝2S ；

若 >c,則當(dāng)v∈(0,c 時(shí)，有S( +bv)－S( +bc)

=S［( － )+(bv－bc)］= (c－v)(a－bcv)

∵c－v≥0,且c>bc2,　∴a－bcv≥a－bc2>0

∴S( +bv)≥S( +bc),當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立，

也即當(dāng)v=c時(shí)，有ymin ＝S( +bc)；

綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng) ≤c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v= ,　當(dāng) >c時(shí)行駛速度應(yīng)為v=c 

解法二  (1)同解法一 

(2)∵函數(shù)y=S( +bv),　v∈(0,+∞),當(dāng)x∈(0, )時(shí)，y單調(diào)減小，

當(dāng)x∈( ,+∞)時(shí)y單調(diào)增加，

當(dāng)x= 時(shí)y取得最小值，而全程運(yùn)輸成本函數(shù)為y=Sb(v+ ),v∈(0,c  

∴當(dāng) ≤c時(shí)，則當(dāng)v= 時(shí)，y最小，若 >c時(shí)，則當(dāng)v=c時(shí)，y最小  結(jié)論同上 

例3　設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x>0時(shí)f(x)<0且f(3)=－4 

(1)求證  f(x)為奇函數(shù)；

(2)在區(qū)間［－9，9］上，求f(x)的最值 

(1）證明  令x=y=0,得f(0)=0

令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)

∴f(x)是奇函數(shù)

(2）解  1°,任取實(shí)數(shù)x1、x2∈［－9,9］且x1＜x2,這時(shí)，x2－x1>0,

f(x1)－f(x2)=f［(x1－x2)+x2］－f(x2)=f(x1－x2)+f(x2)－f(x1)=－f(x2－x1)

因?yàn)閤>0時(shí)f(x)＜0,∴f(x1)－f(x2)>0

∴f(x)在［－9，9］上是減函數(shù)

故f(x)的最大值為f(－9),最小值為f(9) 

而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12 

∴f(x)在區(qū)間［－9，9］上的最大值為12，最小值為－12 

學(xué)生鞏固練習(xí)

1  函數(shù)y=x+a與y=logax的圖像可能是(    )

2  定義在區(qū)間(－∞,+∞)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間［0，+∞)的圖像與f(x)的圖像重合，設(shè)a>b>0,給出下列不等式 

①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)  　　②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b) 

③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)  　?、躥(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)

其中成立的是(    )

A  ①與④                   B  ②與③                   C  ①與③                   D  ②與④

3  若關(guān)于x的方程22x+2xa+a+1=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____ 

4  設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R 

(1)討論f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值 

5  設(shè)f(x)=  

(1)證明  f(x)在其定義域上的單調(diào)性；

(2)證明  方程f-1(x)=0有惟一解；

(3)解不等式f［x(x－ )］<  

6  定義在(－1，1)上的函數(shù)f(x)滿足①對(duì)任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f( );②當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，有f(x)>0 

求證    

7  某工廠擬建一座平面圖(如下圖)為矩形且面積為200平方米的三級(jí)污水處理池，由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16米，如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元(池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋) 

 (1)寫出總造價(jià)y(元)與污水處理池長(zhǎng)x(米)的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域 

(2)求污水處理池的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求最低總造價(jià) 

8  已知函數(shù)f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定義，且在(0,+∞)上是增函數(shù)，f(1)=0,又g(θ)=sin2θ－mcosθ－2m,θ∈［0, ］,設(shè)M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|f［g(θ)］<0},求M∩N