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李特爾伍德 李旭輝 (華東師范大學) 李特爾伍德，J．E．(Littlewood，John Edensor)1885年6月9日生于英國羅切斯特；1977年9月6日卒于劍橋．數學． 李特爾伍德是愛德華·桑頓·李特爾伍德(Edward Thorn-to n Littlewood)和西爾維婭·莫德(Sylvia Maud)的長子．E．T．李特爾伍德曾獲1882年數學榮譽學位考試一等及格者的第9名，后來受聘擔任南非維恩堡一所新建中學的校長，全家于1892年移居到那里． 李特爾伍德在依山傍海、氣候宜人的環(huán)境里度過了愉快的童年．他先在開普敦大學念書，1900年轉入英格蘭的圣保羅學校．該校采取大學式的教學體制，鼓勵學生們獨立思考、相互探討．三年中，李特爾伍德獲得了代數、幾何知識及自立能力和良好的判斷力．1902年12月，他通過劍橋大學三一學院的資格考試，次年10月正式入學． 前兩年，他先后學習了立體幾何、流體動力學、分析學和解析函數論等課程．G．H．哈代(Hardy)曾任他的分析學課的助教．后兩年他主修特殊函數、保形表示及微分幾何，還帶著濃厚的興趣參加了A．N．懷特海(Whitehead)關于幾何基礎與數學基礎的講習班． 1907年10月，李特爾伍德從劍橋畢業(yè)，來到曼徹斯特大學任理查德遜(Richardson)講師．繁重而乏味的教學工作占去了他大部分的時間，促使他于1910年重返三一學院，接替懷特海的職務．在這里，他發(fā)現了許多感興趣的新問題，并有充足的時間進行探索．1911年1月，他證明了級數論中阿貝爾定理的逆定理，感到這“標志著我的判斷力和鑒賞力達到了相當可靠的程度．我受教育的時期結束了．不久，我便開始了與哈代長達35年的合作．” 兩人早期的合作成果是極為豐富的，除涉及丟番圖逼近及其對函數論的應用外，還系統處理了級數的可和性，對一些特殊的級數討論了陶伯(Tauber)型定理．這其中的大部分工作是1914—1918年李特爾伍德在皇家炮兵部隊服役時完成的．在此期間，李特爾伍德還發(fā)現了解決彈道計算問題的一些新方法． 1920年，哈代離開劍橋去了牛津，直到1931年才重新回到劍橋．這十年間，兩人始終保持著密切的聯系，圍繞整數分拆和傅里葉級數的收斂性與可和性發(fā)表了大量著作．李特爾伍德的獨立工作集中于復函理論，還指導了大批研究生．他在劍橋主要講授實與復分析理論，后來又參照懷特海和B．A．W．羅素(Russell)所建立的一般理論，在自己的演講中增加了集合論基礎的內容，包括基數、序數、乘法公理和良序級數．這些都收入他在1926年出版的《實函數論》(The theory of real function)一書中． 1928年，李特爾伍德被推舉為首位羅斯·鮑爾(Rouse Ball)數學教授，這樣他就免去了教學工作，可以自由選擇課題進行演講．這時，他已成為最有威望的分析學家之一．在30—40年代，他與哈代研究了序列重排、極大定理和不等式，同R．E．A．C．佩利(Paley)系統探討了傅里葉級數和冪級數．出于戰(zhàn)爭的需要，他還研究了無線電工程中所需的非線性微分方程的性質．通過各種討論班，他為許多年輕數學人才指明了方向． 1950年，65歲的李特爾伍德到了法定退休年齡，成為退休教授．他自愿為學院進行了4年有關非線性微分方程和函數論的演講．1957年，多年折磨他的神經衰弱得以痊愈，這使他重振信心，在后來的10年中接受了來自美國的許多邀請．應L．C．楊(Young)和A．濟格蒙德(Zygmund)的盛情之邀，他先后到過威斯康星大學的數學研究中心和芝加哥大學，他還三次去加利福尼亞大學伯克利分校任訪問教授． 晚年，他主持過許多報告會、講習班和討論，主題是微分方程和函數論．他的論著除涉及微分方程外，另有許多顯示了他對天體力學和概率分析的興趣． 每年從圣誕節(jié)到3月中旬，李特爾伍德都要去瑞士滑雪．年老后，他無法遠足，但仍堅持每天在校園中散步．87歲時，他還能不知疲倦地長時間工作，為出版物撰寫文章，幫助數學家解決他們寄來的問題． 1975年6月9日，是李特爾伍德的90大壽，數學與應用學院同倫敦數學會聯合舉辦了專題討論會，以示慶賀．1977年8月，他在睡眠時從床上落地，直到次日凌晨才蘇醒，被送入醫(yī)院護療．9月6日，李特爾伍德猝然與世長辭，享年92歲．他終生未婚． 李特爾伍德一生獲得過大量榮譽，其中主要有：皇家學會會員(1916年)；皇室獎章(1929年)，德·摩根(De Morgen)獎章(1938年)和西爾維斯特(Sylvester)獎章(1943年)；巴黎科學院院士(1957年11月)；倫敦數學會會長(1941—1943年)． 1982年，由倫敦數學會編輯、牛津大學出版社出版了兩卷的《J．E．李特爾伍德文集》(Collected papers of J．E．Little-wood)，其中包括他的數學論文91篇，雜文8篇．他與哈代合作撰寫的100篇論文則已收錄于1966年出版的《G．H．哈代文集》(Collected papers of G．H．Hardy)中． 1．函數論 李特爾伍德在經典復分析領域做了大量工作．1907年他最初涉獵數學時，函數論的中心問題是特殊函數(如Zeta函數和橢圓函數)的性質及其在數論等學科中的應用；而另一方面，J．阿達瑪(Hadamard)、E．L．林德洛夫(Lindel f)等人又從函數論本身的需要出發(fā)，開始研究各類一般的函數．這門學科正從廣義的應用學科轉向純粹數學．李特爾伍德早期的工作恰好處于這兩者的分界線上．在第一篇論文“關于零階整函數的漸近逼近”(Onthe asymptotic approximation to integral functions of zero or-der)中他設f(z)為整函數， 將m(r)和M(r)視為f的k階函數，其中k由 他證明，若k=0，則m(r)＞M(r)1-ε(r→∞) 這是當時零階整函數問題的一個最新結果，使用比較初等的方法完成了林德洛夫的殘數分析法所不能解決的問題．在提交倫敦數學會審議時，曾受到一些專家的懷疑，幸由哈代保薦才得以通過，發(fā)表在1907年的“倫敦數學會會議錄”(Proceedings of Lon-don Mathematical Society)第5卷上． 第二年，他接著證明存在一般常數C(k)(≥-2k)，使 m(r)＞M(r)c(k)-ε． 這一不等式吸引著后來的數學家做了大量改進工作．同時，李特爾伍德開始將注意力集中于滿足特殊條件的各類整函數，尋找零點漸近公式與系數之間的關系，這為后來Zeta函數的研究奠定了基礎． 在1925年的“關于函數論中的不等式”(On inequalities inthe theory of functions)一文中，李特爾伍德首先推進了從屬關系這一新概念．他證明，在所有于|z|＜1內正則的函數f(z)=a0+a1z+…(a0給定，f(z)在給定區(qū)域D內取值)中，在均值 意義下的極大函數就是將單位圓映到D的通用覆蓋面上的函數F(z)．他還就斯哥特基(Schottky)函數類討論了F(z)的性質． 文中另一個重要結果是關于單葉函數系數絕對值的階，設上面定義的函數f(z)是單葉的，a0=0，a1=1，李特爾伍德把當時的最佳估計 改進為 這是對比勃巴赫(Bieberbach)猜想的一個重大貢獻． 次調和函數是F．里斯(Riesz)在1926年引入的一類具有普遍性的函數：u(z)=u(x，y)是次調和的，若它上半連續(xù)并對任意小的r滿足 李特爾伍德在1927年給出了等價的定義：若上式對定義域中的每個z0及某些任意小的r成立，則u亦為次調和的． 第二年，他又證明一個重要的定理：u(z)在|z|＜1內次調和，則r→1時， 有限．對于u(z)=log|f(z)|的角極限問題，李特爾伍德亦給出一些有用的定理．這些有關次調和函數的結果后來由J．L．杜布(Doob)、R．L．惠登(Wheedon)等人從各個角度給予了推廣． 在1931年函數論授課講義的基礎上，李特爾伍德補充了次調和函數和從屬關系的內容，于1944年2月寫成《函數論教程》(Le-ctures on the theory of functions)一書，由牛津大學出版社出版． 2．數論 李特爾伍德在數論方面的工作絕大多數是與哈代共同完成的，集中于1911—1930年的20年間． (1)丟番圖逼近 在1912年劍橋召開的第五次國際數學家大會上，哈代和李特爾伍德宣讀了有關丟番圖逼近的一系列新結果，此后又陸續(xù)寫出13篇論文．他們的突出貢獻在于對一些重要的特殊情形給予了精確 若這些系數增長的速度很快，則Sn(θ)／N以極慢的速度趨于0； 他們還把這種三角和的估計應用于傅里葉級數的收斂、Zeta函數和直角三角形格點問題的誤差估計．例如，作為對伯恩斯坦(Bernstein) 的完善，他們證明存在常數C＞0，對所有的N和t，有 隨之可得，級數 李特爾伍德還曾提出過這樣一個問題：對所有實數對θ，φ，是否 映出連分數方法尚未在聯立逼近問題中得到很好的推廣，被稱為“李特爾伍德的丟番圖逼近問題”． (2)Zeta函數 對于復變量的Zeta函數 一個重要的問題是其零點的分布問題．B．黎曼(Riemann)曾猜想 同研究Zeta函數． 1921年，兩人給出了ζ(s)的漸近估計式．設ζ(s)=φ(s)ζ(1-s)，s=σ+it，|t|=2πxy，則對|σ|≤h，x＞k，y＞k(h，k為正常數)一致地有 由此得到均值估計式 李特爾伍德證明，當s的虛部很大時，±log|ζ(s)|與argζ(s)在s點的取值亦很大，不論在0＜σ＜1內還是在半平面σ≥1上．例如他找到正常數b，使 而若黎曼猜想成立，則有 記N(T)為矩形區(qū)域0＜σ＜1，0＜t≤T內ζ(s)的零點 曼猜想成立的前提下，把余項改進為O(logT／log log T)，它意味著各個零點之間的距離總不會超過c／log log T，這是迄今為止最佳的結果． Zeta函數還與素數分布問題密切相關．早在本世紀初，李特爾伍德便獨立地發(fā)現，若素數的分布充分正則，那么黎曼猜想成立；反之，黎曼猜想隱含著素數的均勻分布． 1914年，他給出素數定理的余項估計．記π(x)為不超過x的素 了 李特爾伍德則證明不論黎曼猜想正確與否，都有 成立．這是一項比較領先的結果． 盡管經驗表明有不等式π(x)＜Lix成立，李特爾伍德卻說明差分π(x)-Lix無窮次地改變符號：對某些任意大的x，π(x)＞Lix+ (Schmidt)等人的結果相比，達到了更高的精確程度． (3)堆壘數論 1920到1928年，哈代和李特爾伍德發(fā)表了題為“整數分拆的一些問題”(Some problems of Partitio Nume-rorum)的5篇系列文章，對華林(Waring)問題進行了深入探討．他們所得到的全部結論均以廣義黎曼猜想(用狄利克雷L函數代替Zeta函數)為前提，使用的是著名的圓法．對于給定的自然數k，要求自然數S(k)，使S≥S 突破，后經H．外爾(Weyl)和華羅庚等人給予了重大發(fā)展． 由此出發(fā)，哈代和李特爾伍德還給出了哥德巴赫(Goldbach)問題和孿生素數問題的一些漸近表示式． 3．實分析 (1)李特爾伍德-佩利理論 李特爾伍德與佩利以“關于傅里葉級數和冪級數的定理”為題，合寫過3篇文章，首創(chuàng)了Lp(p＞1)空間中傅里葉級數特征性質的理論．它主要包括以下兩個方面： ?、俸瘮礸(θ)、g＊(θ)及其應用．設F(z)=F(ρeiθ)是單位圓內的解析函數，李特爾伍德和佩利引入兩個重要的函數 它們對于三角級數和冪級數的研究有著重要作用．主要結果是：若r＞1，則存在僅與r有關的常數Ar，Br，使得 成立． ?、谌羌墧档亩M分塊．設實值函數f(x)∈Lp(0，2π)， 由上面(＊)式可以得到結論：存在常數Ap(p＞1)，使 這個不等式是研究Lp空間中傅里葉級數的基本工具，其作用相當于刻畫L2(0，2π)空間特征性質的帕塞瓦爾(Parseval)等式，對低維空間的情形特別有效，50年代時由E．M．斯坦(Stein)推廣到高維空間． (2)哈代-李特爾伍德極大函數 30年代，哈代和李特爾伍德在研究傅里葉級數時，引進了極大函數算子．設f(x)為Rn中的局部可積函數，稱 為f的極大函數，其中B(x，r)代表以x為中心、r為半徑的球，|B(x，r)|為球的體積．他們證明，(Mf)(x)是幾乎處處有限的，只要f∈Lp(Rn)，1≤p≤∞；且有 A是與p，n有關的常數． 由極大函數的定義可知，(Mf)(x)≥|f(x)|幾乎處處成立；另一方面，只要f∈Lp(Rn)(p＞1)，仍有(Mf)(x)∈Lp(Rn)．基于這種性質，用(Mf)(x)便能有效地控制那些在Lp上有界的算子，最后可以通過函數本身的大小達到估計算子的目的．極大函數的研究對分析數學的發(fā)展起了重要作用，并逐漸應用到了其他的數學分支中． (3)不等式 20年代后期，李特爾伍德從冪級數的均值和有界雙線性形式兩個方向研究了不等式，幾年后又與A．C．奧佛德(Offord)和哈代分別就上述兩方面繼續(xù)進行了探討，對三角多項式與巴拿赫(Banach)空間理論產生了影響． 1934年，他與哈代、G．波利亞(Pólya)合作出版《不等式》(Inequalities)一書，這是不等式方面的第一部專著． 李特爾伍德與哈代之間幾十年的合作是默契而成果豐碩的，他們合寫的文章占李特爾伍德全部著作的1／2，在哈代的著作中也占了1／3的比例．通常，李特爾伍德將文章的基本框架搭好，使用那些哈代熟悉的符號進行表述，然后由哈代補充完善成為一篇形式優(yōu)美、內容嚴謹充實的論文．哈代對李特爾伍德給予了高度的評價，認為他是自己所遇到的最優(yōu)秀的數學家，能解決相當高深復雜的問題，沒有別的人能像他那樣把洞察力、技巧和學識巧妙地結合在一起并運用自如． 李特爾伍德有一套指導學生的獨特方法．他的手頭總是有二三十道題目，學生們可以任意選擇并嘗試解決，行不通的話可以另外再選．而實際上，這些問題都是李特爾伍德所崇敬的數學家們曾經考慮過但未能解決的，用這種辦法可以有效地培養(yǎng)學生們的毅力和創(chuàng)造力．“拿道難題來試試，或許你無法攻克它，但卻有可能獲得別的東西．”這是李特爾伍德常對學生們講的． 根據自己多年的實踐，李特爾伍德把數學家的創(chuàng)造性活動歸納為四個階段：準備、醞釀、明確和驗證．準備階段需要強烈的好奇心，要提取本質問題并清晰地反映到意識中，運用所有相關的知識，聯系可能類似的事物；醞釀是在等待答案的過程中潛意識所進行的活動；明確階段，創(chuàng)造性的思想進入意識中，可能在幾分之一秒內發(fā)生． |
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