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柯西 北京工業(yè)大學(xué) 沈永歡 柯西，A．L．(Cauchy，Augustin－Louis)1789年8月21日生于法國巴黎； 1857年5月22日卒于法國斯科．?dāng)?shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、力學(xué)． 柯西之父路易-弗朗索瓦(Cauchy，Louis－Francois)，1760年生于魯昂，年輕時學(xué)習(xí)出色，1777年獲巴黎大學(xué)頒發(fā)的會考榮譽獎，畢業(yè)后任諾曼第最高法院律師，后任魯昂總督C．蒂魯(Thi-roux)的秘書．1785年蒂魯出任巴黎警察總監(jiān)，弗朗索瓦成為他的首席幕僚．1794年蒂魯被處決，弗朗索瓦舉家遷居阿爾居埃避風(fēng)．1799年霧月十八政變中，他積極支持拿破侖，于次年被新設(shè)的上議院選為負責(zé)起草會議紀要和執(zhí)掌印璽的秘書，并安家于盧森堡宮． 弗朗索瓦親自對長子柯西進行啟蒙教育，教孩子語法、詩歌、歷史、拉丁文和古希臘文．弗朗索瓦與P．S．拉普拉斯(Laplace)過從甚密，與J．L．拉格朗日(Lagrange)也交往頗多，所以柯西在童年時就接觸到兩位大數(shù)學(xué)家． 柯西從小喜愛數(shù)學(xué)，當(dāng)一個念頭閃過腦海時，他常會中斷其他事情，在本上算數(shù)畫圖．這引起拉格朗日的注意．據(jù)說在1801年的一天，拉格朗日在弗朗索瓦辦公室當(dāng)著一些上議員的面說：“瞧這孩子！我們這些可憐的幾何學(xué)家都會被他取而代之．” 但他也告誡弗朗索瓦，在柯西完成基本教育之前不要讓他攻讀數(shù)學(xué)著作． 1802年秋，柯西就讀于先賢祠中心學(xué)校，主要學(xué)習(xí)古代語言．在校兩年中，成績優(yōu)異，多次獲獎．但他決心成為一名工程師．經(jīng)過一年準備后，于1805年秋考入綜合工科學(xué)校；1807年10月又以第一名的成績?yōu)榈缆窐蛄汗こ虒W(xué)校錄取，并在1809年該校會考中獲道橋和木橋大獎． 1810年初，柯西被派往瑟堡，任監(jiān)督拿破侖港工程的工程師助理。在他的行囊中，裝有拉格朗日的《解析函數(shù)論》 (Traité desfonctions analytiques)和拉普拉斯的《天體力學(xué)》(Mécanique cé-leste)。年底，他被授予二級道橋工程師職務(wù)，其工作受到上級嘉獎，然而他把絕大部分業(yè)余時間用于鉆研數(shù)學(xué)．在拉格朗日建議下，他研究了多面體，于1811年2月向法蘭西研究院遞交第一篇論文(文獻[1]，(2)1，pp． 7—18)，證明了包括非凸情形在內(nèi)，只存在9種正多面體．1812年1月，又向巴黎科學(xué)院遞交第二篇論文(文獻[1]，(2)1，pp．26—35)，證明具有剛性面的凸多面體必是剛性的．A．M．勒讓德(Legendre)對兩文極為欣賞．兩個月后，柯西成為愛好科學(xué)協(xié)會通訊會員． 1812年底，由于健康狀況下降，柯西返回巴黎，不久向科學(xué)院遞交了關(guān)于對稱函數(shù)的論文．就在這時，他確定了自己的生活道路：終生獻給“真理的探索”即從事科學(xué)研究．1813年3月，他被任命為烏爾克運河工程師．1814—1815年拿破侖一世的慘敗中斷了運河工程，使他有時間潛心研究．他在1814年向法蘭西研究院遞交的論文中，有關(guān)于誤差論的研究和標志他建立復(fù)變函數(shù)論起點的關(guān)于定積分的研究．1815年底，他以關(guān)于無限深流體表面波浪傳播的論文獲科學(xué)院數(shù)學(xué)大獎． 1815年7月，路易十八重返巴黎．11月，政府禁止L．普安索(Poinsot)在綜合工科學(xué)校授課；12月初，宣布由柯西以替補教授名義接任普安索，講授數(shù)學(xué)分析． 1816年3月，王室發(fā)布了重組法蘭西研究院和巴黎科學(xué)院的敕令，清洗了一批院士，L．卡諾(Carnot)和G．蒙日(Monge)也在其中；同時柯西被國王任命為力學(xué)部院士．9月被任命為綜合工科學(xué)校分析學(xué)和力學(xué)正式教授，為一年級新生講授數(shù)學(xué)分析． 柯西在綜合工科學(xué)校的教學(xué)內(nèi)容，集中體現(xiàn)在他寫的《分析教程第一編·代數(shù)分析》(1821)、《微積分概要》(1823)、《微積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用教程》(1826)和《微分學(xué)教程》(1829)中．這些論著首次成功地為微積分奠定了比較嚴格的基礎(chǔ)．1823年，他出任巴黎理學(xué)院力學(xué)副教授，代替S．D．泊松(Poisson)講授力學(xué)；1824年底出任法蘭西學(xué)院代理教授，代替J．B．比奧(Biot)講授數(shù)學(xué)物理．這些教學(xué)工作都持續(xù)到1830年． 柯西同時積極參加科學(xué)活動，經(jīng)常出席科學(xué)院每周一召開的公開會議，在純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)的各種委員會中起重要作用．他在波旁王朝復(fù)辟時期寫了大約100篇論文或注記．1826年起，他獨自編輯出版定期刊物《數(shù)學(xué)演習(xí)》(Exercices de mathématiques)，專門發(fā)表自己的論著． 1830年7月革命再次推翻了波旁王朝，奧爾良公爵路易-菲力浦(Louis－Philippe)即位．一直激烈反對自由派的柯西，把此事看作國家的災(zāi)難．綜合工科學(xué)校學(xué)生在起義中離開校園，率領(lǐng)民眾戰(zhàn)斗，對柯西刺激很大．內(nèi)閣通過了公職人員必須宣誓效忠新國王的法令，而保王黨人(柯西也在其中)認為宣誓就是背叛．起義中發(fā)生的一些暴烈行為，使柯西憤慨．所有這些因素，促使柯西下定決心離開法國． 柯西先去瑞士的弗里堡，試圖籌建瑞士科學(xué)院，但未成功．1831年夏遷居都靈，10月在拉格朗日組建的都靈科學(xué)院露面．次年初撒丁國王特為柯西在都靈大學(xué)重設(shè)高級物理即相當(dāng)于數(shù)學(xué)物理的教席．在都靈期間，柯西主要從事教學(xué)工作． 1833年7月，柯西前往布拉格，擔(dān)任查理十世(路易十八之弟)之孫博爾多公爵(Le duc de Bordeaux)的宮廷教師，每天講授數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)．他盡心盡力，甚至重新編寫了算術(shù)與幾何教本．但王子對數(shù)學(xué)缺乏興趣，與柯西關(guān)系不甚融洽．1838年10月，公爵年屆18，教育告一段落，柯西在家人和朋友勸說下重返巴黎．查理十世授予他男爵封號，柯西對此十分看重． 宮廷教學(xué)使柯西研究進度放慢，他在布拉格以《數(shù)學(xué)新演習(xí)》(Nouveaux exercices de mathématiques)為題繼續(xù)出版他的《演習(xí)》，撰寫了關(guān)于光和微分方程的一些論文，以石印形式在小范圍內(nèi)流傳．回巴黎后，他首先去科學(xué)院，發(fā)表了關(guān)于光的研究成果． F．J．阿拉戈(Arago)于1836年創(chuàng)辦了《巴黎科學(xué)院通報》，(Comptes rendu Acad． Sci．Paris)，使院士們能迅速發(fā)表成果．柯西充分利用這個有利條件，幾乎每周在《通報》上發(fā)表一篇論文或注記。不到20年，他在《通報》上發(fā)表了589篇文章．他的多產(chǎn)使科學(xué)院不得不限制其他人送交論文的篇幅不得超過4頁．可是柯西還不滿足，1839年9月起又以《分析與數(shù)學(xué)物理演習(xí)》(Exer－cices d'analyse et de physique mathématique)為題繼續(xù)出版他的《演習(xí)》． 1839年7月，M．普魯內(nèi)(Prony)的去世使天文事務(wù)所(與法蘭西研究院齊名，事實上的天文科學(xué)院)出現(xiàn)一個空缺．柯西于11月當(dāng)選，但由于他拒絕向路易-菲力浦宣誓效忠而未獲任命書． 回巴黎后，柯西同耶穌會士一起，參與創(chuàng)建天主教學(xué)院，熱衷于宣傳天主教．這使他與一些同事關(guān)系尷尬． 1843年5月，柯西競選由于S．F．拉克魯瓦(Lacroix)逝世而空缺的法蘭西學(xué)院數(shù)學(xué)教席，但得票極少，敗于G．利布里(Libri)．年底在天文事務(wù)所新的幾何學(xué)部委員選舉中，他又敗于他的對手普安索．這兩次失利對他是沉重的打擊．他開始離群索居，但仍勤奮工作． 1848年2月革命后，宣誓不再成為任命的障礙．1849年3月，柯西被委任為巴黎理學(xué)院數(shù)學(xué)天文學(xué)教授． 1850年6月，利布里被缺席判處10年徒刑，法蘭西學(xué)院又出現(xiàn)空缺教席．柯西再次競選，敗于J．劉維爾(Liouville)． 1851年12月政變后，新政權(quán)要求公職人員宣誓效忠．柯西仍不妥協(xié)，致使他在理學(xué)院的教學(xué)工作停止一年多．1853年，拿破侖三世同意柯西可以例外，使他得以重登理學(xué)院講壇，直至去世． 1848年后，他的發(fā)表節(jié)奏放慢，1853年停止出版《演習(xí)》；但繼續(xù)審讀論文，并從事宗教活動． 1857年5月12日，柯西患重感冒，21日病情突然惡化，次日與世長辭，享年68歲． 除巴黎科學(xué)院外，柯西還是18個科學(xué)院或著名學(xué)術(shù)團體的成員，其中有英國皇家學(xué)會、柏林科學(xué)院、彼得堡科學(xué)院、愛丁堡皇家學(xué)會、斯德哥爾摩科學(xué)院、哥本哈根皇家科學(xué)學(xué)會、格丁根皇家科學(xué)學(xué)會、波士頓科學(xué)院等． 數(shù)學(xué)分析嚴格化的開拓者 分析嚴格化的需要 18世紀的分析學(xué)家致力于創(chuàng)造強有力的方法并把它們付諸應(yīng)用，分析中的一些基本概念，則缺乏恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)一的定義．由于沒有公認的級數(shù)收斂概念，導(dǎo)致了許多所謂“悖論”，其實只是由于概念含混而出現(xiàn)的錯誤．?dāng)?shù)學(xué)家逐漸認識到，分析基本原理的嚴格檢驗，不能依賴于物理或幾何，只能依靠它自身．當(dāng)時的法國——歐洲數(shù)學(xué)中心的數(shù)學(xué)家們集中在幾個大學(xué)教書．教學(xué)和寫作教材特別要求澄清基本概念，闡明基本原理． 已有一些數(shù)學(xué)家對當(dāng)時分析的狀況不滿．C．F．高斯(Gauss)批評J．L．達朗貝爾(d'Alembert)關(guān)于代數(shù)基本定理的證明不夠嚴格，還說數(shù)學(xué)家們“未能正確處置無窮級數(shù)”．N．H．阿貝爾(Abel)說得更加明確：“人們在今天的分析中無可爭辯地發(fā)現(xiàn)了多得驚人的含混之處……．最糟糕的是它還沒有得到嚴格處理．高等分析中只有少數(shù)命題得到完全嚴格的證明．人們到處發(fā)現(xiàn)從特殊到一般的令人遺憾的推理方式．”(Oeuvres，2，pp．263—265．) 正是柯西，懷著嚴格化的明確目標，在前述4個教材中為數(shù)學(xué)分析建立了一個基本嚴謹?shù)耐暾w系．在《分析教程》前言中，他說：“至于方法，我力圖賦予……幾何學(xué)中存在的嚴格性，決不求助于從代數(shù)一般性導(dǎo)出的推理，這種推理……只能認為是一種推斷，有時還適用于提示真理，但與數(shù)學(xué)科學(xué)的令人嘆服的嚴謹性很不相符．”他說他通過分析公式成立的條件和規(guī)定所用記號的意義，“消除了所有不確定性”，并說：“我的主要目標是使嚴謹性(這是我在《分析教程》中為自己制定的準繩)與基于無窮小的直接考慮所得到的簡單性和諧一致．” 極限與無窮小 柯西規(guī)定：“當(dāng)一個變量相繼取的值無限接近于一個固定值，最終與此固定值之差要多小就有多小時，該值就稱為所有其他值的極限．”“當(dāng)同一變量相繼取的數(shù)值無限減小以至降到低于任何給定的數(shù)，這個變量就成為人們所稱的無窮小或無窮小量．這類變量以零為其極限，”“當(dāng)同一變量相繼取的數(shù)值越來越增加以至升到高于每個給定的數(shù)，如果它是正變量，則稱它以正無窮為其極限，記作∞；如果是負變量，則稱它以負無窮為其極限，記作-∞．”［2］從字面上看，柯西的定義與在此以前達朗貝爾、拉克魯瓦所給的定義差別不大，但實際上有巨大改進． 個數(shù)”開始，寫出一系列不等式來最終完成證明．在討論復(fù)雜表示式的極限時，他用了ε-δ論證法的雛型．由于有明確的把極限轉(zhuǎn)述為不等式的想法，他就能從定義出發(fā)證明關(guān)于極限的一些較難命題． 其次，他首次放棄了過去定義中常有的“一個變量決不會超過它的極限”這類不必要的提法，也不提過去定義中常涉及的一個變量是否“達到”它的極限，而把重點放在變量具有極限時的性態(tài)． 最后，他以極限為基礎(chǔ)定義無窮小和微積分學(xué)中的基本概念，建立了級數(shù)收斂性的一般理論． 函數(shù)及其連續(xù)性 柯西以接近于現(xiàn)代的方式定義單元函數(shù)：“當(dāng)一些變量以這樣的方式相聯(lián)系，即當(dāng)其中之一給定時，能推知所有其他變量的值，則通常就認為這些變量由前一變量表示，此變量取名為自變量，而其余由自變量表示的變量，就是通常所說的該自變量的一些函數(shù)．” 他以類似方式定義多元函數(shù)，并區(qū)別了顯函數(shù)和隱函數(shù)，用他建立的微分方程解的存在性定理在較強條件下證明了隱函數(shù)的局部存在性． 柯西給出了連續(xù)的嚴格定義：“函數(shù)f(x)是處于兩個指定界限之間的變量x的連續(xù)函數(shù)，如果對這兩個界限之間的每個值x，差f(x+a)-f(x)的數(shù)值隨著a無限減小．換言之，……變量的無窮小增量總導(dǎo)致函數(shù)本身的無窮小增量．” 在一個附錄中，他給出了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值性質(zhì)的嚴格證明，其中用到了“區(qū)間套”思想． 在柯西之前，B．波爾查諾(Bolzano)于1817年給出連續(xù)的定義，并利用上確界證明了介值定理．但他的工作在很長時間內(nèi)未引起人們的注意．有人認為柯西讀到了波爾查諾的著作，采用了他的思想，但故意不加聲明．這種看法缺乏佐證材料． 微分學(xué) 柯西按照前人方式用差商的極限定義導(dǎo)數(shù)，但在定義中多了一句：“當(dāng)這個極限存在時，……用加撇符號y′或f′(x)表示．” 這表明他已用嶄新的方式考慮問題．他把導(dǎo)數(shù)定義轉(zhuǎn)述為不等式，由此證明有關(guān)的各種定理．例如他給出了用不等式陳述的微分中值定理，首次給出了ε-δ式(所用符號也是ε，δ)的證明，由此推出拉格朗日中值定理．他還得到了“柯西中值定理” 柯西關(guān)于微分的一種定義也富有獨創(chuàng)性．他稱f(x)的微分是“當(dāng)變量α無限趨于零而量h保持不變時方程 的左端所收斂的極限”． 柯西以割線的極限位置定義切線，用中值定理證明極值點處切線的水平性．他證明了f′(x0)=…=f(n-1)(x0)=0時用f(n)(x0)的符號判斷極大、極小的命題．他由自己的中值定理推導(dǎo)出洛必達法則．這樣，他就為微分學(xué)的應(yīng)用奠定了嚴格的理論基礎(chǔ)． 積分學(xué) 18世紀絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家摒棄G．W．萊布尼茨(Leibniz)關(guān)于積分是無窮小量的無窮和的說法，只把積分看作微分之逆．柯西則不同，他假定函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0，X]上連續(xù)，用分點x1，x2，…，xn-1把該區(qū)間劃分為n個不必相同的部分，作和 S=(x1-x0)f(x0)+(x2-x1)f(x1) +…+(X-xn-1)f(xn-1)， 并證明(實際上隱含地用了“一致連續(xù)性”)“當(dāng)各個部分長度變得非常小而數(shù)n非常大時，分法對S的值只產(chǎn)生微乎其微的影響”，因而當(dāng)各個部分長度無限減小時 S具有極限，它“只依賴于f(x)的形式和變量x的端值x0，X0．這個極限就是我們所說的定積分．” 這樣，他既給出了連續(xù)函數(shù)定積分的定義，又證明了它的存在性．他還指出這種定義對于不能把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的一般情形也適用．他給出了現(xiàn)在通用的廣義積分的定義． 柯西簡潔而嚴格地證明了微積分學(xué)基本定理即牛頓-萊布尼茨公式．他利用定積分嚴格證明了帶余項的泰勒公式，還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積，推導(dǎo)了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式． 柯西的定義是從僅把積分看作微分逆運算走向現(xiàn)代積分理論的轉(zhuǎn)折點，他堅持先證明存在性則是從依賴直覺到嚴格分析的轉(zhuǎn)折點． 級數(shù)論 柯西是第一個認識到無窮級數(shù)論并非多項式理論的平凡推廣而應(yīng)當(dāng)以極限為基礎(chǔ)建立其完整理論的數(shù)學(xué)家．他以部分和有極限定義級數(shù)收斂并以此極限定義收斂級數(shù)之和．18世紀中許多數(shù)學(xué)家都隱約地使用過這種定義，柯西則明確地陳述這一定義，并以此為基礎(chǔ)比較嚴格地建立了完整的級數(shù)論．他給出所謂“柯西準則”，證明了必要性，并以理所當(dāng)然的口氣斷定充分性．對于正項級數(shù)，他嚴格證明了比率判別法和他創(chuàng)造的根式判別法；指出∑un與∑2nu2n同時收斂或發(fā)散，由此推出一些 ukun-k)對于一般項級數(shù)，他引進了絕對收斂概念，指出絕對收斂級數(shù)必收 對于冪級數(shù)，柯西得到了收斂半徑公式 [后來J．阿達瑪(Hadam 一個函數(shù)可為它的泰勒級數(shù)代替只當(dāng)后者收斂且其和等于所給函數(shù)(文獻［1］，(2)2，pp．276—282)． 影響 在柯西手里，微積分構(gòu)成了由定義、定理及其證明和有關(guān)的各種應(yīng)用組成的邏輯上緊密聯(lián)系的體系．他的分析教程成為嚴格分析誕生的起點．無怪乎阿貝爾在1826年說，柯西的書應(yīng)當(dāng)為“每一個在數(shù)學(xué)研究中熱愛嚴謹性的分析學(xué)家研讀”．柯西的級數(shù)論對拉普拉斯的觸動是眾所周知的：后者讀了柯西的論文后，趕快逐一檢查他在《天體力學(xué)》中所用的級數(shù)．柯西對P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、G．F．B．黎曼(Riemann)和K．魏爾斯特拉斯(Weierstrass)都有直接影響． 缺陷 柯西沒有系統(tǒng)使用ε-δ方法，通常更多依賴“充分接近”、“要多小就有多小”這類比較模糊的語言，未能區(qū)別逐點收斂與一致收斂(但晚年時已有所覺察)、逐點連續(xù)與一致連續(xù)，有時不能恰當(dāng)處理累次極限，因而出現(xiàn)了一些錯誤的斷言及“證明”．例如：連續(xù)函數(shù)項收斂級數(shù)具有連續(xù)和并可逐項積分；多元函數(shù)對每個自變量分別連續(xù)則整體連續(xù)；函數(shù)f(x，y)在過點(x0、y0)的每條直線上取到極大值則它在該點取到極大值． 柯西在證明一些定理時，實際上用了實數(shù)系的完備性，例如有界單調(diào)數(shù)列必收斂，但就像在談到收斂準則充分性時那樣，他認為這些都是不言自明的，未能意識到建立實數(shù)理論的必要性． 總之，柯西在分析的嚴格化方面做出了卓越貢獻，但尚未完成分析的算術(shù)化． 復(fù)變函數(shù)論的奠基人 19世紀，復(fù)變函數(shù)論逐漸成為數(shù)學(xué)的一個獨立分支，柯西為此作了奠基性的工作． 復(fù)函數(shù)與復(fù)冪級數(shù) 《分析教程》中有一半以上篇幅討論復(fù)數(shù)與初等復(fù)函數(shù)，這表明柯西早就把建立復(fù)變函數(shù)論作為分析的一項重要工程．他以形式方法引進復(fù)數(shù)(“虛表示式”)，定義其基本運算，得到這些運算的性質(zhì)．他比照實的情形定義復(fù)無窮小與復(fù)函數(shù)的連續(xù)性． 柯西利用實級數(shù)定義復(fù)值級數(shù)的收斂性并證明了一些收斂判別 “按虛表示式z的模小于或大于R而收斂或發(fā)散”．他把1/R刻畫為“當(dāng)n無限增加時an的數(shù)值的n次根所收 指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，并討論了對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)的多值性．他利用函數(shù)方程求出了復(fù)二項級數(shù)之和． 在很長時間中，柯西堅持對復(fù)數(shù)的形式看法．1847年，他提出用同余等價觀念看待復(fù)數(shù)，把復(fù)數(shù)的運算解釋為模i2＋1的運算，而把i看作“一個實在但不定的量”(文獻[1]，(1)10)．到了晚年，他采納了復(fù)數(shù)的幾何表示(文獻[1]，(1)11)． 復(fù)積分 柯西寫于1814年的關(guān)于定積分的論文(發(fā)表于 1827年)是他創(chuàng)立復(fù)變函數(shù)論的第一步．他在文中批評歐拉、拉普拉斯、泊松和勒讓德都用了“基于實過渡到虛的歸納法，……這類方法，即使在使用時十分謹慎，多方限制，仍然使證明顯得欠缺”．他宣布自己的目標是“用直接的嚴格的分析方法建立從實到虛的移植”．文中給出了所謂柯西-黎曼方程(實際上達朗貝爾于1752年，歐拉于1776年即已寫出這個方程組；柯西于1841年得到了這個方程組的極坐標形式)；討論了改變二重積分的次序問題，提出了被積函數(shù)有無窮型間斷點時主值積分的觀念并計算了許多廣義積分． 柯西寫于1825年的關(guān)于積分限為虛數(shù)的定積分的論文，是一篇力作．奇怪的是他本人似乎沒有充分看出此文的價值，生前一直未發(fā)表．文 當(dāng)x保持介于界限a與c之間，y保持介于界限b與d之間時為有限且連續(xù)，……我們能容易地證明上述積分的值即虛表示式 A＋iB不依賴于函 的“柯西積分定理”．柯西本人用變分方法證明了這條定理，證明中曲線連續(xù)變形的思想，可以說是“同倫”觀念的萌芽．文中還討論了被積函數(shù)出現(xiàn)一階與m階極點時廣義積分的計算． 應(yīng)當(dāng)指出，高斯于1811年致F．W．貝塞爾(Bessel)的一封信中已表述了積分定理，稱它為“一條非常美妙的定理”，說他“將在適當(dāng)時候給出它的一個不難的證明”，但他一直沒有發(fā)表． 柯西于1831年得到關(guān)于圓的積分公式 由此證明復(fù)函數(shù)可局部展開為冪級數(shù)，并在實際上指明了后者的收斂半徑是原點到所給函數(shù)最近極點之間的距離(文獻［1］，(2)12， pp． 60—61)．他還得到了所得冪級數(shù)通項和余項的估計式，后來發(fā)展為他獨創(chuàng)的“強函數(shù)法”． 殘數(shù)演算 術(shù)語“殘數(shù)”首次出現(xiàn)于柯西在1826年寫的一篇論文中(文獻[1]，(2)15)．他認為殘數(shù)演算已成為“一種類似于微積分的新型計算方法”，可以應(yīng)用于大量問題，“例如……直接推出拉格朗日插值公式，等根或不等根情形下分解有理函數(shù)，適合于確定定積分值的各種公式，大批級數(shù)尤其是周期級數(shù)的求和．具有有限或無限小差分和常系數(shù)、末項帶或不帶變量的線性方程的積分，拉格朗日級數(shù)或其他類似級數(shù)，代數(shù)或超越方程的解，等等．” 他給出了m階極點x1處的殘數(shù)公式 他先后得到關(guān)于矩形、圓和一般平面區(qū)域的殘數(shù)定理 ∫f(z)dz=2πiEf(z)， 其中E表示“提取殘數(shù)”即求f(z)在區(qū)域內(nèi)所有極點處殘數(shù)之和．他還詳細討論了極點位于矩形邊界時如何適當(dāng)修正系數(shù)2πi(文獻[1]，(2)6，pp．124—145)． 1843年，柯西向科學(xué)院遞交了很多短論，表明殘數(shù)演算可用于橢圓函數(shù)論．次年劉維爾發(fā)表了有界雙周期函數(shù)恒等于一常數(shù)的定理后，柯西立即指出它可以從殘數(shù)理論推出并可推廣到一般情形．1855年，他證明了 其中Z(z)是在區(qū)域S中只有孤立極點的函數(shù)，積分沿S的邊界，N，P分別為Z(z)在S中零點和極點的個數(shù)(文獻[1]，(1)12，pp．285—292)．他對殘數(shù)演算的興趣終生不減，去世前三月還發(fā)表題為《殘數(shù)新理論》(Théorie nouvelle des residues，見文獻［1］，(1)12)的論文．殘數(shù)演算很快引起了同時代數(shù)學(xué)家的注意，越出了法國國界．1834與1837年在意大利和英國分別出現(xiàn)了有關(guān)的綜述．M．P．H．洛朗(Laurent)于1865年出版了專著《殘數(shù)理論》(Théorie des residues)．俄國第一篇關(guān)于復(fù)變函數(shù)的論文是Ю．索霍茨基(Сохоцкий)1868年發(fā)表的關(guān)于殘數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)位論文． 復(fù)變函數(shù)論的建立 柯西對復(fù)變函數(shù)的研究也有不足．首先，對于這一理論的對象，他一直未能明確界定，實際上未能明確建立作為復(fù)可微性的解析性概念．其次，他沒有區(qū)分孤立奇點的不同類型，只注意了極點．最后，他沒有區(qū)別極點和分支點，未能認識多值函數(shù)的本質(zhì)．在法國，洛朗、劉維爾、V．皮瑟(Puiseux)和C．埃爾米特(Her－mite)緊接著進行了許多研究．C．A．布里奧(Briot)和J－C．布凱(Bouquet)于1859年出版了《雙周期函數(shù)論》(Théorie desfonctions doublement périodiques et，en particulier，des fonc－tions elliptiques)，闡明了柯西理論的對象，系統(tǒng)闡述了復(fù)變函數(shù)論，對于把柯西的觀念傳播到全歐洲起了決定性作用，標志著單復(fù)變函數(shù)論正式形成． J．H．龐加萊(Poincaré)在談?wù)搹?fù)變函數(shù)論的四位奠基人——高斯、柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯時說：“柯西早于后兩位，并為他們指明了道路．” E．皮卡(Picard)在比較高斯與柯西對這一領(lǐng)域的貢獻時說：“人們不大可能認為高斯沒有抓住高度重要的事物；然而，忠于他的‘少而精’的格言，他無疑一直在等待以使他的作品更加成熟，而柯西這時卻公布了自己的發(fā)現(xiàn)．因而應(yīng)當(dāng)把柯西看作這一開辟了遠大前程的理論的真正奠基人．” 彈性力學(xué)理論基礎(chǔ)的建立者 柯西之前的研究 18世紀，理性力學(xué)迅速發(fā)展，成為微積分學(xué)應(yīng)用的一個特殊領(lǐng)域． 1788年，拉格朗日的《分析力學(xué)》(Mécanique analytique)出版．書中不借助幾何圖形，只從虛位移原理出發(fā)推導(dǎo)出全部質(zhì)點系力學(xué)．W．R．哈密頓(Hamilton)曾說這本書是“科學(xué)詩篇”．在 1811年的增訂第 2版中，拉格朗日通過把固體或流體看成無窮多個質(zhì)點組成的系統(tǒng)，進一步研究了連續(xù)固體和流體力學(xué)．在此之前，歐拉已建立了流體力學(xué)基本方程組．但在當(dāng)時，固體力學(xué)還局限于不可變形的物體． 19世紀初，數(shù)學(xué)家們開始研究彈性面的平衡和運動．S．熱爾曼(Germain)和泊松于1815年各自獨立地得到了各向同性的可撓彈性表面的方程．稍后，C．L．M．H．納維爾(Navier)于1820年向科學(xué)院遞交了引人注目的論文，應(yīng)用拉格朗日和J．B．J．傅里葉(Fourier)的分析方法，研究有負載的彈性板在不忽略其厚度時的微小變形．但他把由伸縮引起的彈性力與由彎曲引起的力完全分開，假定前者總沿它所作用的截面的法向，而這在一般情況下是不成立的．他于1821年寫的論文，使用了分子模型，是彈性論中極富創(chuàng)造性的研究，但此文直到1827年才發(fā)表． 當(dāng)時應(yīng)力和應(yīng)變概念尚未建立，其特性更未得到數(shù)量刻畫．由于未能把應(yīng)力表示為變形的函數(shù)，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本方程難于應(yīng)用到彈性體上。柯西于1822—1830年間發(fā)表的一系列論文，使用連續(xù)物質(zhì)和應(yīng)力-應(yīng)變模型，成功地解決了這些問題． 應(yīng)力柯西把應(yīng)力規(guī)定為由外力和物體變形等因素引起的物體內(nèi)部單位面積截面上的內(nèi)力．他認為，對物體內(nèi)任一閉曲面S，在研究S的外部對內(nèi)部的作用時，可以忽略物體各部分的相互體力，等價地用定義在S上的應(yīng)力場來代替．這可使計算大為簡化，并為實驗證實．由于歐拉已有類似想法，所以現(xiàn)代稱它為歐拉-柯西應(yīng)力原理． 對于物體中任一點P，柯西通過點P處三個分別平行于坐標面的截面上的應(yīng)力來描述該點處任一截面上的應(yīng)力．分射以σ，σxy，σxz(σyx，σyy，σyz；σzx，σzy，σzz)表示點P處平行于yz(zx，xy)坐標面的截面上的應(yīng)力的x，y，z分量，柯西得到點P處法向量方向余弦為vx，vy，vz的截面上應(yīng)力σvy的分量為 σvx=vxσxx＋vyσyx+vzσzx， σvy=vxσxy＋vyσyy＋vzσzy， σvz=vxσxz＋vyσyz＋vzσzz， 現(xiàn)稱為柯西斜面應(yīng)力公式．由于σxy=σyx，σyz=σzy，σxz=σzx，9個量σxx，…，σzz中只有6個是獨立的．用現(xiàn)代語言，這9個量構(gòu)成一個2階對稱張量——應(yīng)力張量．σvy沿截面法向的分量為 在點P取所有可能的截面，沿法向取長度為σvn的向徑，則其端點構(gòu)成一個二次曲面，現(xiàn)稱為柯西應(yīng)力二次曲面．在以此二次曲面三個互相垂直的軸為法向的截面上，應(yīng)力垂直于截面．這就是柯西引入的主應(yīng)力．以這3個軸作為坐標軸，應(yīng)力矩陣成為對角矩陣．于是，求一點處的應(yīng)力狀態(tài)歸結(jié)為求3個主應(yīng)力． 應(yīng)變與幾何方程 柯西把應(yīng)變規(guī)定為在外力作用下物體局部的相對變形．對于微小變形，他用類似于研究應(yīng)力的方法研究一點處的應(yīng)變狀態(tài)，指出它可用6個分量εxx，εyy，εzz，εxy，εyz，εzx描繪，現(xiàn)稱為柯西應(yīng)變張量或小應(yīng)變張量．設(shè)ξ，η，ρ分別為x，y，z方向的位移分量，他用略去高階無窮小的方法得到反映應(yīng)變與位移之間關(guān)系的幾何方程 對于應(yīng)變，同樣可構(gòu)造應(yīng)變二次曲面，建立主應(yīng)變概念． 應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系 對于微小變形，柯西假定主應(yīng)力分別沿主應(yīng)變方向．起初他考慮各向同性情形，此時3個主應(yīng)力與主應(yīng)變成等比例，由此得到用ε線性表示σ或用σ線性表示ε的公式，其中有兩個常數(shù)．后來他進而研究各向異性情形，此時用ε線性表示σ的公式中有34=81個分量即81個彈性常數(shù)．由對稱性，他推出其中只有36個是獨立的(文獻[1]，(2)9，pp． 342—372)．這些公式是胡克定律的推廣，現(xiàn)在通稱為廣義胡克定律． 彈性體運動和平衡方程 在1828年關(guān)于彈性體與非彈性體內(nèi)部運動和平衡的論文中，對各向同性物體內(nèi)任何一點，柯西得到 度，他還寫出了非各向同性的彈性體的運動和平衡方程． 總之，柯西確定了應(yīng)力和應(yīng)力分量、應(yīng)變和應(yīng)變分量概念，建立了彈性力學(xué)的幾何方程、運動和平衡方程、各向同性及各向異性材料的廣義胡克規(guī)律，從而奠定了彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)，成為19世紀繼拉普拉斯之后法國數(shù)學(xué)物理學(xué)派最杰出的代表． 多產(chǎn)的科學(xué)家 柯西全集 柯西是僅次于歐拉的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家，發(fā)表論文800篇以上，其中純數(shù)學(xué)約占65％，幾乎涉及當(dāng)時所有數(shù)學(xué)分支；數(shù)學(xué)物理(力學(xué)、光學(xué)、天文學(xué))約占35％．1882年起，巴黎科學(xué)院開始出版《柯西全集》，把他的論文按所登載的期刊分類，同一種期刊上的則按發(fā)表時間順序排列． 《全集》凡27卷，分兩個系列．第一系列共12卷，發(fā)行于1882—1911年，包括發(fā)表于巴黎科學(xué)院刊物上的論文．第二系列共15卷．第1，2兩卷是發(fā)表于其他科學(xué)期刊上的論文；第3，4，5卷是他寫的教材；第6至14卷是他個人出版的刊物——51期《數(shù)學(xué)演習(xí)》， 5期《分析概要》(Resumés analytiques)， 8期《數(shù)學(xué)新演習(xí)》和48期《分析和數(shù)學(xué)物理演習(xí)》．第15卷于1974年問世，主要包含他以小冊子或石印形式發(fā)表的著作． 《全集》中有8篇文章談及教育、犯罪和宗教信仰問題；其他非科學(xué)著作未收入《全集》．柯西1824年在綜合工科學(xué)校講授第二學(xué)年分析的講義已由C．吉蘭(Gilain)編輯出版．他的大部分手稿和信件存放于巴黎科學(xué)院檔案館． 在柯西生前和身后，不斷有人批評他發(fā)表過多；事實上他也確實發(fā)表了一些價值很小或內(nèi)容重復(fù)的文章，然而他的絕大多數(shù)論著都顯示了一位多才多藝的學(xué)者對科學(xué)的卓越貢獻．下面介紹他在前述三個領(lǐng)域外的主要工作． 常微分方程柯西在歷史上首次研究了常微分方程解的局部性態(tài)．給定微分方程y′=f(x，y)及初始條件y(x0)=y0，在f連續(xù)可微的假定下，他用類似于歐拉折線的方法構(gòu)造逼近解，利用微分中值定理估計逼近解之間差的上界，嚴格證明了在以x0為中心的一個小區(qū)間上逼近解收斂，其極限函數(shù)即為所提問題的解．他指出這個方法也適用于常微分方程組．柯西還給出了具有非唯一解的初值問題的例子，表明他已洞察到微分方程論的本質(zhì)． 柯西的另一貢獻是他所稱的“界限演算”即現(xiàn)在通稱的“強函數(shù)法”或“強級數(shù)法”．他指出，對以前所用的微分方程積分法，“只要人們不提供保證所得級數(shù)收斂且其和是滿足給定方程的函數(shù)的手段，就往往是虛幻的”．在研究f(x，y)在點(x0，y0)的鄰域內(nèi)可展開為冪級數(shù)的微分方程y′=f(x，y)時，他用y′=F(x，y)與之比較，其中F滿足：如果 f(x，y)=∑ckj(x-x0)k(y-y0)j， F(x，y)=∑Ckj(x-x0)k(y-y0)j， 則對一切k，j有|ckj|≤Ckj．他證明，如果y′=F(x，y)在x0的鄰域內(nèi)有可展開為冪級數(shù)的解，則y′=f(x，y)在該鄰域內(nèi)也有可展開為冪級數(shù)的解；他并且給出了選取強函數(shù)的一般方法(文獻［1］，(1)2，6，7)． 得到 其中C是任一包圍F所有零點的圍道，φ是任一多項式(文獻[1]，(1)4，p．370)． n維向量，A是給定的n階矩陣)，他引進S(s)=det(A-sI)(I是單位矩陣)，得到所給方程組在初始條件x(0)=α下的解(文獻［1］，(1)5，6)． 偏微分方程 柯西與J．F．普法夫(Pfaff)同時(1819年)發(fā)現(xiàn)了一階偏微分 PP．399—465)． 柯西把傅里葉變換應(yīng)用于他在研究流體力學(xué)、彈性論和光學(xué)中遇到的常系數(shù)線性偏微分方程．他在 1815年的論文中已正確寫出了傅里葉變換的反演公式(傅里葉于1807和1811年已得到這些公式，但直到1824至1826年才發(fā)表)．他還引進了積分號下的收斂因子和奇異因子(相當(dāng)于δ函數(shù))．在大量使用傅里葉變換方面，柯西超過了泊松以至傅里葉本人． 1821年后，柯西考慮了寫成算子形式的線性偏微分方程 其中F是n＋1元多項式．他發(fā)現(xiàn)，對于滿足F(w1，…，wn，s) 這類指數(shù)形式的解迭加，以便用傅里葉變換得到通解．對于波動方程，這就是平面諧波的迭加．當(dāng)給定初始條件 時，他得到了寫為圍道積分形式的解(文獻［1］，(2)1，2)． 柯西于1842年考慮了一階線性偏微分方程組的初值問題： 線性的，wk在該鄰域內(nèi)也解析，則所給問題存在唯一解，并可展開為局部收斂的冪級數(shù)(文獻［1］，(1)6，pp．461—470)．后來C．B．科瓦列夫斯卡婭(Ковалевская)于1875年重新發(fā)現(xiàn)和證明了這個結(jié)果． 群論 E．伽羅瓦(Galois)使代數(shù)研究的性質(zhì)起了根本的變化，而柯西是伽羅瓦的先驅(qū)者之一．他在 1812年關(guān)于對稱函數(shù)的論文中證明，n元有理函數(shù)能取的不同值的數(shù)目，或者不大于2，或者不小于包含于n中的最大素數(shù)p． 柯西與拉格朗日、P．魯菲尼(Ruffini)同為最早研究代換群的數(shù)學(xué)家．柯西定義了代換之積，引進單位代換、逆代換、相似代換、代換的階以及共軛代換系等概念，證明P與Q相似當(dāng)且僅當(dāng)存在代換 R滿足Q=P-1RP；任一代換群的階可被群中任一代換的階整除；n個變量的代換構(gòu)成的任何群的階是n！的—個因子(此點其實已為拉格朗日證明)；當(dāng)n＞4時，n個變量的一切代換構(gòu)成的群Sn的子群H在Sn中的指數(shù)或者是2，或者至少是n；如果素數(shù)p整除一有限群的階，則在群中存在p階元．刊載這些結(jié)果的論文發(fā)表于1845—1846年(文獻［1］，(1)9，10及文獻[13])，當(dāng)時即得到廣泛傳播，對群論的發(fā)展有相當(dāng)大的影響． 行列式 萊布尼茨、拉格朗日、拉普拉斯等人都研究過行列式．在19世紀，很大程度上是柯西使它得到持續(xù)發(fā)展．事實上，détermi－nant(行列式)這個術(shù)語就是他引入的．與現(xiàn)在通常的做法不同，柯西于1812年從n個元或數(shù)a1，…，an出發(fā)，作所有不同元之差的積a1a2…an(a2-a1)(a3-a1)…(an-a1)…(an-a2)…(an-an-1)；對于這個積中各項所 把這樣改寫后得到的表示式定義為一個行列式，記作S(±a1·1a2·2…an·n)．然后他把所得式中n2個量排成正方形表 a1·1 a1·2… a1·n a2·1 a2·2…a2·n …… an·1an·2…an·n 稱這n2個量構(gòu)成一個“n階對稱系”，并用循環(huán)代換給出確定各項符號的法則．他引進共軛元、主元等概念，導(dǎo)出行列式的許多性質(zhì)．他還把行列式用于幾何與物理問題，例如求平行六面體體積．在與波有關(guān)的問 列式． 數(shù)論 柯西在數(shù)論中也得出不少結(jié)果或給出一些已有結(jié)論的新證明．1813年，他給出P．de費馬(Fermat)關(guān)于每個正整數(shù)是m個m角數(shù)之和這一論斷的第一個證明；他還得到，除4個數(shù)外，所有其余的m角數(shù)均可取0或1(文獻［1］，(2)6，pp．320—353)．1840年，他證明若p是形如 4l＋ 3的素數(shù)， A是p的二次剩余， B是p的二次 其中 B為伯努利數(shù)(文獻[1]，(1)3，p．172)．他還得到，如果 余的數(shù)目，則 其中 a，b大于0小于n且(a/n)=1，(b/n)=-1．對n=4l＋1也有類似公式．他由此得到，對n=4l＋3， 其中h(-n)是真本原類的個數(shù)．該式稱為柯西類數(shù)公式(文獻[1]，(1)3，p．388)． 解析幾何 柯西有效地應(yīng)用了直線和平面的法式方程，給出了空間直線方程的參數(shù)形式 他研究了二次曲面的分類，完整地討論了徑面和中心問題，完善了歐拉、蒙日和J．N．P．阿歇特(Hachette)的有關(guān)工作．他在本質(zhì)上給出了現(xiàn)在教科書上通用的由標準型二次項系數(shù)的符號來分類的結(jié)果．他還研究了單葉雙曲面的母線(文獻［1］，(2)5，8)． 微分幾何 歐拉給出了空間曲線的弧微分公式，柯西進一步用弧長作為參數(shù)，使x，y，z的作用對稱化．他定義了位于密切平面上的主法線，指出其 于1847年，J．A．塞雷(Serret)于1850年獨立于柯西給出了通稱的弗雷內(nèi)-塞雷公式． 柯西證明曲面上通過某點的所有曲線在該點的切線位于同一平面上，此即切平面．設(shè)曲面方程為u(x，y，z)=0，他寫出點(x，y，z)處的切平面方程為 誤差論 拉普拉斯研究了如何使n個觀察數(shù)據(jù)(xk，yk)(k=1，2，…，n)擬合于直線 y=ax+b．柯西在拉普拉斯建議下用類似方法研究了三維數(shù)據(jù)擬合 z=ax＋by＋c的問題(文獻［1］，(2)1，2)，他提出使一組觀察數(shù)據(jù)擬合于多項式 u=ax＋by＋cz＋…，其中項數(shù)依賴于擬合的優(yōu)度，在計算過程中確定．他假定誤差εk=uk-axk-byk-czk-…具有概率密度f，并采用了一些不大可靠的假設(shè)，結(jié)果得出一個著名的概率密度：若f滿足他所作的假設(shè)，則它具有傅里葉變換φ(ξ)=eαξN，α，N為常數(shù)．當(dāng)N=1時，就得到通稱的柯西概率密度 (文獻[1]，(1)2，pp．5—17)． 數(shù)值分析 象許多同時代數(shù)學(xué)家一樣，柯西也熱衷于數(shù)值逼近．他計算e到小數(shù)點后7位，并估計了取e的級數(shù)展開前n項時所產(chǎn)生的誤差．他描述了解方程的迭代方法，并在具體例子中給出誤差估計．對于微分方程和差分方程，他也給出了許多近似解的誤差估計．他首次表述了牛頓求方程根的方法在何種條件下收斂，并借助現(xiàn)稱的柯西-施瓦茲不等式推廣到復(fù)函數(shù)情形，給出了數(shù)值例子．他把拉格朗日插值公式推廣到有理函數(shù)，并得到了與高斯、埃爾米特所得結(jié)果類似的三角插值公式(文獻［1］，(1)5，(2)3)． 光學(xué) 柯西在兩個方面改進了A．J．菲涅爾(Fresnel)的理論．第一，他從以太-分子作用的更一般的理論出發(fā)，預(yù)言了3條偏振光線的傳播，而菲涅爾認為只有2條．第二，柯西指出菲涅爾關(guān)于光線中以太分子的振動垂直于偏振平面的看法不對，認為偏振平面平行于光線和以太振動的方向． 柯西還對光的反射和折射提出了自己的看法，并相當(dāng)成功地解釋了雙折射．他還試圖在分子基礎(chǔ)上解釋光速對波長的依賴問題．(文獻[1]，(1)2，4，5；(2)2．) 天體力學(xué) 柯西證明了天文學(xué)中出現(xiàn)的一些級數(shù)的收斂性并做了詳細的計算，特別對開普勒方程的解和攝動函數(shù)的展開進行了細致的討論，其中有現(xiàn)在天文學(xué)教材上仍提到的柯西系數(shù)．柯西關(guān)心U．J．J．勒威耶(Le Verrier)的工作，后者于1845年對智神星平均運動中的大不等式做了冗長的計算，柯西隨即用簡單得多的方法加以檢驗．他使用的工具是偏近點角到平近點角的過渡公式以及所謂“柯西混合法”，即在計算攝動函數(shù)的負冪時把數(shù)值積分與有理積分結(jié)合起來，并按平近點角展開攝動函數(shù)，對某項后的各項進行漸近估計．(文獻［1］，(1)5．) 復(fù)雜的人 從柯西卷帙浩大的論著和多方面豐碩的成果，人們不難想象他一生怎樣孜孜不倦地勤奮工作．但是，如果不了解柯西的另一些側(cè)面，對他的認識就會是不完整的． 忠誠的保王黨人 柯西屬于波旁有產(chǎn)階層，畢生忠于波旁王室．他于1808年加入圣會，該會成立于1801年，發(fā)展很快，逐漸由初創(chuàng)時的宗教團體演變?yōu)榫哂袕娏冶Ｍ觞h色彩的政治團體，在波旁王朝復(fù)辟時代舉足輕重，能左右政局． 如前所說，1830年革命后，柯西離開法國．他在1835年對此事作了如下解釋：“人們非常清楚地知道是什么事件使我正式放棄我在法國擁有的三個席位，只有何種莊嚴的召喚才能使我放棄撒丁國王屈尊授予我的數(shù)學(xué)物理教席．無庸置疑，我確信我能為路易十六近裔……的進展做出貢獻．”(文獻［1］，(2)10，pp．189—190．)這里的“事件”當(dāng)然指波旁王朝再次傾覆，而“莊嚴的召喚”當(dāng)指查理十世聘請他擔(dān)任其孫的宮廷教師．1852年5月，柯西為拒絕宣誓效忠拿破侖三世致信巴黎理學(xué)院院長，聲明他繼續(xù)忠于波旁王室． 具有諷刺意味的是，正是推翻了波旁王朝的法國大革命，為科學(xué)進步、也為柯西天才的發(fā)揮創(chuàng)造了十分有利的條件．革命后科學(xué)家和工程師享有的崇高榮譽，綜合工科學(xué)校的建立，以及許多科學(xué)機構(gòu)的積極活動，都是對年輕有為者從事科學(xué)工作的巨大吸引和鼓舞．另一方面，柯西在科學(xué)中的卓越貢獻，也是對社會革命的促進．情形多少有點像巴爾扎克：他也是保王黨人，但《人間喜劇》(La comédie humaine)描繪的卻正是貴族階級只配落得破產(chǎn)的命運． 熱心的天主教徒 柯西的父親從小對柯西進行宗教教育，因而柯西童年時即已熟讀《圣經(jīng)》．1816年后，柯西積極參加圣會的慈善活動，訪問醫(yī)院和監(jiān)獄，宣傳教義．1824年，他參與籌組天主教協(xié)會，為5名理事之一．他多次在科學(xué)院會議上頌揚宗教，司湯達爾(Stendhal)稱他為“法蘭西研究院中穿短袍的耶穌會士”．1839年，柯西參與創(chuàng)建天主教學(xué)院，1842年任該院秘書，熱心于院里的教學(xué)．1850年曾在《宗教之友》(L′Ami de La Religion)上發(fā)表兩封長信，對反耶穌會的人進行攻擊． 柯西的天主教宗教活動與保王黨政治態(tài)度是緊密相聯(lián)的．正如他自己所說：“天主教事務(wù)由正統(tǒng)派獨攬”，這里“正統(tǒng)派”就是擁戴波旁王室的政治派別． 落落寡合的學(xué)者 盡管柯西彬彬有禮，但與科學(xué)院中的同事關(guān)系冷淡．19世紀20年代的一篇文章這樣評論柯西：“他的呆板苛刻以及對剛踏上科學(xué)道路的年輕人的冷漠，使他成為最不可愛的科學(xué)家之一．” 科學(xué)界對復(fù)辟的王朝于1816年清洗卡諾和蒙日很反感，因為兩人都是受人尊敬的科學(xué)家．柯西卻毫不猶豫地接受了國王令他接任院士的任命．以柯西的才華和貢獻而不通過選舉成為院士，實在不是什么光榮． 柯西在科學(xué)院會議上宣揚宗教，加之他性格孤僻，很不欣賞具有自由派色彩的科學(xué)家如普安索和阿拉戈，就使他在會議中常處于孤立狀態(tài)．正如有人回憶的：“他的天主教狂熱和多疑的性格，使他在這樣的集會上與周圍的人很不協(xié)調(diào)，顯得怪誕．” 作為教師和導(dǎo)師的柯西 雖然柯西寫下了偉大的分析教本，但似乎算不上一位出色的教師，在綜合工科學(xué)校講授分析時，由于內(nèi)容過于抽象，曾多次受到校方和學(xué)生的批評．在都靈大學(xué)講課時，開始報名聽課的人很多，而其講課情形，據(jù)L．F．梅納勃勞(Menabrea)回憶說：“非?；靵y，突然從一個想法跳到另一個公式，也弄不清是怎么轉(zhuǎn)過去的．他的講授是一片烏云，但有時被天才的光輝照亮；對于青年學(xué)子，他令人厭倦．” J．貝特朗(Bertrand)曾這樣回憶柯西在巴黎理學(xué)院的講課：“應(yīng)當(dāng)承認，他的第一堂課使聽眾(他們都是優(yōu)秀學(xué)生)的期望落空，他們不是陶醉而是驚訝于他涉及的有點混亂的各式各樣的主題．” 不過，他在講課時所表現(xiàn)出的天才仍使不少人受益，包括后來成為優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的埃爾米特、皮瑟、布里奧、布凱和C．梅雷(Méray)． 當(dāng)時巴黎是歐洲數(shù)學(xué)中心，年輕學(xué)子從各地趕來，在巴黎理學(xué)院和法蘭西學(xué)院聽課，拜會久負盛名的科學(xué)泰斗．同時，法國本土也不斷產(chǎn)生年輕的天才．所有這些人都需要得到鼓勵和指導(dǎo)．柯西本人起步時也得到過拉格朗日、拉普拉斯和泊松的幫助，但他對后起之秀卻不甚熱心，有時甚至冷漠無情．在對待J．V．龐斯列(Poncelet)、阿貝爾和伽羅瓦的態(tài)度上，柯西為人的欠缺至為明顯． 龐斯列關(guān)于射影幾何的研究招致柯西嚴厲的批評，說它缺乏嚴格性．許多年后，龐斯列在回憶柯西于1820年6月的一天打發(fā)他走時，仍然充滿怨氣和辛酸，說從柯西那里“沒有得到任何指點，任何科學(xué)評價，也不可能獲得理解”．是不是由于龐斯列參加了1812年的遠征并在俄國被俘而導(dǎo)致作為保王黨人的柯西的反感，就不得而知了． 阿貝爾寫道，對于柯西，“沒法同他打交道，盡管他是當(dāng)今最懂得應(yīng)當(dāng)如何搞數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家．”“我已完成了一篇關(guān)于一類超越函數(shù)的大文章，……我把它給了柯西，但他幾乎沒有瞟一眼．” 這就是那篇在橢圓函數(shù)論中具有劃時代意義的論文．傅里葉于1826年10月30日把此文送交勒讓德和柯西，并讓后者寫審定結(jié)論．柯西把稿子扔在一邊，只是當(dāng)雅可比注意到此文并通過勒讓德征詢其下落時，柯西才于1829年6月29日把該文連同他寫的一篇頗有保留的評論提交科學(xué)院，而這時阿貝爾已去世．此文直到1841年才發(fā)表． 1829年5月，伽羅瓦把他關(guān)于代數(shù)方程解的兩篇論文呈遞科學(xué)院．6月1日的科學(xué)院會議決定讓柯西進行審查，但他沒有作出任何結(jié)論，他把這兩份手稿丟失了！這兩份珍貴的手稿迄今仍未找到． |
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來自： l1hf > 《數(shù)學(xué)家》
