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樊畿 張奠宙 (華東師范大學(xué)) 樊畿1914年9月19日生于浙江杭州．?dāng)?shù)學(xué)． 樊畿，西文名Ky Fan，父親樊琦(1879—1947)曾在金華、溫州等地的地方法院任職．樊 八歲時(shí)隨父到金華，初中階段先后在金華中學(xué)、杭州宗文中學(xué)和溫州中學(xué)就讀．他各科成績(jī)均優(yōu)，唯不喜歡英文，原因是“討厭呆板地記憶生詞和不可理喻的文法”．1929年初中畢業(yè)時(shí)，考入不用英文的吳淞同濟(jì)附中．這是四年制高中，第一年專習(xí)德文．1932年的“—·二八”事變后，同濟(jì)附中不能開課，樊插班到金華中學(xué)讀高三，半年后就高中畢業(yè)了． 1932年秋，樊 入北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．他本想讀工科，但因姑父馮祖荀在北京大學(xué)任數(shù)學(xué)系主任，更由于北大不考英文，因此決定樊走上了數(shù)學(xué)道路．樊 攻讀數(shù)學(xué)得心應(yīng)手．二年級(jí)時(shí)，德國數(shù)學(xué)家E．施佩納(SPerner)來華講學(xué)，在北大講授“近世代數(shù)”，使用的教材是O．施賴埃爾(Schreier)和施佩納合著的德文原版《解析幾何與代數(shù)引論》(Einfuhrung in die analytischeGeometrle und Algebra)與《矩陣講義》(Vorlesungen uberMatrizen)兩書．樊 聽完課之后，利用暑假將兩者譯出，合為《解析幾何與代數(shù)》，由馮祖荀作序并推薦給商務(wù)印書館．1935年，該書初版作為《大學(xué)叢書》之一發(fā)行．1960年在臺(tái)灣印行了第七版．在大學(xué)生時(shí)期，樊 還譯過E．蘭道(Landau)的《理想數(shù)論初步》(Einfurung in die elentare Theoric der algebraischenZahlen und der Ideale)，并與孫樹本合著《數(shù)論》，先后由商務(wù)印書館出版． 1936年，樊 在北京大學(xué)畢業(yè)之后，留校任教．1938年下半年，由法國退回庚子賠款設(shè)立的中法教育基金會(huì)，招考數(shù)學(xué)、化學(xué)、生物三科各一名去法國留學(xué)．樊 是數(shù)學(xué)科的被錄取者．1939年初啟程去巴黎．他本打算攻讀代數(shù)學(xué)，但在臨行前，程毓淮(北京大學(xué))和蔣碩民(南開大學(xué))兩教授建議他跟隨M．R．弗雷歇(Prechet)學(xué)習(xí)，指出“弗雷歇的分析和代數(shù)差不多”．對(duì)這一指點(diǎn)，樊 終生感激．確實(shí)，作為泛函分析先驅(qū)學(xué)者的弗雷歇，曾發(fā)展一套抽象的分析結(jié)構(gòu)，在當(dāng)時(shí)崇尚函數(shù)論等“硬分析”的法國獨(dú)樹一幟．樊到巴黎之后，請(qǐng)?jiān)鴣碇袊L問的J．阿達(dá)瑪(Hadam-ard)給弗雷歇寫了一封介紹信，彼此漸漸熟悉，弗雷歇就成了樊的導(dǎo)師． 1941年，樊 以“一般分析的幾個(gè)基本概念”的學(xué)位論文，獲得法國國家博士學(xué)位．當(dāng)時(shí)第二次世界大戰(zhàn)正在進(jìn)行，樊 幸運(yùn)地成為法國國家科學(xué)研究中心的研究人員，并且在龐加萊數(shù)學(xué)研究所從事數(shù)學(xué)研究．戰(zhàn)時(shí)的生活緊張而清苦，但研究工作不斷取得成果．到1945年大戰(zhàn)結(jié)束時(shí)，樊 已發(fā)表論文20余篇．他和弗雷歇合著的《組合拓?fù)鋵W(xué)引論》(Introdution a la topologiecombinatoire)一書也于1946年刊行，以后又發(fā)行了英文版和西班牙文版． 樊 在第二次世界大戰(zhàn)之后，轉(zhuǎn)往美國發(fā)展．1945—1947兩年，他是普林斯頓高級(jí)研究院的成員．當(dāng)時(shí)，世界著名數(shù)學(xué)家云集普林斯頓，其中包括戰(zhàn)前已來美國的H．外爾(Weyl)和J．馮·諾依曼(von Neumann)．樊后來的工作深受他們的影響，學(xué)術(shù)上也有更大的進(jìn)展． 1947年之后，樊 去圣母大學(xué)任教，從助教授、副教授，到教授．1960年曾到底特律城的韋恩州立大學(xué)任教一年，隨即轉(zhuǎn)到芝加哥附近的西北大學(xué)，直至1965年應(yīng)聘為加州大學(xué)圣巴巴拉分校數(shù)學(xué)教授． 1964年，臺(tái)北中央研究院推選樊 為院士．1978—1984年1745 間，他曾連任兩屆該院的數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)．他還曾任德克薩斯大學(xué)(奧斯丁)、漢堡大學(xué)、巴黎第九大學(xué)及意大利的卑魯加(Perugia)大學(xué)的訪問教授．從1960年起，擔(dān)任《數(shù)學(xué)分析及其應(yīng)用》(Journal of Mathematical Analysis and its Application)的編輯委員共32年．他還是《線性代數(shù)及其應(yīng)用》(Linear Algebraand its Application)的杰出編輯，1993年又被聘為荷蘭的《集值分析》(Set Valued Analysis)和波蘭的《非線性分析中的拓?fù)浞椒ā?(Topological Methods in Nonlinear Analysis)的編輯委員． 1985年夏樊 正式退休．?dāng)?shù)學(xué)界為他舉行了盛大的學(xué)術(shù)活動(dòng)，世界各地的許多數(shù)學(xué)家前來參加．加州大學(xué)圣巴巴拉分校宣布成立樊 助理教授(Ky Fan Assistant ProfessorshiP)職位．這次為樊 榮譽(yù)退休而舉行的學(xué)術(shù)會(huì)議論文集，題為《為樊舉行的會(huì)議錄：非線性分析和凸分析》(Nonlinear and convex analysis，Proceediny in honor of Ky Fan)．其中收錄了樊 到那時(shí)的全部論文目錄． 樊 退休之后，繼續(xù)擔(dān)任雜志編輯，且仍有著作問世．1989年，他應(yīng)邀訪問香港中文大學(xué)，是該校聯(lián)合學(xué)院的杰出訪問學(xué)者．1990年5月，巴黎第九大學(xué)授予樊 名譽(yù)博士學(xué)位．1990年，他曾出席矩陣論方面的會(huì)議，應(yīng)邀作宴會(huì)后演講．1992年5月，應(yīng)邀訪問波蘭．1993年到東京參加“非線性分析與凸分析”會(huì)議，是該會(huì)的四名學(xué)術(shù)委員之一． 樊 從1947年離開大陸之后，長(zhǎng)期沒有機(jī)會(huì)返回故土．1981年，他已準(zhǔn)備好大陸之行，臨時(shí)因手術(shù)而取消．1988年南開大學(xué)召開不動(dòng)點(diǎn)理論會(huì)議，也因健康原因未能與會(huì)．1989年5月，樊 應(yīng)北京師范大學(xué)之邀回到闊別50多年的北京，講學(xué)兩周之后，又去北京大學(xué)、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所、武漢大學(xué)、浙江大學(xué)、杭州大學(xué)等校演講．訪問期間被聘為北京大學(xué)和北京師范大學(xué)的名譽(yù)教授．樊 已將40余年收藏的數(shù)學(xué)書籍和雜志，除少量自己常用之外，全部捐獻(xiàn)給母校北京大學(xué)．1993年5月，當(dāng)杭州大學(xué)為紀(jì)念陳建功教授誕生100周年舉行函數(shù)論國際討論會(huì)時(shí)，樊再次回國講學(xué)訪問． 樊 的學(xué)術(shù)成就是多方面的．從線性分析到非線性分析，從有限維空間到無限維空間，從純粹數(shù)學(xué)到應(yīng)用數(shù)學(xué)，都留下了他的科學(xué)業(yè)績(jī)．以樊 的名字命名的定理、引理、等式和不等式，常見于各種數(shù)學(xué)文獻(xiàn)．他在非線性分析、不動(dòng)點(diǎn)理論、凸分析、集值分析、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、對(duì)策論、線性算子理論及矩陣論等方面的貢獻(xiàn)，已成為許多當(dāng)代論著的出發(fā)點(diǎn)和一些分支的基石． 抽象空間上的分析 樊 在40年代初的法國，主要是隨弗雷歇學(xué)習(xí)和研究抽象空間的分析學(xué)理論．他最早發(fā)表的幾篇論文都有關(guān)弗雷歇空間(完備的線性距離空間)上取值于線性拓?fù)淇臻g的抽象函數(shù)．博士論文是這些工作的總結(jié)．其主要內(nèi)容有：(1)在一類可分弗雷歇空間上的抽象值函數(shù)可用廣義的抽象值多項(xiàng)式加以逼近．(2)這類函數(shù)的阿達(dá)瑪(Hadamard)微分．(3)抽象拓?fù)淇臻g的弗雷歇維數(shù)．(4)抽象空間上曲線，特別是和線段、直線、圓周拓?fù)渫叩狞c(diǎn)集的拓?fù)涮卣鳎€將這些抽象函數(shù)的結(jié)果用于概率論中的極限定理． 全連續(xù)算子、奇異值和特征值 希爾伯特空間上的線性全連續(xù)算子源于積分方程論的需要．因此，研究全連續(xù)算子A的特征值和奇異值(即A*A的特征值的平方根)就是重要的工作．設(shè) A，B是兩個(gè)希爾伯特空間上的全連續(xù)算子，Sk(A)表示A的第K個(gè)奇異值，則有 這些不等式都可解釋為用有限維算子逼近無限維空間全連續(xù)算子時(shí)的性態(tài)．奇異值后來有許多推廣，如S函數(shù)(其特例有逼近數(shù)、蓋爾范德數(shù)、柯爾莫戈洛夫數(shù)等)，而后S函數(shù)正是由上述兩個(gè)不等式以及奇異值的其他基本性質(zhì)作為條件的．關(guān)于特征值，樊有如下的結(jié)果：設(shè)A是如上的自共軛全連續(xù)算子，λ1≥λ2≥…≥λn是前n個(gè)最大的特征值，則 這里的Max是對(duì)所有的n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量(x1，x2，…，xn)而取的．這一結(jié)果成為特征值理論和奇異值的變分特征化的重要基礎(chǔ)． 大數(shù)學(xué)家外耳和馮·諾依曼在奇異值方面的工作，曾由樊 加以推廣： 設(shè)A1，A2，…，An是希爾伯特空間H上的全連續(xù)算子，則有 其中Max是對(duì)一切標(biāo)準(zhǔn)正交向量組(x1，x2，…，xn)和任意的酉算子組U1，U2，…，Um而取，Si(A)表示第i個(gè)奇異值．當(dāng)m=2，H的維數(shù)恰為n時(shí)，則第一個(gè)等式是馮·諾依曼的結(jié)果，而當(dāng)m=1時(shí)，上面的第二個(gè)等式包括外爾的不等式．此外，樊 還給出一個(gè)奇異值的 =0，則有 綜上所述，樊 對(duì)全連續(xù)算子譜論研究有重大貢獻(xiàn)，后來的算子理想理論多借鑒于此．J．迪厄多內(nèi)(Dieudonne)將樊 列為算子譜論的主要貢獻(xiàn)者之一． 不動(dòng)點(diǎn)定理和極大極小原理 不動(dòng)點(diǎn)定理是20世紀(jì)非線性數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個(gè)核心課題．所謂映射F的不動(dòng)點(diǎn)x，是指F(x)=x成立．顯然，求方程f(x)=0的根，等價(jià)于求F(x)=f(x)+x的不動(dòng)點(diǎn)．拓?fù)鋵W(xué)家L．E．J．布勞威爾(Brouwer)在1912年提出了第一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理：n維歐氏空間中，將實(shí)心球(或緊凸集)映到自身的連續(xù)映射至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．以后J．P．肖德爾(Schauder)和A．H．吉洪諾夫分別將它推廣到巴拿赫空間和局部凸空間．另一方面，角谷靜夫(Kakutani)在n維歐氏空間情形證明了集值映射的不動(dòng)點(diǎn)定理．1952年，樊和I．L．格里科斯伯格(GliCk_sberg)獨(dú)立地將角谷靜夫定理推廣到局部凸空間情形．這是近來發(fā)展極為迅猛的集值分析的經(jīng)典結(jié)果，其基本內(nèi)容是： 設(shè)X是局部凸線性拓?fù)淇臻g，C是X中非空的凸緊集，T將C內(nèi)每點(diǎn)x映為C中的非空閉凸子集合T(x)，且T是上半連續(xù)的，則必存在一點(diǎn)x∈T(x)． 這種集值映射的重要背景乃是極大極小原理(minimax Prin－ciple)．馮·諾依曼在建立對(duì)策論時(shí)，曾研究下列方程： 樊 利用前述集值映射的不動(dòng)點(diǎn)定理，得到如下的馮·諾依曼-樊 -塞恩(Sion)定理： 設(shè)X，Y是兩個(gè)局部凸線性拓?fù)淇臻g，A，B分別是X，Y中的非空緊凸集，f是A×B上的二元實(shí)函數(shù)，使得對(duì)每個(gè)y∈B，f(x，y)在A上是下半連續(xù)的凸函數(shù)，對(duì)每個(gè)x∈A，f(x，y)在B上是上半連續(xù)的凹函數(shù)，則有 另外，在1953年的文獻(xiàn)中，證明了第一個(gè)不涉及線性結(jié)構(gòu)的極大極小定理，它在許多數(shù)學(xué)分支(勢(shì)論、優(yōu)化的對(duì)偶理論、函數(shù)代數(shù)、調(diào)和分析、算子的理想、弱緊性等)都有應(yīng)用． 樊 在不動(dòng)點(diǎn)理論研究中保持著領(lǐng)先水平，非線性分析的教科書和著作中，都能找到以樊 的名字命名的定理、引理、不等式，其中敘述較詳?shù)挠形墨I(xiàn)． 樊 的極大極小不等式 1972年，樊 發(fā)表的論文“一個(gè)極大極小不等式及其應(yīng)用”，曾使非線性分析的若干基本原理發(fā)生重要變化．這個(gè)不等式是： 設(shè)K是線性拓?fù)淇臻g中的緊凸集，F(xiàn)是K×K上的二元實(shí)函數(shù)，滿足以下三條件 (1)對(duì)每個(gè)固定的y∈K，F(xiàn)(x，y)是x的下半連續(xù)函數(shù)； (2)對(duì)每個(gè)固定的x∈K，F(xiàn)(x，y)是y的凹函數(shù)； (3)對(duì)每個(gè)y∈K，F(xiàn)(y，y)≤0； 則必有 這個(gè)不等式的表達(dá)不算非常簡(jiǎn)潔，并可證明它和原始的布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理等價(jià)．然而，它在證明非線性分析的大量基本定理時(shí)，卻非常方便，尤其是一個(gè)處理對(duì)策論和數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)問題的有效和通用的工具．法國的J-P奧賓(Aubin)和I．?？颂m德(Ekeland)在他們的一系列非線性分析著作里，都把上述的樊 不等式放在中心位置．德國的E．柴德勒(Zeidler)曾將不動(dòng)點(diǎn)定理和極大極小不等式畫成一張表，樊 不等式處于重要地位．此外，這個(gè)不等式在微分方程、不定度規(guī)空間理論、勢(shì)論諸方面均有應(yīng)用． 線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃 第二次世界大戰(zhàn)后迅速發(fā)展起來的線性規(guī)劃理論，實(shí)際上相當(dāng)于求解一個(gè)在凸集上有定義的線性不等式組．在無限維空間情形，也就是超平面分離凸集問題．樊 憑借堅(jiān)實(shí)的泛函分析功夫，對(duì)此作了重大改進(jìn)．經(jīng)常被引用的有樊 條件(Ky Fan consrst-ency condition)： 設(shè)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n是任意維的實(shí)線性空間X上的線性泛函，C1，C2，…，Cn是一組實(shí)數(shù)．則存在x∈X，能同時(shí)滿足 F1(x)≥C1，F(xiàn)2(x)≥C2，…，F(xiàn)n(x)≥Cn an，均有 這一相容性定理，可用于直接證明線性規(guī)劃的對(duì)偶定理等，成為線性規(guī)劃論的一塊基石．另外，它還能簡(jiǎn)單地導(dǎo)出許多著名的不等式，例如哈代(Hardy)-李特爾伍德(Littlewood)-波利亞(Polya)關(guān)于優(yōu)化(majorization)的不等式． 凸函數(shù)基本定理 樊 和格里科斯伯格，以及A．J．霍夫曼(Hoffman)合作，完成了凸分析和非線性分析的一個(gè)基本定理． 設(shè)X是任意維實(shí)線性空間的一個(gè)凸子集，f1，f2，…，fn是X上的實(shí)值凸函數(shù)．如果聯(lián)立不等式組fi(x)＜0(i=1，2，…，m)無解，那么必有一組不同時(shí)為零的非負(fù)實(shí)數(shù)p1，p2，…，pm，使得對(duì)一切x∈X，都有 其他工作 樊 所發(fā)表的124篇論文，涉及的學(xué)科很廣，以下是一個(gè)不完全的列舉． (1)線性代數(shù)方面 主要涉及矩陣的范數(shù)、特征值、不等式以及非負(fù)矩陣、M矩陣等．M矩陣大量出現(xiàn)于橢圓型方程的數(shù)值解法和線性方程組的迭代解法之中．許多著作中有樊 優(yōu)勢(shì)定理(dominance theorem)、樊 乘積、樊 k范數(shù)等． (2)不變子空間問題 樊 運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理，得到一個(gè)不定度規(guī)空間上線性算子的不變子空間的存在性定理．由它可以得出著名的龐特里亞金(Pontryajin)-約赫維道夫(Iohvidov)-克萊因(Krien)定理．1965年，樊 又把它推廣到一族算子(構(gòu)成左順從半群)的公共不變子空間的情形． (3)組合定理 A．W．吐克(Tuker)在1945年給出一個(gè)組合引理，目的是用來代替代數(shù)拓?fù)浞椒?，給予著名的博蘇克烏拉姆(Borsuk－Ulam)對(duì)映點(diǎn)定理和劉斯鐵爾尼克-博蘇克(Lustern-ik-Borsuk)對(duì)映點(diǎn)定理比較簡(jiǎn)易的證明．樊 在1952年將吐克引理加強(qiáng)，得到一些新的對(duì)映點(diǎn)定理．30年后又用他的對(duì)映點(diǎn)定理證明了另一個(gè)組合定理，比著名的耐瑟(Kneser)-洛瓦茲(Lovasz)-貝拉內(nèi)(Baraney)定理更強(qiáng)．此外，樊 的論文與計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)及拓?fù)涠葐栴}密切相關(guān)，他所使用的“配對(duì)過程”(Pai-ring process)方法及“一門進(jìn)，一門出”(door in，door out)原理被廣泛采用． (4)拓?fù)淙?樊 于1970年發(fā)表的論文，討論了局部緊交換群的局部連通性，并用對(duì)偶群加以刻畫，這是龐特里雅金關(guān)于緊交換群局部連通性的定理的推廣． (5)復(fù)分析 1982年之后，樊 連續(xù)發(fā)表文章，討論線性算子值的解析函數(shù)及其迭代性質(zhì)、幅角導(dǎo)數(shù)等，將復(fù)分析中的經(jīng)典定理推廣到線性算子值情形，現(xiàn)已形成一個(gè)研究方向． 樊 的學(xué)術(shù)成就具有廣泛的國際聲譽(yù)，特別是由于他的工作多半涉及一些數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)核心，所以常被列為基本文獻(xiàn)和寫入教科書，有些已成經(jīng)典性成果．他的論著從任何角度看都是純數(shù)學(xué)的，條件自然，結(jié)論簡(jiǎn)潔，論證優(yōu)美．但是這些純數(shù)學(xué)結(jié)論又有極廣泛的應(yīng)用，尤對(duì)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展促進(jìn)很大．例如，諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)獲得者G．德布勒(Debreu)等創(chuàng)立的數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)基本定理就可由樊的極大極小不等式直接導(dǎo)出．因此，樊研究工作體現(xiàn)了純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的統(tǒng)一． 樊 一共指導(dǎo)了22名博士研究生．他的知識(shí)面很寬，可以不斷地指導(dǎo)研究生選擇更新的研究方向．有幾位研究生就是以代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)涞墓ぷ鞫擅模?早先到普林斯頓高級(jí)研究院，是由M．莫爾斯(Morse)安排的，后來也經(jīng)常聯(lián)系．他曾推薦自己的研究生W．胡伯舒(Huebsch)給莫爾斯做助教，后來他們合寫了許多論文．他在教學(xué)上的一絲不茍也是出了名的．愛荷華大學(xué)的林伯祿說：“樊 師做學(xué)問和上課同樣認(rèn)真，從不浪費(fèi)一分一秒．黑板上的字也是一字不多一字不少．他還有許多一流的講義，可惜他不肯發(fā)表．” 樊 能說多種語言．但他自嘲說：“我的英文中有法國口音，講法文時(shí)有德國口音，而講德語時(shí)則有中國口音．”他說他學(xué)外語的目的只是為了看數(shù)學(xué)書，所以不大注意發(fā)音． 樊 待人寬厚，助人為樂．他常說：“為人作事，必須對(duì)別人有幫助，自己才會(huì)快樂．”最終解決比貝爾巴赫(Bieberbaoh)猜想的L．德·勃蘭治(de Brange)，在成名前曾受冷落，而樊一直對(duì)他熱情鼓勵(lì)，他的許多論文都經(jīng)樊推薦而發(fā)表． 樊 和夫人燕又芬住在美國加州圣巴巴拉的一座小山上，山下是大海，風(fēng)景如畫．在回首往事時(shí)，樊 一直牽記著引導(dǎo)他走上數(shù)學(xué)道路的馮祖荀先生．1989年曾去位于北京八大處福田公墓的馮祖荀墓前憑吊．1993年再度回京時(shí)，重修馮先生墓，并請(qǐng)?zhí)K步青重題墓碑 |
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