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很早以前，我簡(jiǎn)單介紹過(guò) Julia 集和 Mandelbrot 集，文章在此。這可以說(shuō)是數(shù)學(xué)中最神秘、最令人敬畏的研究對(duì)象之一。不過(guò)，那時(shí)我對(duì)這個(gè)話題了解還不太深。今天見(jiàn)到這個(gè)網(wǎng)頁(yè)，讓我對(duì) Julia 集和 Mandelbrot 集有了更深的了解。我查閱了一些其他的資料，然后寫(xiě)下這篇長(zhǎng)文，與大家一同分享。繼續(xù)閱讀以前，建議先看看我原來(lái)那篇文章（很短），那里面有很多漂亮的 Julia 集和 Mandelbrot 集的圖片，這篇文章就不再展示了。

 
    還是讓我們先來(lái)簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)一下復(fù)數(shù)吧。由于承認(rèn)“負(fù)數(shù)也能開(kāi)平方”將會(huì)帶來(lái)很多幽雅和便利的結(jié)論，因此我們發(fā)明了虛數(shù)，用 i 來(lái)表示 -1 的平方根（即虛數(shù)單位），并把實(shí)數(shù)擴(kuò)展為復(fù)數(shù)（即一切形如 a + b i 的數(shù)）。正如實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示一樣，復(fù)數(shù)可以用平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)來(lái)表示。令 x 軸表示復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)部分，令 y 軸表示復(fù)數(shù)的虛數(shù)部分，則 a + b i 就對(duì)應(yīng)了平面上的點(diǎn) (a, b) 。我們把這個(gè)平面直角坐標(biāo)系叫做“復(fù)平面”。

    復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)之間不但可以相加相減，還可以相乘相除。(a + b i) + (c + d i) 就等于 (a + c) + (b + d) i ，而 (a + b i) (c + d i) 則等于 (ac - bd) + (bc + ad) i 。需要注意的是，我們不能討論一個(gè)復(fù)數(shù)乘以另一個(gè)復(fù)數(shù)后是變大了還是變小了，因?yàn)閺?fù)數(shù)根本沒(méi)有大小之分。如果真的要比較它們的大小，我們可以比較它們的模。復(fù)數(shù) a + b i 的模就是 a² + b² 的平方根，也就是它到復(fù)平面原點(diǎn)的距離。如果我們用不同的顏色來(lái)表示不同大小的模，那么整個(gè)復(fù)平面大致就是這樣：

    如果我們用 |z| 來(lái)表示復(fù)數(shù) z 的模，那么上面這個(gè)圖也就是函數(shù) f(z) = |z| 的“等高線地圖”。復(fù)數(shù)的模有一個(gè)重要的性質(zhì)，大家可以自行驗(yàn)證：乘積的模等于模的乘積，即 |a·b| = |a|·|b| ?，F(xiàn)在，我們對(duì)復(fù)平面上的所有點(diǎn)都進(jìn)行平方，畫(huà)出 f(z) = |z²| 的等高線地圖：

    可以看到，這一操作讓模的變化更劇烈了，等高線變得更加密集了。外面浩瀚的藍(lán)色空間，就對(duì)應(yīng)著那些模已經(jīng)相當(dāng)大了的復(fù)數(shù)。

    有趣的事情開(kāi)始了。如果對(duì)上圖中的每個(gè)點(diǎn)再加上某個(gè)數(shù)，比如 0.3 ，那么整個(gè)圖會(huì)怎樣變化呢？容易想到，對(duì)于模相同的復(fù)數(shù)來(lái)說(shuō)，給實(shí)數(shù)部分加上 0.3 ，這對(duì)實(shí)數(shù)部分本來(lái)就較大的數(shù)影響會(huì)更大一些。因此，上圖將會(huì)變得更扁，整個(gè)圖形會(huì)在水平方向上壓縮。這也就是 f(z) = |z² + 0.3| 的等高線地形圖：

    接下來(lái)，我們?cè)賹?duì)所得的圖形進(jìn)行平方，繼續(xù)加劇模的變化：

    然后，再給每個(gè)點(diǎn)的實(shí)數(shù)部分加上 0.3 ，于是得到 f(z) = |(z² + 0.3)² + 0.3| 的圖像：

    再平方：

    再加上 0.3 ，此時(shí)圖形已經(jīng)開(kāi)始變得有意思起來(lái)了：

    再平方一次：

    再加上 0.3 ：

    這也就是函數(shù) f(z) = |(((z² + 0.3)² + 0.3)² + 0.3)² + 0.3| 的圖像，它反映了對(duì)復(fù)平面上的各個(gè)復(fù)數(shù)“平方再加 0.3 ”迭代 4 次后模的大小情況。隨著迭代次數(shù)的增加，整個(gè)圖形將會(huì)變得越來(lái)越復(fù)雜。下圖顯示的就是迭代 12 次后的結(jié)果，可以看見(jiàn)整個(gè)圖形已經(jīng)具有了分形圖形的復(fù)雜程度（圖形的“黑邊”其實(shí)是密集的等高線）：

    上圖中，大部分區(qū)域內(nèi)的數(shù)都變得越來(lái)越大，直達(dá)無(wú)窮。而原點(diǎn)附近這個(gè)四葉草形區(qū)域內(nèi)的數(shù)，至少目前還不算太大。這給出了上圖的另外一種解讀方法：隨著迭代次數(shù)的增加，復(fù)平面上各個(gè)點(diǎn)的模的發(fā)散速度。有沒(méi)有什么復(fù)數(shù)，隨著迭代次數(shù)的增加，最終并不會(huì)趨于無(wú)窮呢？當(dāng)然有。比如方程 z² + 0.3 = z 的兩個(gè)復(fù)數(shù)解，它是這個(gè)迭代下的不動(dòng)點(diǎn)，每次迭代后都維持原來(lái)的值，自然不會(huì)趨于無(wú)窮。我們把所有這種迭代后不會(huì)趨于無(wú)窮的點(diǎn)所組成的集合就叫做 Julia 集，它是以法國(guó)數(shù)學(xué)家 Gaston Julia 命名的。只可惜， z → z² + 0.3 的 Julia 集是由一些孤點(diǎn)組成的，我們無(wú)法把它畫(huà)出來(lái)。上圖中的四葉草形區(qū)域也只是那些發(fā)散比較慢的點(diǎn)，但再多迭代幾次，最終也會(huì)趨于無(wú)窮。

 
 
    是否存在適當(dāng)?shù)某?shù) c ，使得迭代 z → z² + c 的 Julia 集能夠形成一塊連通的區(qū)域呢？答案是肯定的。下圖是對(duì)復(fù)平面上的點(diǎn)執(zhí)行 12 次 z → z² - 1 迭代后的結(jié)果，中間這些紫色和黃色的點(diǎn)已經(jīng)穩(wěn)定下來(lái)，不會(huì)發(fā)散了，它們構(gòu)成了一塊連通的 Julia 集：

    常數(shù) c 還可以是復(fù)數(shù)。下圖則是迭代過(guò)程 z → z² + (0.2 + 0.5 i) 迭代 12 次的結(jié)果，其中也有一些模非常小的點(diǎn)，它們不會(huì)發(fā)散，構(gòu)成了連通的 Julia 集：

    難以置信的是，每取一個(gè)不同的 c ，我們都能得到一個(gè)不同的 Julia 集，這些 Julia 集大小不同，形狀各異，可謂是百花齊放，各有各的美麗。在我的那篇舊文章里，可以找到更多的 Julia 集圖片。

 
 
    在 Julia 集相關(guān)領(lǐng)域中，有一個(gè)非常漂亮而且非常重要的定理叫做 fundamental dichotomy theorem ，它告訴我們，一個(gè) Julia 集要么是完全連通的，任意兩點(diǎn)間都有一條通路；要么是完全不連通的，整個(gè)圖形全是一個(gè)個(gè)孤立的點(diǎn)。

    隨著常數(shù) c 的變化，對(duì)應(yīng)的 Julia 集也會(huì)連續(xù)地發(fā)生變化。我們比較關(guān)心的一個(gè)問(wèn)題就是，哪些 c 值會(huì)讓對(duì)應(yīng)的 Julia 集形成一個(gè)連通的區(qū)域？為了回答這個(gè)問(wèn)題，讓我們來(lái)看看 Julia 集的另外一種計(jì)算方法。

    在研究 Julia 集時(shí)，我們通常假設(shè) c 的?？偸切∮?2 的。注意到，對(duì)任意一個(gè)滿足 |z| > 2 的復(fù)數(shù) z ，都有 |z²| = |z|² > 2·|z| ，也就是說(shuō)，對(duì)這樣的 z 進(jìn)行平方后，它的模至少都會(huì)變成原來(lái)的兩倍。即使常數(shù) c 的方向和 z² 的方向完全相反，也不足以把 z² 的模抵消到原來(lái)的水平。因此，在迭代運(yùn)算過(guò)程中，一旦某一步結(jié)果的模大于 2 了，可以斷定它必將發(fā)散到無(wú)窮。

    因此，我們有了 Julia 集合的另一個(gè)定義。 z → z² + c 對(duì)應(yīng)的 Julia 集，就是無(wú)限迭代下去后模仍然不超過(guò) 2 的點(diǎn)。于是，我們立即有了 Julia 集的另一種生成方法。我們可以從復(fù)平面上模不超過(guò) 2 的所有點(diǎn)，也就是以原點(diǎn)為中心半徑為 2 的圓盤(pán)出發(fā)，看看哪些點(diǎn)的平方加 c 后會(huì)落在這個(gè)圓盤(pán)內(nèi)，進(jìn)而考察哪些點(diǎn)平方加 c 再平方加 c 后將會(huì)落在這個(gè)圓盤(pán)內(nèi)，如此反向迭代，不斷找出原象，反推出符合要求的點(diǎn)集。我們先用 c = -1 來(lái)試驗(yàn)一下。

    這就是復(fù)平面上模小于 2 的所有復(fù)數(shù)所組成的點(diǎn)集，即一個(gè)半徑為 2 的圓盤(pán)：

    我們把上圖右移一個(gè)單位，得到所有加上 -1 后模小于 2 的點(diǎn)：

    我們?cè)僬页錾蠄D區(qū)域中的每個(gè)點(diǎn)的平方根（別忘了，每個(gè)數(shù)都有兩個(gè)平方根，因此每個(gè)點(diǎn)都有兩個(gè)原象），于是得到所有平方再加 -1 后模仍然小于 2 的點(diǎn)。由于開(kāi)平方是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，而每個(gè)點(diǎn)都有一正一負(fù)兩個(gè)平方根，因此整個(gè)圖像本該變?yōu)閮蓚€(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的連通區(qū)域。不過(guò)，這兩個(gè)連通區(qū)域有所重合，它們將會(huì)并在一起成為一整塊連通區(qū)域。為了看出這一點(diǎn)，只需要注意到，0 是一個(gè)非常特殊的數(shù)，它的原象只有一個(gè)，就是它本身。由于上圖中的區(qū)域內(nèi)包含零點(diǎn)，因此它的兩組原象也都包含原點(diǎn)，這就表明兩個(gè)區(qū)域是有重合的，結(jié)果就像下圖這樣：

    再將上圖右移一個(gè)單位：

    再作出平方根：

    再次右移：

    再次找平方根，由于零點(diǎn)始終沒(méi)有跑出去，因此圖像始終是一整塊連通區(qū)域：

    再次右移：

    再次找平方根，圖像仍然連通：

    可以看到，此時(shí)得到的點(diǎn)集已經(jīng)非常接近之前給出的 z → z² - 1 的 Julia 集了。下圖則是反推 12 次后的結(jié)果，它基本上可以看作是 z → z² - 1 的 Julia 集了：

    讓我們?cè)賮?lái)看一個(gè)無(wú)法構(gòu)成連通區(qū)域的 Julia 集的例子。取 c = - 1 - 0.9 i ，讓我們來(lái)看看逆推的過(guò)程。還是先畫(huà)出半徑為 2 的圓盤(pán)：

    現(xiàn)在，找出所有加上 - 1 - 0.9 i 后會(huì)落進(jìn)該圓盤(pán)的點(diǎn)，實(shí)際上相當(dāng)于把圓盤(pán)右移 1 個(gè)單位，再上移 0.9 個(gè)單位：

    尋找上圖中的點(diǎn)的平方根：

    再平移：

    再找平方根：

    再次平移：

    這里發(fā)生了一個(gè)非常值得注意的現(xiàn)象：原點(diǎn)現(xiàn)在跑到了灰色區(qū)域的外邊。也就是說(shuō)，這個(gè)點(diǎn)在若干次迭代之后不能落入那個(gè)半徑為 2 的圓盤(pán)里，表明這個(gè)點(diǎn)的模最終將會(huì)發(fā)散。換句話說(shuō)， 0 不屬于 c = - 1 - 0.9 i 時(shí)的 Julia 集。

    由于 0 的原象還是 0 ，因此當(dāng)我們考察哪些點(diǎn)的平方會(huì)落入上圖中的區(qū)域時(shí)，0 繼續(xù)排除在外。此時(shí)注意，灰色區(qū)域內(nèi)不包含原點(diǎn)，說(shuō)明這個(gè)圖形不見(jiàn)得仍然連通了。事實(shí)上，我們可以證明，一個(gè)不包含原點(diǎn)的區(qū)域，開(kāi)平方后必然會(huì)得到兩塊不連通的區(qū)域。為了證明這一點(diǎn)，我們?cè)谏蠄D中畫(huà)一條過(guò)原點(diǎn)的回路，把整個(gè)圖形圍起來(lái)。對(duì)這個(gè)回路上的所有點(diǎn)開(kāi)平方后，將會(huì)得到一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的封閉曲線。容易想到，這條閉曲線一定是一個(gè) 8 字形。而上圖灰色區(qū)域的兩個(gè)原象，則只能分居在 8 字形的兩個(gè)圓圈中：

    我們把上圖再次平移：

    再取平方根。注意到，上圖中的兩塊區(qū)域都不含零點(diǎn)，因此由前面的結(jié)論，每個(gè)區(qū)域都將會(huì)再分成兩個(gè)更小的連通區(qū)域，從而使得整個(gè)圖中出現(xiàn)四個(gè)連通塊：

    如此逆推下去，連通塊的數(shù)量將會(huì)越來(lái)越多，它們的總面積則會(huì)越來(lái)越小，最后就只剩下一些孤立的點(diǎn)了，就如同我們最早所說(shuō)的 z → z² + 0.3 的 Julia 集一樣。只不過(guò)，要想看出 z → z² + 0.3 所對(duì)應(yīng)的 Julia 集并不連通，我們需要的逆推次數(shù)更多一些。下圖中可以看到，直到第 12 次逆推，零點(diǎn)仍然還在候選區(qū)域中；到了第 13 次逆推，才把零點(diǎn)排除在 Julia 集之外。此后，圖形很快便收縮為了一堆離散的點(diǎn)。

 
 
    也就是說(shuō)，為了判斷 z → z² + c 的 Julia 集是否連通，我們只需要測(cè)試一下，看對(duì)初始值 0 迭代無(wú)窮多次，所得的模是否會(huì)趨于無(wú)窮大。我們自然希望知道，能夠使 Julia 集連通的常數(shù)值 c 在復(fù)平面上組成了一個(gè)什么樣的圖形。為此，我們只需要固定初始值為 0 ，把復(fù)平面上不同的點(diǎn)當(dāng)作 c ，畫(huà)出迭代過(guò)程中模的發(fā)散速度（和最開(kāi)始制作 Julia 集一樣，我們用不同的顏色來(lái)表示不同的發(fā)散速度）：

    神奇的是，這本身竟然又是一個(gè)漂亮的分形圖形！數(shù)學(xué)家 Beno?t B. Mandelbrot 是最早對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)研究的人之一，因此我們就把所有不會(huì)讓零點(diǎn)發(fā)散的復(fù)數(shù) c 組成的集合叫做 Mandelbrot 集。更多 Mandelbrot 集細(xì)節(jié)的驚人圖片，也可以參見(jiàn)那篇老文章。整個(gè) Mandelbrot 集可以包含于一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，半徑為 2 的圓里。這也就是我們?cè)诳紤] Julia 集時(shí)往往假設(shè)常數(shù) c 的模小于 2 的原因。

    生成 Mandelbrot 集的算法和生成 Julia 集的算法完全一樣，只是這一次我們固定的是初始值，而把 c 當(dāng)作了變量。Mandelbrot 集內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)了一個(gè)連通的 Julia 集，Mandelbrot 集合外的點(diǎn)則對(duì)應(yīng)了不連通的 Julia 集，并且很容易想到，越靠近 Mandelbrot 集的邊界，對(duì)應(yīng)的 Julia 集形狀就越詭異。因此， Mandelbrot 集還有另外一種解讀方法：它就是 Julia 集的縮略圖！完全沒(méi)有比喻的意思，它真的就是 Julia 集的縮略圖：

    因此， Mandelbrot 集可以說(shuō)是所有無(wú)窮多個(gè) Julia 集的一個(gè)高度總結(jié)。究其原因，還是因?yàn)?Julia 集的零點(diǎn)太重要了。Julia 集的零點(diǎn)的迭代結(jié)果，很大程度上決定了 Julia 集的形狀，就好像這個(gè)零點(diǎn)“知道” Julia 集是什么樣子似的。而 Mandelbrot 集則把所有的零點(diǎn)信息都匯聚在了一起，自然高度歸納出了所有的 Julia 集。

 
 
    讓我們總結(jié)一下 Julia 集和 Mandelbrot 集的關(guān)系。在迭代過(guò)程 z → z² + c 中，我們有四個(gè)參數(shù)： z 的初始值的實(shí)部、虛部，以及 c 的實(shí)部、虛部。 Julia 集就是給定 c 的實(shí)部、虛部后所得的結(jié)果，而 Mandelbrot 集則是限定 z 的實(shí)部和虛部均為 0 后的結(jié)果。大家可能想到，任意限定其中兩個(gè)參數(shù)，把另外兩個(gè)參數(shù)當(dāng)作變量，我們還能得到很多不同的圖形。事實(shí)上，如果把所有不同的 Julia 集重合起來(lái)，我們將會(huì)得到一個(gè)四維圖形，它的其中兩個(gè)維度是不同的初始值 z 構(gòu)成的復(fù)平面，另外兩個(gè)維度則是不同的常數(shù) c 構(gòu)成的復(fù)平面。這個(gè)四維空間就包含了所有不同的初始值在所有不同的常數(shù) c 之下迭代的發(fā)散情況。而 Mandelbrot 集，則是這個(gè)四維圖形在 c = 0 處的一個(gè)切片，并且是最具有概括力的一個(gè)切片。

    因此，我們相當(dāng)于有了 Mandelbrot 集的一個(gè)四維擴(kuò)展，從這個(gè)四維圖形中，我們可以切出很多二維的或者三維的切片，得到更多驚人而漂亮的圖形。Mandelbrot 集還有另外一種高維擴(kuò)展，即用四元數(shù) a + b i + c j + d k 來(lái)代替復(fù)數(shù)，從而得到另一種四維 Mandelbrot 集?？上В@些擴(kuò)展都是四維的，我們只能從它們的切片中獲取三維圖形。要想欣賞真正的三維版 Mandelbrot 集，我們還得想想別的方法。數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造了很多漂亮的三維版 Mandelbrot 集，不過(guò)它們的定義有些生硬，并不自然。另外還有一個(gè)叫做 Multibrot 集的東西，它就是把 Mandelbrot 集產(chǎn)生規(guī)則中的 z² 一般化，用 zⁿ 代替。隨著 n 的連續(xù)變化， Multibrot 集也會(huì)連續(xù)地變化。如果把不同 n 所對(duì)應(yīng)的 Multibrot 集重疊在一起，我們就會(huì)得到一個(gè)三維圖形（如下圖， n 從 1 取到 5 ）。這也勉強(qiáng)算得上是 Mandelbrot 的三維擴(kuò)展吧。

    Gaston Julia 和 Beno?t B. Mandelbrot 兩人的研究并未就此結(jié)束，這一系列研究直接導(dǎo)致了復(fù)動(dòng)力學(xué)（complex dynamics）這一新學(xué)科的誕生。如果大家對(duì)這個(gè)感興趣的話，不妨從 Wikipedia 相關(guān)頁(yè)面的 references 出發(fā)，深入閱讀下去。