素?cái)?shù)定理

                                     文/施承忠
                                     1914.1.4

                          埃拉托斯特尼篩法的重要結(jié)果

     我們有一個(gè)表示全部n^2個(gè)自然數(shù)的一個(gè)加法公式：
                                n^2=2(1+2+3+...+n-1)+n,它表示了n^2的全部自然數(shù).以下是當(dāng)n=7時(shí)的表法數(shù)：
             【1】=(1)
             【1】=(2)
             【2】=(3)(4)
             【2】=(5)(6)
             【3】=(7)(8)(9)
             【3】=(10)(11)(12)
             【4】=(13)(14)(15)(16)
             【4】=(17)(18)(19)(20)
             【5】=(21)(22)(23)(24)(25)
             【5】=(26)(27)(28)(29)(30)
             【6】=(31)(32)(33)(34)(35)(36)
             【6】=(37)(38)(39)(40)(41)(42)
             【7】=(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)

      剛好是7^2=49個(gè)數(shù).這里2，3，5，7是所有這些數(shù)中的構(gòu)成素因子.我們將(1)(4)歸入到【1】中，其余的合數(shù)都?xì)w入到它們的最小素因子【2】【3】【5】【7】中去.

      合數(shù)部分：
             【2】(6)(8)(10)(12)(14)(16)(18)(20)(22)(24)(26)(28)(30)(32)(34)(36)(38)(40)(42)(44)(46)(48)
             【3】(9)(15)(21)(27)(33)(39)(45)
             【5】(25)(35)
             【7】(49)

      把那些素?cái)?shù)也歸入到【2】【3】【5】【7】這些素?cái)?shù)中去.

      素?cái)?shù)部分：
             【2】(2)(3)
             【3】(5)(7)(11)
             【5】(13)(17)(19)(23)(29)
             【7】(31)(37)(41)(43)(47)

     我們可以看出合數(shù)部分愈到下面愈少，而素?cái)?shù)部分愈到下面愈多.而且素?cái)?shù)部分有這樣一個(gè)規(guī)則，一個(gè)素?cái)?shù)p必然有p個(gè)素?cái)?shù)，雖然素?cái)?shù)7中我們只寫入5個(gè)素?cái)?shù)，事實(shí)上
我們也完全可以寫入7個(gè)素?cái)?shù)，因?yàn)槲覀冎灰賹懮?53)(59)就可以了.那么合數(shù)部分我們是否也可以這樣寫呢？完全可以.

     我們把2的合數(shù)寫成：
             【2】(6)(8)
     素?cái)?shù)部分我們只寫一項(xiàng)，合數(shù)部分我們寫2項(xiàng)
             【4】(10)(12)(14)(16)
             【4】(18)(20)(22)(24)
             【6】(26)(28)(30)(32)(34)(36)
             【6】(38)(40)(42)(44)(46)(48)

    把3的合數(shù)寫成
             【3】(9)(15)(21)
             【9】(27)(33)(39)(45)
             【9】
    在上面一個(gè)【9】中我們只要再寫入(51)(57)就可以了，在下面一個(gè)【9】中我們只要寫入(63)(69)(75)(81)(87)(93)(99)(105)(111)就可以了.

             【7】(49)
    我們只要寫入(77)(91)(119)(133)(161)(203)就可以了.

    現(xiàn)在我們知道合數(shù)都有他們的歸類，素?cái)?shù)也有他們的歸類，它們各自只要計(jì)算自己的部分就可以了，所以我們對(duì)于π(x)可以歸結(jié)為一種簡(jiǎn)單的結(jié)果，我們有：
π(x)～K(x)，其中K(x)=p1+p2+p3+...pk,pk≤√ x.
    我們可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明當(dāng)pk=pk+1時(shí)也不例外.因?yàn)楫?dāng)(pk-1)^2到pk^2時(shí)，【pk】滿足了【pk】=pk1,pk2,pk3,...,pkpkk.而pk+1早就在π(x)中存在，那么在
pk^2到(pk+1)^2中一定存在素?cái)?shù)，假定不存在pk+1,那么它至少是pk個(gè)素?cái)?shù)，但pk+1的合數(shù)只有一個(gè)，那么它至少有(pk)-1個(gè)素?cái)?shù)，而且此素?cái)?shù)還可以擴(kuò)大到(pk+1)^2以
外，所以一定存在p(k+1)1,p(k+1)2,p(k+1)3,...,p(k+1)p(k+1)=pk+1個(gè)素?cái)?shù).
    我們還可以證明K(x)有兩種情況是不可能的：
    第一；
    K(x)不可能為0，除非x<3.因?yàn)閤>3時(shí)，K(4)=2是素?cái)?shù).
    第二；
    k(x)不可能為x,因?yàn)樗械淖匀粩?shù)不可能都是素?cái)?shù).
    所以0<K(x)<x
    通過以上兩點(diǎn)，我們可以知道：當(dāng)π(x)<K(x)時(shí)，K(x)中的素?cái)?shù)是密的；當(dāng)π(x)>K(x)時(shí)，k(x)中的素?cái)?shù)是稀的.但K(x)不可能永遠(yuǎn)都是密的，K(x)也不可能永遠(yuǎn)都
是稀的.所以有無窮多個(gè)x，使得π(x)=K(x).
    證畢.