第十一講  列方程解應(yīng)用題——設(shè)元的技巧

應(yīng)用題聯(lián)系生活實(shí)際，反映實(shí)際生活中的數(shù)量關(guān)系，列方程解應(yīng)用題是從具體問題中抽象歸納出所需要的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量間的關(guān)系，依照題意合理選擇未知數(shù)、找出隱含的等量關(guān)系，列方程進(jìn)行求解．

    恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟之一，設(shè)什么為元，需要根據(jù)具體問題的條件來確定．

    對(duì)未知元的選擇，有時(shí)可將要求的量設(shè)為未知元(即問什么設(shè)什么)，稱此為直接設(shè)元；有時(shí)需要將要求的量以外的其他量設(shè)為未知元(即所設(shè)的不是所求的，則更易找出符合題意的數(shù)量關(guān)系)，稱此為間接設(shè)元；有些應(yīng)用題中隱含一些未知的常量，這些量對(duì)于求解無直接聯(lián)系，但如果不指明這些量的存在，則難求其解，因此需把這些未知的常量設(shè)為參數(shù)，以便建立等量關(guān)系，稱此為輔助設(shè)元．

    【例1】   如圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個(gè)不同顏色的正方形組成，已知中間最小的一個(gè)正方形的邊長為1，那么這個(gè)長方形色塊圖的面積為     ．

    (濟(jì)南市中考題)

思路點(diǎn)撥  要求長方形的面積需求出務(wù)正方形的邊長，為便于求出長方形長與寬，故不宜直接設(shè)元，由于6個(gè)正方形邊長有一定的依存關(guān)系，所以，可以從間接設(shè)某個(gè)正方形邊長入手．

  注： 列方程解應(yīng)用題又一關(guān)鍵是：找尋能夠表示應(yīng)用題全部意義的相等關(guān)系，找尋相等關(guān)系的基本方法有：

(1)運(yùn)用基本公式找尋相等關(guān)系； (2)從關(guān)鍵詞中找尋基本關(guān)系；(3)運(yùn)用不變量找尋相等關(guān)系；(4)對(duì)一種“量”，從不同的角度進(jìn)行表述(即計(jì)算兩次)，得到相等關(guān)系．

【例2】一只小船從甲港到乙港逆流航行需2小時(shí)，水流速度增加一倍后，再從甲港到乙港航行需3小時(shí)，水流速度增加后，從乙港返回甲港需航行(    )．

  A．0.5小時(shí)    B．1小時(shí)     C． 1.,2小時(shí)     D．1.5小時(shí)

    (2001年武漢市選拔賽試題)

    思路點(diǎn)撥  要求從乙港返回甲港所需的時(shí)間，需求甲、乙兩港的距離及順?biāo)俣?，考慮增設(shè)輔助未知數(shù)．

【例3】某音樂廳月初決定在暑假期間舉辦學(xué)生專場音樂會(huì)，入場券分為團(tuán)體票和零售票，其中團(tuán)體票占總票數(shù)的 ，若提前購票，則給予不同程度的優(yōu)惠，在五月份內(nèi)，團(tuán)體票每張12元，共售出團(tuán)體票數(shù)的 ；零售票每張16元，共售出零售票數(shù)的—半，如果在六月份內(nèi)，團(tuán)體票按每張16元出售，并計(jì)劃在六月份內(nèi)售出全部余票，那么零售票應(yīng)按每張多少元定價(jià)才能使這兩個(gè)月的票款收入持平?

(北京市東城區(qū)中考題)

 思路點(diǎn)撥  票款與票數(shù)、票價(jià)有關(guān)，既要用字母表示六月份零售價(jià)，又要用字母表示總票數(shù)．

【例4】  某商場經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了6.4％，使得利潤增加了8個(gè)百分點(diǎn)，求經(jīng)銷這種商品原來的利潤率．

    (全國初中聯(lián)賽試題)

思路點(diǎn)撥  因售出價(jià)=進(jìn)貨價(jià)×(1+利潤率)，故還需設(shè)出進(jìn)貨價(jià)，利用售出價(jià)不變，輔助建立方程．

【例5】  有一片牧場，草每天都在勻速地生長(即草每天增長的量相等)，如果放牧24頭牛，則6天吃完牧草；如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草．設(shè)每頭牛每天吃草的量是相等的，問：

(1)    如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草?

(2)    要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多放牧幾頭牛?

 (全國通訊賽試題)

思路點(diǎn)撥  需要考慮草每天的增長量、每頭牛每天的吃草量及牧場原有的草量之間的關(guān)系，故需增設(shè)一些輔助未知數(shù)，便于把這些關(guān)系表示出來．

注：  應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的之一．而列方程解應(yīng)用題對(duì)初一同學(xué)來說是一個(gè)困難所在，學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題應(yīng)注重兩個(gè)方面：(1)促使綜合型思維向分析型思維的轉(zhuǎn)軌．從各個(gè)側(cè)面分析列方程的來龍去脈，突破小學(xué)形成的固有的綜合思維模式(從已知出發(fā)列綜合算式求未知數(shù)，形成分析思維模式． (2)善于把應(yīng)用題中的生活語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言．應(yīng)留心生活，多看報(bào)刊雜志電視，注意生活常識(shí)的積累．有些應(yīng)用題，它所涉及到的量比較多，量與量之間的關(guān)系也不明顯，需增設(shè)一些表知敷輔助建立方程，輔助表知數(shù)的引入，在已知條件與所求結(jié)論之間架起了一座“橋梁”，對(duì)這種輔助未知量，并不能或不需求出，可以在解題中相消或相約，這就是我們常說的“設(shè)而不求”．

                                                      學(xué)力訓(xùn)練

1．一個(gè)6位數(shù) 的3倍等于 ，則這個(gè)6位數(shù)等于    ．

2．有人問一位老師：他教的班有多少學(xué)生，老師說：“一半學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，四分之一的學(xué)生在學(xué)音樂，七分之一的學(xué)生在念外語，還剩不足六位學(xué)生正在操場踢足球．”則這個(gè)“特長班”共有學(xué)生    人．

3．一輪船從甲地到乙地順流行駛需4小時(shí)，從乙地到甲地逆流行駛需6小時(shí)，有一木筏由甲地漂流至乙地，需    小時(shí)．

    ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

4．某種產(chǎn)品是由A種原料x千克、B種原料y千克混合而成，其中A種原料每千克50元，B種原料每千克40元，后來調(diào)價(jià)，A種原料價(jià)格上漲l0％，B種原料價(jià)格減少15％，經(jīng)核算產(chǎn)品價(jià)格可保持不變，則 的值是(    )．

   A．        B．        C．     D．  

5．從兩塊分別重10千克和15千克且含銅的百分比不同的合金上各切下重量相等的一塊，再把切下的每一塊與另一塊切后剩余的部分合在一起，熔煉后兩者含銅的百分比恰好相等，則切下的一塊重量是(    )．

  A．5千克    B．6千克    C．7千克    D．8千克

6．某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi)：用煤氣如果不超過60立方米，按每立方米0.8元收費(fèi)；如果超過60立方米，超過部分按每立方米1.2元收費(fèi)，已知某用戶4月份的煤氣費(fèi)平均每立方米0.88元，那么，4月份這位用戶應(yīng)交煤氣費(fèi)(    )．

    A．60元    B．66元    C．75元    D．78元     (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

7．某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本價(jià)是400元，銷售價(jià)為510元，本季度銷售了m件．為進(jìn)一步擴(kuò)大市場，該企業(yè)決定在降低銷售價(jià)的同時(shí)降低生產(chǎn)成本，經(jīng)過市場調(diào)研，預(yù)測下季度這種產(chǎn)品每件銷售價(jià)降低4％，銷售量將提高lo％，要使銷售利潤(銷售利潤＝銷售價(jià)一成本價(jià))保持不變，該產(chǎn)品每件的成本價(jià)應(yīng)降低多少元?

    (陜西省中考題)

8．如圖，幾塊大小不等的正方形紙片A、B、……,I，無重疊地鋪滿了一塊長方形．已知正方形紙片E的邊長為7，求其余務(wù)正方形的邊長．

9．某人購買鋼筆和圓珠筆各若干支，鋼筆的價(jià)格是圓珠筆價(jià)格的2倍，付款時(shí)，發(fā)現(xiàn)所買兩種筆的數(shù)量顛倒了，因此，比計(jì)劃支出增加了50%，則此人原計(jì)劃購買鋼筆與圓珠筆數(shù)量的比為        ．

10．電影膠片繞在盤上，空盤的盤心直徑為60毫米．現(xiàn)有厚度為0.15毫米的膠片，它緊繞在盤上共有600圈，那么這盤膠片的總長度約為    米(π≈3.14)．

    (江蘇省競賽題)

11．為使某項(xiàng)工程提前20天完成任務(wù)，需將原定工作效率提高25％，則原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要    天．

12．完成某項(xiàng)工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，則甲單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要的天數(shù)是(    )．

    A．2.8    B．3    C．6    D． 12

13．某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10 立方米的，按每立方米m元水費(fèi)收費(fèi)；用水超過10立方米的，超過部分加倍收費(fèi)．某職工某月繳水費(fèi)16m，則該職工這個(gè)月實(shí)際用水為(    )立方米．

    A．13    B．14    C．18    D．26

    (廣西省中考題)

14．某種商品若按標(biāo)價(jià)的八折出售，可獲利20％，若按原標(biāo)價(jià)出售，可獲利(    )．

    A．25％    B．40％    C．50％    D．66.7％

15．某水庫共有6個(gè)相同的泄洪閘，在無上游洪水注入的情況下，打開一個(gè)水閘泄洪使水庫水位以a米／時(shí)勻速下降．某汛期上游的洪水在未開泄洪閘的情況下使水庫水位以b米／時(shí)勻速上升，當(dāng)水庫水位超警戒線^米時(shí)開始泄洪．

  (1)如果打開n個(gè)水閘泄洪x小時(shí)，寫出表示此時(shí)相對(duì)于警戒線的水面高度的代數(shù)式；

  (2)經(jīng)考察測算，如果只打開一個(gè)泄洪閘，則需30個(gè)小時(shí)水位才能降至警戒線；如果同時(shí)打開兩個(gè)泄洪閘，則需10個(gè)小時(shí)水位才能降至警戒線．問該水庫能否在3個(gè)小時(shí)內(nèi)使水位降至警戒線?

    (連云港市中考題)

16．一批貨物準(zhǔn)備運(yùn)往某地，有甲、乙、丙三輛卡車可雇用．已知甲、乙、丙三輛車每次運(yùn)貨量不變，且甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)這批貨物分別用2a次、a次船運(yùn)完；若甲、丙兩車合運(yùn)相同次數(shù)運(yùn)完這批貨物時(shí)，甲車共運(yùn)了180噸，若乙、丙兩車合運(yùn)相同次數(shù)運(yùn)完這批貨物時(shí)，乙車共運(yùn)了270噸．問：

  (1)乙車每次所運(yùn)貨物量是甲車每次所運(yùn)貨物量的幾倍?

  (2)現(xiàn)甲、乙、丙合運(yùn)相同次數(shù)把這批貨物運(yùn)完時(shí)，貨主應(yīng)付車主運(yùn)費(fèi)各多少元?(按每運(yùn)1噸運(yùn)費(fèi)20元計(jì)算)

    (天津市中考題)

17．某同學(xué)想用5個(gè)邊長不等的正方形，拼成如圖所示的正方形，請(qǐng)問該同學(xué)的想法能實(shí)現(xiàn)嗎?如果能實(shí)現(xiàn)，試求這5個(gè)正方形的邊長；如果不能，請(qǐng)說明理由．

    ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

18．山腳下有一池塘，山泉以固定的流量(即單位時(shí)間里流人池中的水量相同)不停地向池塘內(nèi)流淌，現(xiàn)池塘中有一定深度的水，若用一臺(tái)A型抽水機(jī)則1小時(shí)后正好能把池塘中的水抽完，若用兩臺(tái)A型抽水機(jī)則20分鐘正好把池塘中的水抽完，問若用三臺(tái)A型抽水機(jī)同時(shí)抽，則需要多長時(shí)間恰好把池塘中的水抽完?   (江蘇省競賽題)

參考答案