第十章   導數及其應用

§10.1導數及其運算

一、知識導學

1.瞬時變化率：設函數在附近有定義，當自變量在附近改變量為時，函數值相應地改變，如果當趨近于0時，平均變化率趨近于一個常數c（也就是說平均變化率與某個常數c的差的絕對值越來越小，可以小于任意小的正數），那么常數c稱為函數在點的瞬時變化率。

2.導數：當趨近于零時，趨近于常數c?？捎梅枴?sub>”記作：當時，或記作，符號“”讀作“趨近于”。函數在的瞬時變化率，通常稱作在處的導數，并記作。

3.導函數：如果在開區(qū)間內每一點都是可導的，則稱在區(qū)間可導。這樣，對開區(qū)間內每個值，都對應一個確定的導數。于是，在區(qū)間內，構成一個新的函數，我們把這個函數稱為函數的導函數。記為或（或）。

4.導數的四則運算法則：1）函數和（或差）的求導法則：設，是可導的，則即，兩個函數的和（或差）的導數，等于這兩個函數的導數的和（或差）。

2）函數積的求導法則：設，是可導的，則即，兩個函數的積的導數，等于第一個函數的導數乘上第二個函數，加上第一個函數乘第二個函數的導數。

3）函數的商的求導法則：設，是可導的，，則

5.復合函數的導數:設函數在點處有導數,函數在點的對應點處有導數,則復合函數在點處有導數,且.

6.幾種常見函數的導數：

 (1)         (2)

(3)            (4)  

(5)               (6) 

(7)                (8)

二、疑難知識導析  

1.導數的實質是函數值相對于自變量的變化率

2.運用復合函數的求導法則,應注意以下幾點

（1）利用復合函數求導法則求導后,要把中間變量換成自變量的函數,層層求導.

(2) 要分清每一步的求導是哪個變量對哪個變量求導，不能混淆，一直計算到最后，常出現如下錯誤，如實際上應是。

(3) 求復合函數的導數，關鍵在于分清楚函數的復合關系，選好中間變量，如選成，計算起來就復雜了。

3.導數的幾何意義與物理意義

導數的幾何意義，通常指曲線的切線斜率.導數的物理意義，通常是指物體運動的瞬時速度。對導數的幾何意義與物理意義的理解，有助于對抽象的導數定義的認識，應給予足夠的重視。

4.

  表示處的導數，即是函數在某一點的導數；表示函數在某給定區(qū)間內的導函數，此時是在上的函數，即是在內任一點的導數。

5.導數與連續(xù)的關系

若函數在處可導，則此函數在點處連續(xù)，但逆命題不成立，即函數

在點處連續(xù)，未必在點可導，也就是說，連續(xù)性是函數具有可導性的必要條件，而不是充分條件。

6.可以利用導數求曲線的切線方程

由于函數在處的導數，表示曲線在點處切線的斜率，因

此，曲線在點處的切線方程可如下求得：

（1）求出函數在點處的導數，即曲線在點處切線的斜率。

（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為：，如果曲線在點的切線平行于軸（此時導數不存在）時，由切線定義可知，切線方程為.

三、經典例題導講

[例1]已知,則              .

錯因：復合函數求導數計算不熟練,其與系數不一樣也是一個復合的過程,有的同學忽視了,導致錯解為:.

正解：設,,則

.

[例2]已知函數判斷f(x)在x=1處是否可導？

錯解：。

分析： 分段函數在“分界點”處的導數，須根據定義來判斷是否可導 .

解：

　　　∴ f(x)在x=1處不可導.

注：，指逐漸減小趨近于0；，指逐漸增大趨近于0。

點評：函數在某一點的導數，是一個極限值，即，△x→0，包括△x→0＋，與△x→0－，因此，在判定分段函數在“分界點”處的導數是否存在時，要驗證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定這點存在導數，否則不存在導數.

[例3]求在點和處的切線方程。

錯因：直接將，看作曲線上的點用導數求解。

分析：點在函數的曲線上，因此過點的切線的斜率就是在處的函數值；

點不在函數曲線上，因此不能夠直接用導數求值，要通過設切點的方法求切線．

解：

即過點的切線的斜率為4，故切線為：．

設過點的切線的切點為，則切線的斜率為，又，

故，。

即切線的斜率為4或12，從而過點的切線為：

點評： 要注意所給的點是否是切點．若是，可以直接采用求導數的方法求；不是則需設出切點坐標．

[例4]求證：函數圖象上的各點處切線的斜率小于1，并求出其斜率為0的切線方程.

分析： 由導數的幾何意義知，要證函數的圖象上各點處切線的斜率都小于1，只要證它的導函數的函數值都小于1，因此，應先對函數求導后，再進行論證與求解.

解：（1），即對函數定義域內的任一，其導數值都小于，于是由導數的幾何意義可知，函數圖象上各點處切線的斜率都小于1.

（2）令，得，當時，；當時，，

曲線的斜率為0的切線有兩條，其切點分別為與，切線方程分別為或。

點評： 在已知曲線 切線斜率為的情況下，要求其切線方程，需要求出切點，而切點的橫坐標就是的導數值為時的解，即方程的解，將方程的解代入就可得切點的縱坐標，求出了切點坐標即可寫出切線方程，要注意的是方程有多少個相異實根，則所求的切線就有多少條.

[例5]（02年高考試題）已知，函數，，設，記曲線在點處的切線為  .

（1）求 的方程；

（2）設  與 軸交點為，求證：

?、?；　　　　　②若，則

分析：本題考查導數的幾何意義，利用其求出切線斜率，導出切線方程 .

解：（1）

切線的方程為

即.

（2）①依題意，切線方程中令y=0得，

②由①知，

[例6]求拋物線 上的點到直線的最短距離.

分析：可設 為拋物線上任意一點，則可把點到直線的距離表示為自變量的函數，然后求函數最小值即可，另外，也可把直線向靠近拋物線方向平移，當直線與拋物線相切時的切點到直線的距離即為本題所求.

解：根據題意可知，與直線 x－y－2=0平行的拋物線y=x2的切線對應的切點到直線x－y－2=0的距離最短，設切點坐標為（），那么,∴

∴ 切點坐標為，切點到直線x－y－2=0的距離，

 ∴ 拋物線上的點到直線的最短距離為.

四、典型習題導練

1.函數在處不可導，則過點處，曲線的切線         （    ）

A．必不存在　B．必定存在   C．必與x軸垂直　 D．不同于上面結論

2.在點x=3處的導數是____________.

3.已知，若，則的值為____________.

4.已知P（－1，1），Q（2，4）是曲線上的兩點，則與直線平行的曲線的切線方程是 _____________.

5.如果曲線的某一切線與直線平行，求切點坐標與切線方程.

6．若過兩拋物線和的一個交點為P的兩條切線互相垂直.求證：拋物線過定點，并求出定點的坐標.