§2.3　基本初等函數(shù)

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.     二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

（1）注意解題中靈活運(yùn)用二次函數(shù)的一般式

二次函數(shù)的頂點(diǎn)式和

二次函數(shù)的坐標(biāo)式

（2）解二次函數(shù)的問(wèn)題（如單調(diào)性、最值、值域、二次三項(xiàng)式的恒正恒負(fù)、二次方程根的范圍等）要充分利用好兩種方法：配方、圖象，很多二次函數(shù)都用數(shù)形結(jié)合的思想去解.

①，當(dāng)時(shí)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

M（x₁,0）N(x₂,0),|MN|=| x₁- x₂|=.

②　二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)處取得.

2.指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì).

（1）有理指數(shù)冪的意義、冪的運(yùn)算法則：

①；②；③（這時(shí)m,n是有理數(shù)）

對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)、換底公式.

；　

 （2）指數(shù)函數(shù)的圖象、單調(diào)性與特殊點(diǎn).對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、單調(diào)性與特殊點(diǎn).

①指數(shù)函數(shù)圖象永遠(yuǎn)在x軸上方，當(dāng)a＞1時(shí)，圖象越接近y軸，底數(shù)a越大；當(dāng)0<a<1時(shí)，圖象越接近y軸，底數(shù)a越小.

②對(duì)數(shù)函數(shù)的符號(hào)常受到底數(shù)和真數(shù)的范圍的制約，注意對(duì)底數(shù)a的討論.

③當(dāng)a>1時(shí)，圖象越接近x軸，底數(shù)a越大; 當(dāng)0<a<1時(shí)，圖象越接近x軸，底數(shù)a越小.

3.冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

結(jié)合函數(shù)y=x,y=x²  ,y=x³,y=,y=的圖象，了解它們的變化情況.

①＞0時(shí)，圖象都過(guò)（0,0）、（1,1）點(diǎn)，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；

注意＞1與0<＜1的圖象與性質(zhì)的區(qū)別.

②＜0時(shí)，圖象都過(guò)（1,1）點(diǎn)，在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；在第一象限內(nèi)，圖象向上無(wú)限接近y軸，向右無(wú)限接近x軸.

③當(dāng)x>1時(shí)，指數(shù)大的圖象在上方.

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

  1.二次函數(shù)在區(qū)間上最值的求解要注意利用二次函數(shù)在該區(qū)間上的圖象.二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置通常有三種情況：（1）定義域區(qū)間在對(duì)稱軸的右側(cè)；（2）定義域區(qū)間在對(duì)稱軸的左側(cè)；（3）對(duì)稱軸的位置在定義域區(qū)間內(nèi)　

2.冪的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用，要注意公式正確使用.會(huì)用語(yǔ)言準(zhǔn)確敘述這些運(yùn)算性質(zhì)防止出現(xiàn)下列錯(cuò)誤：

（1）式子＝，

（2）

　3.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解題，一定要注意底數(shù)的取值.

　4.函數(shù)的研究方法一般是先研究的性質(zhì)，再由的情況討論的性質(zhì).

　5.對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，會(huì)將指數(shù)式與對(duì)數(shù)式相互轉(zhuǎn)化.

　6.冪函數(shù)的性質(zhì)，要注意的取值變化對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響.

（1）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)是奇函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，冪函數(shù)為非奇非偶函數(shù).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]已知求

錯(cuò)解：∵∴

　∴

錯(cuò)因：因?qū)π再|(zhì)不熟而導(dǎo)致題目沒(méi)解完.

正解：∵∴

　∴

[例2]分析方程（）的兩個(gè)根都大于1的充要條件.

錯(cuò)解：由于方程（）對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為

的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于1即可.

　故需滿足，所以充要條件是

錯(cuò)因：上述解法中，只考慮到二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)要大于1，卻忽視了最基本的的前題條件，應(yīng)讓二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)才行，即滿足△≥0，故上述解法得到的不是充要條件，而是必要不充分條件.

正解：充要條件是

[例3]求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

錯(cuò)解：令，則＝

∴當(dāng)t≥6,即x≥1時(shí)，y為關(guān)于t的增函數(shù)，

當(dāng)t≤6,即x≤1時(shí)，y為關(guān)于t的減函數(shù)

∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為

錯(cuò)因：本題為復(fù)合函數(shù)，該解法未考慮中間變量的取值范圍.

正解：令，則為增函數(shù)，

＝＝

　∴當(dāng)t≥6,即x≥1時(shí)，y為關(guān)于t的增函數(shù)，

當(dāng)t≤6,即x≤1時(shí)，y為關(guān)于t的減函數(shù)

∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為

[例4]已知在[0，1]上是的減函數(shù)，則的取值范圍是　　　　　

錯(cuò)解：∵是由，復(fù)合而成，又＞0

　　∴在[0，1]上是的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知

應(yīng)為增函數(shù)，∴＞1

錯(cuò)因：錯(cuò)因：解題中雖然考慮了對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復(fù)合關(guān)系，卻忽視了數(shù)定義域的限制，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的某個(gè)子區(qū)間，即函數(shù)應(yīng)在[0，1]上有意義.

正解：∵是由，復(fù)合而成，又＞0

　　∴在[0，1]上是的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知

應(yīng)為增函數(shù)，∴＞1

又由于 在[0，1]上時(shí) 有意義，又是減函數(shù)，∴＝1時(shí)，取最小值是＞0即可，　　∴＜2

綜上可知所求的取值范圍是1＜＜2

[例5]已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)恒有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1，如果存在，試求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，且含參數(shù)，要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)具體分析找到正確的解題思路，是否存在性問(wèn)題，分析時(shí)一般先假設(shè)存在后再證明.

解：（1）由假設(shè)，＞0，對(duì)一切恒成立，

顯然，函數(shù)g(x)= 在[0，2]上為減函數(shù)，從而g(2)＝＞0得到＜

∴的取值范圍是（0，1）∪（1，）

(2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，由題設(shè)知，即＝1

∴＝此時(shí)

當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，故這樣的實(shí)數(shù)不存在.

點(diǎn)評(píng)：本題為探索性問(wèn)題，應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，存在性問(wèn)題一般的處理方法是先假設(shè)存在，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理和等價(jià)轉(zhuǎn)化，若推出矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立.即不存在，反之沒(méi)有矛盾，則問(wèn)題解決.

[例6]已知函數(shù)f(x)=, 其中為常數(shù)，若當(dāng)x∈(－∞, 1］時(shí), f(x)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：參數(shù)深含在一個(gè)復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式中，欲直接建立關(guān)于的不等式（組）非常困難，故應(yīng)轉(zhuǎn)換思維角度，設(shè)法從原式中把分離出來(lái)，重新認(rèn)識(shí)與其它變?cè)?x)的依存關(guān)系，利用新的函數(shù)關(guān)系，?？墒乖瓎?wèn)題“柳暗花明”.

解：>0, 且a²－a+1=(a－)²+>0,

∴ 1+2^x+4^x·a>0, a>,

當(dāng)x∈(－∞, 1]時(shí), y=與y=都是減函數(shù)，

∴ y=在(－∞, 1]上是增函數(shù)，_max=－,

∴ a>－, 故a的取值范圍是(－, +∞).

 點(diǎn)評(píng)：發(fā)掘、提煉多變?cè)獑?wèn)題中變?cè)g的相互依存、相互制約的關(guān)系、反客為主，主客換位，創(chuàng)設(shè)新的函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問(wèn)題獲解，是解題人思維品質(zhì)高的表現(xiàn).本題主客換位后，利用新建函數(shù)y=的單調(diào)性轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值巧妙地求出了實(shí)數(shù)a的取值范圍.此法也叫主元法.

 [例7]若，試求的取值范圍.

解：∵冪函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，

∴根據(jù)和的正、負(fù)情況，有以下關(guān)系　

①　　　②　　　　　③

解三個(gè)不等式組：①得＜＜，②無(wú)解，③＜－1

∴的取值范圍是（－∞，－1）∪（，）

點(diǎn)評(píng)：冪函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，在本題中相當(dāng)重要，不少學(xué)生可能在解題中誤認(rèn)為，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

[例8] 已知a>0 且a≠1 ,f (log _a x ) =  (x － )

 (1)求f(x)；

 (2)判斷f(x)的奇偶性與單調(diào)性；

 (3)對(duì)于f(x) ,當(dāng)x ∈(－1  , 1)時(shí) , 有f( 1－m ) +f (1－ m² ) < 0 ,求m的集合M .

分析：先用換元法求出f(x)的表達(dá)式；再利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性和單調(diào)性；然后利用以上結(jié)論解第三問(wèn).

解：(1)令t=log_ax(t∈R)，則

f(x)在R上都是增函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：對(duì)含字母指數(shù)的單調(diào)性，要對(duì)字母進(jìn)行討論.對(duì)本例的③不需要代入f（x）的表達(dá)式可求出m的取值范圍，請(qǐng)同學(xué)們細(xì)心體會(huì).

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1. 函數(shù)的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）

    A.　　　　B.

  C.        D.　　　　　　

?。?5年高考福建試題）

2.已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,則的值為（    ）

    A.1               B.4               C.1或4           D.4 或 8

3.方程 (0<a<1)的解的個(gè)數(shù)為（    ）

     A.0              B.1               C.2               D.3

4.函數(shù)f(x)與g(x)=()^x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則f(4－x²)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (    ）

     A.         B.         C.           D.

5.圖中曲線是冪函數(shù)y＝xⁿ在第一象限的圖象，已知n可取±2，±四個(gè)值,則相應(yīng)于曲線c1、c2、c3、c4的n依次為(   )

A.－2，－，，2          B．2，，－，－2　　

C. －，－2,2，          D. 2，，－2, －

6. 求函數(shù)y = log ₂ (x² －5x+6) 的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間.

7. 若x滿足 ,求f(x)=最大值和最小值.

8.已知定義在R上的函數(shù)為常數(shù)

（1）如果＝，求的值；

（2）當(dāng)滿足（1）時(shí)，用單調(diào)性定義討論的單調(diào)性.