帶電粒子在復(fù)合場中的運動是高考考查的熱點問題之一，尤其是以速度選擇器、回旋加速器、磁流體發(fā)電機、電磁流量計、霍爾效應(yīng)、磁流體泵以及質(zhì)譜儀等為背景的聯(lián)系現(xiàn)代科技的問題，能很好考查學(xué)生用所學(xué)的物理知識解決新問題的綜合能力，更受命題者的青睞，需引起高度重視，下面分析它們的原理及應(yīng)用。

一、速度選擇器原理及應(yīng)用

在平行板器件中，正交的勻強電場和勻強磁場組成速度選擇器，如圖1所示。帶電粒子通過兩板空間，當(dāng)電場力與洛淪茲力平衡，即時，才能沿直線運動，所以只有速度滿足的粒子才能被選擇出來。此裝置勻強電場方向、勻強磁場方向、帶電粒子的速度方向三個方向是相關(guān)的。這一結(jié)論與帶電粒子的電量和電性均無關(guān)系，但粒子的入口、出口不能對換。

例1．用圖2所示的裝置來選擇密度相同、大小不同的球狀納米粒子。粒子在電離室中電離后帶正電，電量與其表面積成正比。電離后，粒子緩慢通過小孔O₁進入極板間電壓為U的水平加速電場區(qū)域I,再通過小孔O₂射入相互正交的恒定勻強電場、磁場區(qū)域II,其中磁場的磁感應(yīng)強度大小為B,方向如圖。收集室的小孔O₃與O₁、O₂在同一條水平線上。半徑為r₀的粒子，其質(zhì)量為m₀、電量為q₀,剛好能沿O₁O₃直線射入收集室。不計納米粒子重力。

（1）試求圖中區(qū)域II的電場強度。

（2）試求半徑為r的粒子通過O₂時的速率。

（3）討論半徑r≠r₀的粒子剛進入?yún)^(qū)域II時向哪個極板偏轉(zhuǎn)。

解析：(1)設(shè)半徑為r₀的粒子加速后的速度為v₀，則

設(shè)區(qū)域II內(nèi)電場強度為E，則v₀q₀B= q₀E，則，電場強度方向豎直向上。

(2)設(shè)半徑為r的粒子的質(zhì)量為m、帶電量為q、被加速后的速度為v，則

，由　得。

（3）半徑為r的粒子，在剛進入?yún)^(qū)域II時受到合力為F_合=qE-qvB=qB(v₀-v)，由可知，當(dāng)r>r₀時，v<v₀，F_合>0，粒子會向上極板偏轉(zhuǎn)；r<r₀時，v>v₀，F_合<0，粒子會向下極板偏轉(zhuǎn)。

二、回旋加速器原理及應(yīng)用

回旋加速器是用來加速帶電粒子的裝置，如圖3所示.它的核心部分是兩個D形金屬盒，兩盒相距很近，分別和高頻交流電源相連接，兩盒間的窄縫中形成交變電場，使帶電粒子每次通過窄縫都得到加速。兩盒放在勻強磁場中，磁場方向垂直于盒底面，帶電粒子在磁場中做圓周運動，通過兩盒間的窄縫時反復(fù)被加速，直到達(dá)到最大圓周半徑時通過特殊裝置被引出。若勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，電場的電壓為U，D形盒最大半徑為r_m，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，對于回旋加速器還應(yīng)注意以下幾點：

（1）交變電壓的周期等于粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)周期，即，是粒子加速的條件。

（2）粒子獲得的最大速度、最大動能與回旋加速器的半徑有關(guān)，半徑越大，粒子獲得的速度和能量越大，且最大速度，最大動能，與加速電場的電壓無關(guān)。

（3）粒子在回旋加速器內(nèi)運動的時間長短與帶電粒子勻速圓周運動的周期和在磁場中運動的圈數(shù)有關(guān)，，。（在電場中運動的時間可以忽略，理由見下面例題）

（4）帶電粒子在D形盒內(nèi)運動的軌道半徑是不等距分布的，任意兩個相鄰的圓形軌道半徑之比或（式中n=1，2，3……，為粒子進入其中一個D形盒內(nèi)的次數(shù)），可見靠近D形盒的邊緣，相鄰兩軌道的間距越小。

例2．正電子發(fā)射計算機斷層（PET）是分子水平上的人體功能顯像的國際領(lǐng)先技術(shù)，它為臨床診斷和治療提供全新的手段。

⑴PET在心臟疾病診療中，需要使用放射正電子的同位素氮13示蹤劑。氮13是由小型回旋加速器輸出的高速質(zhì)子轟擊氧16獲得的，反應(yīng)中同時還產(chǎn)生另一個粒子，試寫出該核反應(yīng)方程。

⑵PET所用回旋加速器示意如圖4，其中置于高真空中的金屬D形盒的半徑為R，兩盒間距為d，在左側(cè)D形盒圓心處放有粒子源S，勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，方向如圖所示。質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q。設(shè)質(zhì)子從粒子源S進入加速電場時的初速度不計，質(zhì)子在加速器中運動的總時間為t（其中已略去了質(zhì)子在加速電場中的運動時間），質(zhì)子在電場中的加速次數(shù)于回旋半周的次數(shù)相同，加速質(zhì)子時的電壓大小可視為不變。求此加速器所需的高頻電源頻率f和加速電壓U。

⑶試推證當(dāng)R>>d時，質(zhì)子在電場中加速的總時間相對于在D形盒中回旋的時間可忽略不計（質(zhì)子在電場中運動時，不考慮磁場的影響）。

解析：（1）核反應(yīng)方程為：

（2）設(shè)質(zhì)子加速后最大速度為v，由牛頓第二定律得：，質(zhì)子的回旋周期為：，高頻電源的頻率為：，質(zhì)子加速后的最大動能為：。設(shè)質(zhì)子在電場中加速的次數(shù)為n，則 ，又t=。 解得：U=；

（3）在電場中加速的總時間為，在D形盒中回旋的總時間為， ，即當(dāng)R>>d時，質(zhì)子在電場中加速的總時間可以忽略不計。

三、磁流體發(fā)電機原理及其應(yīng)用

磁流體發(fā)電是一項新技術(shù)，它可以把物體的內(nèi)能直接轉(zhuǎn)化為電能，圖5是其原理示意圖，平行金屬板A、B之間有很強的勻強磁場，一束等離子體（高溫下電離的氣體，含有大量帶正、負(fù)電的微粒，整體來說呈中性）噴入磁場，帶電的微粒在磁場力作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，聚集在A、B兩塊金屬板上，產(chǎn)生電壓。

若A、B間的距離為d，板間的磁感應(yīng)強度為B，等離子體以速度v沿垂直于B的方向射入磁場，在A、B兩塊金屬板上電壓最大時，離子受力滿足：，得，即電動勢為

若把A、B和用電器連起來，A、B就是直流電源的兩個極。根據(jù)左手定則可判斷出，正電微粒受向下洛淪茲力向下偏，負(fù)電微粒受向上洛淪茲力而向上偏，A板是負(fù)極，B板是正極。

例3．磁流體發(fā)電是一種新型發(fā)電方式，圖6和圖7是其工作原理示意圖。圖6中的長方體是發(fā)電導(dǎo)管，其中空部分的長、高、寬分別為、、，前后兩個側(cè)面是絕緣體，上下兩個側(cè)面是電阻可略的導(dǎo)體電極，這兩個電極與負(fù)載電阻相連。整個發(fā)電導(dǎo)管處于圖7中磁場線圈產(chǎn)生的勻強磁場里，磁感應(yīng)強度為B，方向如圖所示。發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)有電阻率為的高溫、高速電離氣體沿導(dǎo)管向右流動，并通過專用管道導(dǎo)出。由于運動的電離氣體受到磁場作用，產(chǎn)生了電動勢。發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)電離氣體流速隨磁場有無而不同。設(shè)發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)電離氣體流速處處相同，且不存在磁場時電離氣體流速為，電離氣體所受摩擦阻力總與流速成正比，發(fā)電導(dǎo)管兩端的電離氣體壓強差維持恒定，求：

（1）不存在磁場時電離氣體所受的摩擦阻力F多大；

（2）磁流體發(fā)電機的電動勢E的大小；

（3）磁流體發(fā)電機發(fā)電導(dǎo)管的輸入功率P。

圖6                                     圖7

解析：（1）不存在磁場時，由力的平衡得

（2）設(shè)磁場存在時的氣體流速為，則磁流體發(fā)電機的電動勢，回路中的電流，電流I受到的安培力。設(shè)為存在磁場時的摩擦阻力，依題意，存在磁場時，由力的平衡得。根據(jù)上述各式解得。

（3）磁流體發(fā)電機發(fā)電導(dǎo)管的輸入功率，由能量守恒定律得   故。

四、電磁流量計原理及應(yīng)用

單位時間內(nèi)流過管道橫截面的液體體積叫做液體的體積流量（以下簡稱流量）。由一種利用電磁原理測量非磁性導(dǎo)電液體（如自來水、啤酒等）流量的裝置，稱為電磁流量計。

其原理可簡化為如圖8所示，橫截面是長方形的管道，其中空部分長、寬、高分別為a、b、c，流量計的左、右兩端與輸送流體的管道相連，前后表面絕緣，上下表面為金屬材料。在垂直于前后表面方向加上磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，當(dāng)導(dǎo)電流體穩(wěn)定流經(jīng)流量計時，在管外將流量計上下表面用一串接了電阻R的電流表兩端連接，I表示測得的電流值，已知液體電阻率為ρ，不計電流表的內(nèi)阻，則可求得流量。具體計算：

導(dǎo)電液體流動時，形成閉合回路，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，感應(yīng)電流，流量

例4．醫(yī)生做某些特殊手術(shù)時，利用電磁血流計來監(jiān)測通過動脈的血流速度。電磁血流計由一對電極a和b以及磁極N和S構(gòu)成，磁極間的磁場是均勻的。使用時，兩電極a、b均與血管壁接觸，兩觸點的連線、磁場方向和血流速度方向兩兩垂直，如圖9所示。由于血液中的正負(fù)離子隨血流一起在磁場中運動，電極a、b之間會有微小電勢差。在達(dá)到平衡時，血管內(nèi)部的電場可看作是勻強電場，血液中的離子所受的電場力和磁場力的合力為零。在某次監(jiān)測中，兩觸點的距離為3.0mm，血管壁的厚度可忽略，兩觸點間的電勢差為160?V，磁感應(yīng)強度的大小為0.040T。判斷a、b哪個電勢較高并估算血流速度。

解析：依據(jù)左手定則，正離子在磁場中受到洛倫茲力作用向上偏，負(fù)離子在磁場中受到洛倫茲力作用向下偏，因此電極的正負(fù)為a正、b負(fù)；當(dāng)穩(wěn)定時，血液中的離子所受的電場力和磁場力平衡，即，解得：

例5．電磁流量計廣泛用于測量可導(dǎo)電流體在管道中的流量或流速，它主要由將流量轉(zhuǎn)換為電壓信號的傳感器和顯示儀表兩部分組成。傳感器的結(jié)構(gòu)如圖10所示，圓筒形測量管內(nèi)壁絕緣，其上裝有一對電極和c,a,c間的距離等于測量管內(nèi)徑D，測量管的軸線與a、c的連接方向以及通過電線圈產(chǎn)生的磁場方向三者相互垂直。當(dāng)導(dǎo)電液體流過測量管時，在電極a、c的間出現(xiàn)感應(yīng)電動勢E，并通過與電極連接的儀表顯示出液體流量Q。設(shè)磁場均勻恒定，磁感應(yīng)強度為B。

（1）已知，設(shè)液體在測量管內(nèi)各處流速相同，試求E的大?。?span>取3.0）

（2）一新建供水站安裝了電磁流量計，在向外供水時流量本應(yīng)顯示為正值。但實際顯示卻為負(fù)值。經(jīng)檢查，原因是誤將測量管接反了，既液體由測量管出水口流入，從入水口流出。因為已加壓充滿管道。不便再將測量管拆下重裝，請你提出使顯示儀表的流量指示變?yōu)檎档暮啽惴椒ǎ?/span>

（3）顯示儀表相當(dāng)于傳感器的負(fù)載電阻，其阻值記為 a、c間導(dǎo)電液體的電阻r隨液體電阻率的變化而變化，從而會影響顯示儀表的示數(shù)。試以E、R、r為參量，給出電極a、c間輸出電壓U的表達(dá)式，并說明怎樣可以降低液體電阻率變化對顯示儀表示數(shù)的影響。

解析：（1）導(dǎo)電液體通過測量管時，相當(dāng)于導(dǎo)線做切割磁感線的運動，在電極a、c 間切割感應(yīng)線的液柱長度為D，設(shè)液體的流速為v，則產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E=BDv，由流量的定義，有Q=Sv。聯(lián)立解得代入數(shù)據(jù)得

（2）能使儀表顯示的流量變?yōu)檎档暮啽惴椒ǎ绺淖兺娋€圈中電流的方向，將磁場B反向?；?qū)鞲衅鬏敵龆藢φ{(diào)接入顯示儀表。

（3）傳感器的顯示儀表構(gòu)成閉合電路，有閉合電路歐姆定律I，電極a、c間輸出電壓的表達(dá)式U=IR

輸入顯示儀表測量的是a、c間的電壓U，流量示數(shù)和U一一對應(yīng)。

E與液體電阻率無關(guān)，而r隨電阻率的變化而變化，由上式可看出，r變化，U也隨之變化。

在實際流量不變的情況下，儀表顯示的流量示數(shù)會隨a、c間的電壓U的變化

而變化，增大R，使R＞＞r，則U≈E，這樣就可以降低液體電阻率的變化對顯示儀表流量示數(shù)的影響。

五、霍爾效應(yīng)及應(yīng)用

導(dǎo)體板垂直放在勻強磁場中，當(dāng)電流通過導(dǎo)體板時，在導(dǎo)體板的兩側(cè)面之間會產(chǎn)生電勢差，這種現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)。其原理如圖11所示，外部磁場的洛淪茲力使運動的電子聚集在極板的右側(cè)，在導(dǎo)體板的左側(cè)會出現(xiàn)多余的正電荷，從而形成橫向電場，橫向電場對電子施加與洛淪茲力方向相反的電場力，當(dāng)兩者達(dá)到平衡時，導(dǎo)體板之間形成穩(wěn)定的電勢差，這個電勢差又叫霍爾電壓。

例6．利用霍爾效應(yīng)制作的霍爾元件以及傳感器，廣泛應(yīng)用于測量和自動控制等領(lǐng)域。如圖12，將一金屬或半導(dǎo)體薄片垂直置于磁場B中，在薄片的兩個側(cè)面a、b間通以電流I時，另外兩側(cè)c、f間產(chǎn)生電勢差。其原因是薄片中的移動電荷受洛倫茲力的作用向一側(cè)偏轉(zhuǎn)和積累，于是c、f間建立起電場E_H，同時產(chǎn)生霍爾電勢差U_H。當(dāng)電荷所受的電場力與洛倫茲力處處相等時，E_H和U_H達(dá)到穩(wěn)定值，U_H的大小與I和B以及霍爾元件厚度d之間滿足關(guān)系式U_H＝R_H，其中比例系數(shù)R_H稱為霍爾系數(shù)，僅與材料性質(zhì)有關(guān)。

（1）設(shè)半導(dǎo)體薄片的寬度（c、f間距）為l，請寫出U_H和E_H的關(guān)系式;若半導(dǎo)體材料是電子導(dǎo)電的，請判斷圖12中c、f哪端的電勢高；

（2）已知半導(dǎo)體薄片內(nèi)單位體積中導(dǎo)電的電子數(shù)為n，電子的電荷量為e，請導(dǎo)出霍爾系數(shù)R_H的表達(dá)式。（通過橫截面積S的電流I＝nevS，其中v是導(dǎo)電電子定向移動的平均速率）；

（3）圖13是霍爾測速儀的示意圖，將非磁性圓盤固定在轉(zhuǎn)軸上，圓盤的周邊等距離地嵌裝著m個永磁體，相鄰永磁體的極性相反?；魻栐糜诒粶y圓盤的邊緣附近。當(dāng)圓盤勻速轉(zhuǎn)動時，霍爾元件輸出的電壓脈沖信號圖像如圖14所示。若在時間t內(nèi)，霍爾元件輸出的脈沖數(shù)目為P，請導(dǎo)出圓盤轉(zhuǎn)速N的表達(dá)式。

解析：（1）U_H= E_H l， c端的電勢高；

（2）由 U_H＝R_H得  R_H，當(dāng)電場力等于洛倫茲力時，，又 。聯(lián)立以上各式可得  R_H

（3）在時間t內(nèi)，霍爾元件輸出的脈沖數(shù)目為P，則 ，解得圓盤轉(zhuǎn)速N

六、磁流體泵的原理及應(yīng)用

在原子能反應(yīng)堆中抽動液態(tài)金屬或在醫(yī)療機器中抽動血液等導(dǎo)電液體時，由于不允許轉(zhuǎn)動的機械部分與這些液體接觸，通常使用一種磁流體泵。將導(dǎo)管放在磁場中，當(dāng)電流通過導(dǎo)電液體時，載流液體受到安培力，沿垂直于磁場方向流動，這種液體即被驅(qū)動，其原理如圖15所示。

例7．磁流體推進船的動力來源于電流與磁場間的相互作用，圖16是在平靜海面上某實驗船的示意圖，磁流體推進器由磁體、電極和矩形通道（簡稱通道）組成。

如圖17所示，通道尺寸a=2.0m、b=0.15m、c=0.10m，工作時，在通道內(nèi)沿z軸正方向加B=8.0T的勻強磁場；沿x軸負(fù)方向加勻強電場，使兩極板間的電壓U=99.6V；海水沿y軸方向流過通道。已知海水的電阻率ρ=0.20Ω·m。

（1）船靜止時，求電源接通瞬間推進器對海水推力的大小和方向。

（2）船以v_s=5.0m/s的速度勻速前進。以船為參照物，海水以5.0m/s的速率涌入進水口，由于通道的截面積小于進水口的截面積，在通道內(nèi)海水的速率增加到v_d=8.0m/s。求此時金屬板間的感應(yīng)電動勢U_感。

（3）船行駛時，通道中海水兩側(cè)的電壓按U '=U-U_感計算，海水受到電磁力的80%可以轉(zhuǎn)化為船的動力。當(dāng)船以v_s=5.0m/s的速度勻速前進時，求海水推力的功率。

解析：（1）根據(jù)安培力公式,推力F₁=B I₁b，其中I₁=，R＝ρ。則F₁= N，對海水推力的方向沿y軸正方向（向右）；

（2）載流海水在磁場中流動同時產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，此感應(yīng)電動勢的產(chǎn)生與磁流體發(fā)電機產(chǎn)生機理相同。也可以把海水在磁場中運動，看成導(dǎo)體運動切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。這個電動勢與外加電壓方向相反，公式中的速度是流體相對于磁場的運動速度。得U_感=Bv_d b=9.6 V。

（3）根據(jù)歐姆定律，I₂=A，安培推力F₂=I₂Bb=720N，對船的推力F=80%F₂=576 N，推力的功率P=Fv_s=80%F₂v_s=2 880 W

七、質(zhì)譜儀的原理及應(yīng)用

質(zhì)譜儀是一種測帶電粒子質(zhì)量、比荷或分析同位素的重要工具。其簡化原理如圖18。若一質(zhì)量為m ，電荷量為q的粒子，不計重力，從A室通過狹縫s₁以很小的速度飄入電壓為U的加速電場，通過過狹縫s₂、垂直進入磁場的速率為v，由動能定理得，可得 。粒子從s₃射入勻強磁場，在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，設(shè)半徑為r ， 有，打在照相底片上的位置離小孔S₃距離x，  ，解得。

粒子以垂直于磁場界面PQ方向打到感光片上，形成平行于狹縫s₃的細(xì)線，在底片上形成譜線狀的細(xì)線，叫做質(zhì)譜線。由上式可知對比荷不同的帶電粒子，由于譜線的位置不同會分離開來。

對電荷量相同，而質(zhì)量有微小差別的粒子，進入磁場后將沿著不同的半徑做圓周運動，打到照相底片的不同地方，據(jù)此可以分析同位素。

由于帶電粒子的質(zhì)量極小，因此不能利用宏觀物體的測量方法，必須將其轉(zhuǎn)化成其它易測量的物理量。由得  ， 只需測、、、 ，即可利用質(zhì)譜儀測出帶電粒子的質(zhì)量。

例8．利用電場和磁場，可以將比荷不同的離子分開，這種方法在化學(xué)分析和原子核技術(shù)等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用。如圖所示的矩形區(qū)域ACDG（AC邊足夠長）中存在垂直于紙面的勻強磁場，A處有一狹縫。離子源產(chǎn)生的離子，經(jīng)靜電場加速后穿過狹縫沿垂直于GA邊且垂直于磁場的方向射入磁場，運動到GA邊，被相應(yīng)的收集器收集。整個裝置內(nèi)部為真空。

已知被加速度的兩種正離子的質(zhì)量分別是m₁和m₂（m₁>m₂），電荷量均為q。加速電場的電勢差為U，離子進入電場時的初速度可以忽略，不計重力，也不考慮離子間的相互作用。

（1）求質(zhì)量為m₁的離子進入磁場時的速率v₁；

（2）當(dāng)磁感應(yīng)強度的大小為B時，求兩種離子在GA邊落點的間距s；

（3）在前面的討論中忽略了狹縫寬度的影響，實際裝置中狹縫具有一定寬度。若狹縫過寬，可能使兩束離子在GA邊上的落點區(qū)域交疊，導(dǎo)致兩種離子無法完全分離。設(shè)磁感應(yīng)強度大小可調(diào)，GA邊長為定值L，狹縫寬度為d，狹縫右邊緣在A處。離子可以從狹縫各處射入磁場，入射方向仍垂直于GA邊且垂直于磁場。為保證上述兩種離子能落在GA邊上并被完全分離，求狹縫的最大寬度。

解析：（1）動能定理 ，得  

（2）由牛頓第二定律   ，得。離子在磁場中的軌道半徑為別為，。

兩種離子在GA上落點的間距

（3）質(zhì)量為m₁的離子，在GA邊上的落點都在其入射點左側(cè)2R₁處，由于狹縫的寬度為d，因此落點區(qū)域的寬度也是d。同理，質(zhì)量為m₂的離子在GA邊上落點區(qū)域的寬度也是d（如圖20）。為保證兩種離子能完全分離，兩個區(qū)域應(yīng)無交疊，條件為，即， R₁的最大值滿足。得， 求得最大值 

對以上幾個模型，速度選擇器、磁流體推進器、磁流體發(fā)電機、電磁流量計、霍爾元件，都是帶電粒子在相互正交的電場與磁場組成的復(fù)合場中的運動平衡問題。所不同的是，速度選擇器、磁流體推進器中的電場是帶電粒子進入前存在的，是外加的；磁流體發(fā)電機、電磁流量計、霍爾元件中的電場是粒子進入磁場后，在洛侖茲力作用下，帶電粒子在兩極板間聚集后才形成的。

另外，磁流體發(fā)電機、霍爾效應(yīng)和磁流體泵的原理容易混淆，要注意它們的本質(zhì)區(qū)別：電流的來源不同，磁流體發(fā)電機是發(fā)電模型，由等離子體或中性導(dǎo)電流體的流動產(chǎn)生；霍爾效應(yīng)和磁流體泵的電流由外加電源提供。磁流體發(fā)電機與霍爾效應(yīng)也有聯(lián)系，電流穩(wěn)定時，電荷受到洛淪茲力與電場力平衡。