先畫出y=x2-x+a的大概圖像,,不難發(fā)現(xiàn)系開口向上對(duì)稱軸為1/2嘅二次函數(shù)
再用函數(shù)變換成 I X I,是一個(gè)類似歐米噶嘅W型圖形,根據(jù)題意移動(dòng)圖像即刻
解:設(shè)f(x)=x2-│x│+a
由題得,直線y=1與f(x)有四個(gè)交點(diǎn)
由函數(shù)圖像可知當(dāng)X=0時(shí),a滿足 a>1
且(4ac-b2)/4a=(4a-1)/4 <1
解得a∈(1,5/4)
∴a取值范圍為 (1,5/4)
這道題目用圖像法比較簡(jiǎn)單。
y=x2-|x|+a的草圖你應(yīng)該可以大致畫出來吧。
這是個(gè)偶函數(shù)圖像,對(duì)稱軸就是y軸,整個(gè)函數(shù)圖像是個(gè)w形,該函數(shù)的最小值在x=-1/2或x=1/2時(shí)取得,為y=a-(1/4)。與y軸交點(diǎn)是y=a
你想想,要y=1穿過這個(gè)w,并且有4個(gè)交點(diǎn),那么y=1只能介于y=a與y=a-(1/4)之間
因此有1>a-(1/4)且1解得a∈(1,5/4)
如果你對(duì)圖像不熟悉,那就只能用函數(shù)法了。不過也挺快的。
Y=1與曲線Y=XX-|X|+a有四個(gè)交點(diǎn)
也就是x2-|x|+a-1=0有4個(gè)解
也就是x2-x+a-1=0有2個(gè)解(x>0),x2+x+a-1=0也有2個(gè)解(x<0)
當(dāng)x>0時(shí),x2-x+a-1=0要有2個(gè)解。那么必須△>0, 同時(shí)因?yàn)閤>0,所以還要滿足兩個(gè)解都大于0,那么就要x1+x2>0,x1x2>0
這樣得到a的取值范圍是1而x<0時(shí)也是相同的道理。
即△>0,x1+x2<0,x1x2>0
解得的結(jié)果還是1把兩種結(jié)果并起來,所以a的取值就是1
已知y=x2-|x|+a是偶函數(shù),利用f(x)=f(-x)判定即可。
所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱,由題意可知,要使直線y=1與曲線有四個(gè)交點(diǎn),則只需要求y=1與曲線在x>0上有兩個(gè)交點(diǎn)即可。
當(dāng)x>0時(shí),y=x2-x+a=(x-0.5)2+a-0.25.........以x=0.5為對(duì)稱軸,開口向上的拋物線
要使該曲線與y=1有兩個(gè)交點(diǎn),首先要求拋物線的最低點(diǎn)要<1,即a-0.25<1,也就是a<1.25
其次要求曲線在x=0這點(diǎn)的值大于1,也就是y(0)=a>1。。。。。
這樣一來一個(gè)交點(diǎn)位于(0,0.5),一個(gè)交點(diǎn)(0.5,+∞),在x<0時(shí)也有兩個(gè)。
綜上,1<a<1.25
如果沒有學(xué)習(xí)過偶函數(shù),那么可以考慮在x<0時(shí),|x|=-x,跟上面討論方法類似,也可以得出結(jié)論。
做這道題,最好畫個(gè)草圖,曲線的圖形像“W ”,這樣更容易理解些。
正確答案:
1、定義:一般地,如果
(a,b,c是常數(shù),a≠0),那么y叫做x的二次函數(shù)。
2、二次函數(shù)的圖像:是一條關(guān)于
對(duì)稱的曲線,這條曲線叫拋物線。
拋物線的主要特征:①有開口方向,a表示開口方向;a>0時(shí),拋物線開口向上;a<0時(shí),拋物線開口向下;
②有對(duì)稱軸
;
③有頂點(diǎn)
;
④c表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo):(0,c)。
3、性質(zhì):二次函數(shù)y=ax2+bx+c,
①當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)的圖象開口向上,在(-∞,-
)上是減函數(shù),在[-
,+∞)上是增函數(shù);
②當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)的圖象開口向下,在(-∞,-
)上是增函數(shù),在[-
,+∞)是減函數(shù)。
4、二次函數(shù)的應(yīng)用:
(1)應(yīng)用二次函數(shù)才解決實(shí)際問題的一般思路:
理解題意;建立數(shù)學(xué)模型;解決題目提出的問題。
(2)應(yīng)用二次函數(shù)求實(shí)際問題中的最值:
即解二次函數(shù)最值應(yīng)用題,設(shè)法把關(guān)于最值的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,然后按求二次函數(shù)最值的方法求解。求最值時(shí),要注意求得答案要符合實(shí)際問題。
A。當(dāng)n=0時(shí),冪函數(shù)y=x^n的圖像是一條直線, 錯(cuò),x≠0
B。冪函數(shù)的圖像一定過點(diǎn)(0,0)和(1,1), 錯(cuò)如y=x分之1
C。 冪函數(shù)的圖像不可能經(jīng)過第四象限, 對(duì)。
D。 若冪函數(shù)y=x^n是奇函數(shù),則其一定是單調(diào)增函數(shù), 錯(cuò)
3、
設(shè)函數(shù)f(x)是定義域在[-2,2]上的偶函數(shù),且在[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)小于f(m).求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
函數(shù)f(x)是定義域在[-2,2]上的偶函數(shù),且在[0,2]上單調(diào)遞減
-2<=1-M<=2
-2<=M<=2
----- -1<=M<=2
f(1-m)小于f(m).
|1-m|>|m|
1-2m+m^2>m^2
m<1/2
-1<=m<1/2

-2 0 2
f(1-m)<f(m) 則1-m這一點(diǎn)到y(tǒng)軸的水平距離小于m到y(tǒng)軸的距離
l 1-m l<l m l 兩邊同時(shí)平方 1-2m+m平方<m平方
1-2m<0
m>1/2 且 定義域在【—2,2】
所以1/2<m≤2
1、單調(diào)性的定義:對(duì)于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若對(duì)于任意x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),則稱f(x)是區(qū)間上的增函數(shù);當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),則稱f(x)是區(qū)間上的減函數(shù)。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù),就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。 2、判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性的方法,(1)定義法:其步驟是: ①任取x1,x2∈D,且x1<x2; ②作差f(x1)-f(x2)或作商
,并變形; ③判定f(x1)-f(x2)的符號(hào),或比較
與1的大?。?nbsp;④根據(jù)定義作出結(jié)論。(2)復(fù)合法:利用基本函數(shù)的單調(diào)性的復(fù)合。(3)圖象法:即觀察函數(shù)在區(qū)間D上部分的圖象從左往右看是上升的還是下降的。 3、最值的定義:最大值:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M,滿足: ①對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,稱M是f(x)的最大值.最小值:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M,滿足: ①對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,稱M是f(x)的最小值
[-1,
)???
提示:
因?yàn)槎x在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),
由題意可知|1-m|≤2.|m|≤2
又f(1-m)<f(m)
則|1-m|>|m|
兩邊同時(shí)平方得:(1-m)^2<m^2整理得:1-2m<0
解得:m>1/2
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m>1/2}
當(dāng)0<m<2時(shí),∵y=f(x)在[0,2]上增函數(shù),∴1-m<m 得到m>1/2
∴1/2<m<2
當(dāng)-2<m<0時(shí) ∵y=f(x)是定義在[-2,2]上的偶函數(shù),且在[0,2]上增函數(shù)
∴y=f(x)在[-2,0]是減函數(shù)
∴1-m>m 得到m<1/2
∴-2<m<0
最終得到m∈[-2,0]∪[1/2,2]
因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是定義在[-2,2]上的偶函數(shù),在[0,2]上增函數(shù),
(1-m)<f(m)所以f(/1-m/)<f(/m/)表示絕對(duì)值
/1-m/</m/
/1-m/<=2
/m/<=2 求三個(gè)的公共部分就可以了
4、
已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí),恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)如果x∈R+,f(x)<0,并且f(1)=-
,試求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最值.
(1)證明漸近線(2)f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.
解析:
(1)證明∵函數(shù)定義域?yàn)镽,其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
∵f(x+y)-f(x)+f(y),令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)-f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù).
(2)解 方法一 設(shè)x,y∈R+,∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(x+y)-f(x)=f(y).∵x∈R+,f(x)<0,
∴f(x+y)-f(x)<0,∴f(x+y)<f(x).
∵x+y>x,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).又∵f(x)為奇函數(shù),f(0)=0,
∴f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù).∴f(-2)為最大值,f(6)為最小值.
∵f(1)=-
,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.
∴所求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.
方法二 設(shè)x1<x2,且x1,x2∈R.
則f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即f(x)在R上單調(diào)遞減.
∴f(-2)為最大值,f(6)為最小值.∵f(1)=-
,
∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.
∴所求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.
(1)賦值法:令x=y=0可求得f(0),再令y=-x即可判定其奇偶性;
(2)任取x
1,x
2∈R,且x
1<x
2,f(x
2)=f[x
1+(x
2-x
1)]=f(x
1)+f(x
2-x
1),由x>0時(shí),有f(x)<0可得f(x
2)與f(x
1)的大小關(guān)系,由單調(diào)性定義即可判定單調(diào)性;
(3)由(2)知f(x)為在[-2,6]上為減函數(shù),從而可判斷其最值在端點(diǎn)處取得,再由
f(1)=?及已知條件即可得到答案;
解答:解:(1)令x=y=0得f(0)=0,
再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),所以f(-x)=-f(x),
又x∈R,所以f(x)為奇函數(shù).
(2)任取x
1,x
2∈R,且x
1<x
2,
則f(x
2)=f[x
1+(x
2-x
1)]=f(x
1)+f(x
2-x
1),
有f(x
2)-f(x
1)=f(x
2-x
1),
又∵x
2-x
1>0,∴f(x
2-x
1)<0,
∴f(x
2)<f(x
1),
∴f(x)在R上是減函數(shù).
(3)由(2)知f(x)為在[-2,6]上為減函數(shù).
∴f(x)
max=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(?)=?3.
1)對(duì)于任意x,y有f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0,則f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0
令y=-x, 則f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(x)+f(-x)=0
∴f(x)是奇函數(shù)
2)∴f(3)=-f(-3)=-a
令x=y=3,則f(3+3)=f(3)+f(3)=2f(3)=-2a,即f(6)=-2a
令x=y=6,則f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=-4a,即f(12)=-4a
令x=y=12,則f(12+12)=f(12)+f(12)=2f(6)=-8a,即f(24)=-8a
∴f(24)=-8a
2)對(duì)任意x1>x2,有x1-x2>0
∵對(duì)于任意x∈R+,f(x)<0
∴f(x1-x2)<0
∴f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0
∵f(x)是奇函數(shù)
∴f(-x2)=-f(x2)
∴f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2)
∴f(x)是R上的減函數(shù)
∴f(x)在[-2,6]上最大值為f(-2),最小值為f(6)
令x=y=1,則f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)=-1
令x=y=2,則f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=-2
令x=2,y=4,則f(6)=f(2)+f(4)=-1-2=-3
∵f(x)是奇函數(shù), ∴f(-2)=-f(2)=1
∴f(x)在[-2,6]上最大值為f(-2)=1,最小值為f(6)=-3
5、
已知函數(shù)f(x)是定義域在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x^2-2x+2,求函數(shù)f(x)的解
f(x)為R上的奇函數(shù),
f(x)=-f(-x)
令x=0得:f(0)=-f(-0)
即f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。
已知x>0時(shí),f(x)=x^2-2x+2
當(dāng)x<0時(shí),-x>0
f(-x)=(-x)^2-2(-x)+2
=x^2+2x+2
因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),f(x)=-f(-x)
所以f(x)=-x^2-2x-2(當(dāng)x<0時(shí))
函數(shù)解析式是:
f(x)=x^2-2x+2(x>0)
f(x)=0,x=0
f(x)=-x^2-2x-2,(x<0)
當(dāng)X<0,那么-X>0
f(-X)=(-X)^2-2(-X)=X^2+2X
因?yàn)閒(X)是奇函數(shù),f(-X)=-f(X)
所以f(X)=-f(-X)=-X^2-2X
f(x)=x^2-2x, x>=0
=-x^2-2x, x<0
已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意x∈R有f(x)=f(2-x)成立,則f(2010)的值為0
.
由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意x∈R有f(x)=f(2-x)成立,我們不難得到函數(shù)f(x)是一個(gè)周期函數(shù),而且我們可以求出它的最小正周期T,根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì),我們易求出f(2010)的值.
解答:解:∵對(duì)任意x∈R有f(x)=f(2-x)成立
∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
又∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)
∴函數(shù)f(x)是一個(gè)周期函數(shù)
且T=4
故f(2010)=f(0)
又∵定義在R上的奇函數(shù)其圖象必過原點(diǎn)
∴f(2010)=0
故答案為:0
已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若當(dāng)x大于等于0時(shí),f(x)=2^x+2x+b(b為常數(shù)),則f(-1)=______
●奇函數(shù)的定義
如果對(duì)定義域的任意x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)叫奇函數(shù)。
●奇函數(shù)定義的文字?jǐn)⑹觯?br>如果對(duì)于定義域的任意自變量,都有自變量互為相反數(shù),函數(shù)值也互為相反數(shù),那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)。
由這一點(diǎn),我們得到奇函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。這也是函數(shù)為奇函數(shù)的必要條件。往往成為判斷一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)的首先考慮問題。在選擇題中,常用于否定備選項(xiàng)。
有的網(wǎng)友提出在(-1,2)上判斷f(x)的奇偶性,是沒有意義的。應(yīng)為-1<x<2,則-2<-x<1,這時(shí)f(-x)本身就沒有意義,更別說意思了。
●奇函數(shù)的幾何意義是,奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。奇函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形。
f(1)=4+b
f(-1)=-f(1)=-4-b
已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=-x2+ax.
(1)當(dāng)a=-2時(shí),求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù);
①直接寫出a的范圍(不必證明);
②若對(duì)任意實(shí)數(shù)m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,由已知表達(dá)式可求f(-x),根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可求f(x);
(2)①借助二次函數(shù)圖象的特征及奇函數(shù)性質(zhì)可求a的范圍;
②利用奇函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)遞減性質(zhì)可去掉不等式中的符號(hào)“f”,進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題處理.
解答:解:(1)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),
所以f(x)=-f(-x)=-(-x
2+2x)=x
2-2x,
所以f(x)=
.
(2)①當(dāng)a≤0時(shí),對(duì)稱軸
x=≤0,所以f(x)=-x
2+ax在[0,+∞)上單調(diào)遞減,
由于奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同,所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,
所以a≤0時(shí),f(x)在R上為單調(diào)遞減函數(shù),
當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,
)遞增,在(
,+∞)上遞減,不合題意,
所以函數(shù)f(x)為單調(diào)減函數(shù)時(shí),a的范圍為a≤0.
②f(m-1)+f(m
2+t)<0,∴f(m-1)<-f(m
2+t),
又f(x)是奇函數(shù),∴f(m-1)<f(-t-m
2),
又因?yàn)閒(x)為R上的單調(diào)遞減函數(shù),所以m-1>-t-m
2恒成立,
所以
t>?m2m+1=?(m+)2+恒成立,所以
t>.
即實(shí)數(shù)t的范圍為:(
,+∞).
由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù),
那么f(x)=-f(-x)
當(dāng)x<0時(shí),-x>0,那么f(-x)=-x(-x-2)
所以f(x)=-f(-x)=-[-x(-x-2)]=x(-x-2)
故:
當(dāng)x>=0時(shí),f(x)=x(x-2)
當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x(-x-2)
奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱:x<0時(shí)f(x)= -x(x+2)。圖像是雙鉤。。。分段函數(shù)
x>=0時(shí):f(x)=(x-1)^2-1 在(0,1)為減函數(shù),x>1時(shí)為增函數(shù)!
對(duì)稱
所以x<0:(-1,0)為減函數(shù),x<-1時(shí)為增函數(shù)!
綜上(-1,1)為減其他為增
6、
某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元,且每生產(chǎn)100臺(tái)需要增加收入2500元,對(duì)銷售市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后得知,市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需求量為每年500臺(tái),已知銷售收入函數(shù)為:H(x)=500x-(1/2)x^2【二分之一再乘以x的平方】,其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量,且0≤x≤500。
(1)若x為年產(chǎn)量,y為利潤(rùn),求y=f(x)的解析式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí),工廠的年利潤(rùn)最大,其最大值是多少?
(1):f(x)=H(x)-5000 x取值范圍[0,100)-----1
f(x)=H(x)-5000-2500 x取值范圍[100,200)-----2
f(x)=H(x)-5000-5000 x取值范圍[100,300)------3
f(x)=H(x)-5000-7500 x取值范圍[300,400)-------4
f(x)=H(x)-5000-10000 x取值范圍[400,500)------5
(2):1時(shí):x=100
2:x=200
3:x=300
4:x=400
5:x=499
故x=499時(shí)利潤(rùn)最大,最大為249500- 62001-10000=177499
某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元,且每生產(chǎn)100部,需要增加投入2500元,對(duì)銷售市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后得知,市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需求量為每年500部.已知年銷售收入為H(x)=500xx2,其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量.(1)若x為年產(chǎn)量,y表示年利潤(rùn),求y=f(x)的表達(dá)式.(年利潤(rùn)=年銷售收入-投資成本(包括固定成本))(2)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí),工廠的年利潤(rùn)最大,其最大值是多少?
(1)本題考查的是分段函數(shù)的有關(guān)知識(shí),當(dāng)0≤x≤500時(shí),w=500x-
x2-(5000+25x),當(dāng)x>500時(shí),w=500×500-
-500
2;
(2)用配方法化簡(jiǎn)解析式,求出最大值.
解答:解:(1)當(dāng)0≤x≤500時(shí),產(chǎn)品全部售出
∴
W=500xx2(5000+25x)即
W=?x2+475x5000(2分)
當(dāng)x>500時(shí),產(chǎn)品只能售出500臺(tái)
∴
W=500×500?×5002(5000+25x)即,W=-25x+120000(4分)
(2)當(dāng)0≤x≤500時(shí),
W=?(x475)2+107812.5(6分)
當(dāng)x>500時(shí),W=120000-25x<120000-25×500=107500(8分)
故當(dāng)年產(chǎn)量為475臺(tái)時(shí)取得最大利潤(rùn),且最大利潤(rùn)為107812.5元,最佳生產(chǎn)計(jì)劃475臺(tái).(10分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,用配方法可求出最大值,配方法求最值是常用的方法,屬于基礎(chǔ)題.