1．解析幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的地位和作用

從前所述可見(jiàn)，解析幾何把代數(shù)的知識(shí)和方法系統(tǒng)地用于研究幾何，數(shù)形結(jié)合的思想和方法不但使代數(shù)、幾何獲得了前所未有的進(jìn)展，而且還使微積分的發(fā)明水到渠成。因此，解析幾何既是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，也是從初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)的橋梁。

由于人類活動(dòng)的需要，解決天體運(yùn)動(dòng)、拋射體運(yùn)動(dòng)、單擺運(yùn)動(dòng)等各種運(yùn)動(dòng)問(wèn)題成為數(shù)學(xué)的重大課題。而運(yùn)動(dòng)可以從兩個(gè)角度看：一是作為點(diǎn)的軌跡；二是作為位置與時(shí)間的關(guān)系。數(shù)學(xué)史上，在函數(shù)概念還沒(méi)有充分認(rèn)識(shí)之前，函數(shù)被當(dāng)作曲線來(lái)研究，例如，正弦曲線是在旋輪線的研究中作為它的“伴侶曲線”而進(jìn)入數(shù)學(xué)的。后來(lái)，人們使用運(yùn)動(dòng)的概念來(lái)引進(jìn)曲線，例如，伽利略證明了斜拋體的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，因而把拋物線看成是動(dòng)點(diǎn)的軌跡；牛頓說(shuō)，曲線是由于點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)而描畫(huà)出來(lái)的。把曲線看成是動(dòng)點(diǎn)的軌跡這一概念逐漸地被認(rèn)可和接受以后，函數(shù)（變量之間的關(guān)系）與曲線的聯(lián)系就很緊密了，從而也就使解析幾何與函數(shù)的聯(lián)系更緊密了。某種意義上看，由于借助于坐標(biāo)系而描繪了函數(shù)圖象，使抽象的函數(shù)得到形象直觀的表示，從而使研究函數(shù)的方法更加多樣而有力，對(duì)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)也更加全面而具體。當(dāng)然，“函數(shù)與圖象”、“曲線與方程”畢竟是兩個(gè)不同的問(wèn)題。例如，函數(shù)y=f(x)中，x，y的地位“不平等”，函數(shù)y隨自變量x的變化而變化，兩者有依賴關(guān)系；方程f(x，y)=0中，x，y的地位“平等”，雖然也有依賴關(guān)系，但并沒(méi)有一個(gè)隨另一個(gè)變化的關(guān)系；函數(shù)中，x，y之間有特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系（單值對(duì)應(yīng)），表現(xiàn)在圖象上，就是平行于y軸的直線與圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)；方程的解沒(méi)有這種限制，所以交點(diǎn)可以不止一個(gè)；借助函數(shù)的圖象討論性質(zhì)，這里的“性質(zhì)”是函數(shù)的變化規(guī)律，由方程討論曲線的性質(zhì)，這里的“性質(zhì)”是曲線的幾何性質(zhì)。

另一方面，眾所周知，解析幾何的研究對(duì)象與歐氏幾何相同，但是它們的研究方法不同，這里不再贅述。

綜上所述，中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo)，以坐標(biāo)法為核心，以空間形式為研究對(duì)象，用代數(shù)方法研究幾何；與函數(shù)知識(shí)緊密聯(lián)系，是初等數(shù)學(xué)通向高等數(shù)學(xué)的橋梁。因此，解析幾何是融中學(xué)代數(shù)、幾何、三角等為一體的綜合性課程。通過(guò)解析幾何學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，把數(shù)和形的研究緊密地結(jié)合起來(lái)，提高綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。同時(shí)，系統(tǒng)地掌握解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，也為今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2．解析幾何的教學(xué)目標(biāo)體系

解析幾何的教學(xué)目標(biāo)體系可以從知識(shí)、方法、思想、觀點(diǎn)等幾個(gè)層次進(jìn)行構(gòu)建。在確定這一目標(biāo)體系時(shí)，要特別注意從解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)出發(fā)。

考察解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)，最重要的是它的“方法論”特征；另外就是它的“綜合性”，首先是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，同時(shí)，用幾何的眼光處理代數(shù)問(wèn)題（幾何直觀能力的體現(xiàn)）。據(jù)此，解析幾何的首要教學(xué)目標(biāo)應(yīng)是理解“坐標(biāo)法”，具體包括用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的過(guò)程和要素（“三步曲”）以及在應(yīng)用坐標(biāo)法過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想。當(dāng)然，要讓中學(xué)生通過(guò)解析幾何的學(xué)習(xí)完全掌握坐標(biāo)法是不現(xiàn)實(shí)的。因?yàn)殡m然從方法本身看非常樸實(shí)，但中學(xué)的解析幾何中處理的內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，還不足以表現(xiàn)坐標(biāo)法的力量，所以只能要求學(xué)生初步掌握方法，初步學(xué)會(huì)用坐標(biāo)法思想思考和處理問(wèn)題，并注意在其它學(xué)科的學(xué)習(xí)中滲透。

思想方法必須有具體知識(shí)作為載體才能被領(lǐng)會(huì)，也只有和具體知識(shí)融為一體才能發(fā)揮作用。因此，坐標(biāo)法必須在解析幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中逐步掌握。直線和圓錐曲線是比較簡(jiǎn)單的平面曲線，以這兩種曲線為載體學(xué)習(xí)解析幾何，可以更好地使學(xué)生把精力集中于坐標(biāo)法的領(lǐng)悟。具體的知識(shí)目標(biāo)是：

掌握直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系。

能根據(jù)直線、圓錐曲線的幾何特征，選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，建立直線方程和圓錐曲線方程；能通過(guò)直線方程、圓錐曲線方程討論它們的性質(zhì)。

一般地，能根據(jù)問(wèn)題的幾何特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程，并能通過(guò)方程研究曲線的性質(zhì)。

能利用坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)曲線方程。

了解一些重要曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程。

更高層次地看，由于解析幾何是運(yùn)用辯證法思想分析和解決問(wèn)題的典范，因此教學(xué)中應(yīng)利用這一特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)、變化和對(duì)立統(tǒng)一等觀點(diǎn)分析和解決問(wèn)題，領(lǐng)會(huì)辯證法思想。

3．解析幾何的課程結(jié)構(gòu)圖

（1）總體結(jié)構(gòu)

（2）直線與方程

（3）圓錐曲線與方程

幾點(diǎn)說(shuō)明：

第一，數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法是統(tǒng)領(lǐng)全局的，曲線與方程的關(guān)系（一種充要條件）是討論各種具體問(wèn)題的基礎(chǔ)，但這些都是“默會(huì)知識(shí)”，要采取逐步滲透的方法使學(xué)生領(lǐng)會(huì)和掌握。在學(xué)習(xí)直線與方程、圓與方程時(shí)，采取默認(rèn)的方式，先不刻意從“曲線與方程”角度討論，學(xué)生也不會(huì)特別提出疑問(wèn)。有了一定的基礎(chǔ)后，在橢圓、雙曲線、拋物線之前討論“曲線與方程”，還是比較合適的。

第二，斜率概念和過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式是“直線與方程”部分的核心內(nèi)容，其他大部分內(nèi)容都可以看成是由此“導(dǎo)出”的內(nèi)容。“點(diǎn)到直線的距離公式”由于其聯(lián)系的廣泛性，是“先用幾何眼光觀察與思考，再用坐標(biāo)法解決”的好素材，能很好地體現(xiàn)坐標(biāo)法的綜合性。圓錐曲線中，橢圓具有典型性，其他曲線的討論可以通過(guò)類比橢圓的討論完成。

第三，直角坐標(biāo)系內(nèi)，兩點(diǎn)間的距離公式、定比分點(diǎn)公式（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）、傾斜角、斜率、兩條直線的交角（平行、垂直）等與直線的方程沒(méi)有直接關(guān)系（不需要根據(jù)直線方程來(lái)討論），這些內(nèi)容的安排可以有一定的靈活性。從系統(tǒng)性考慮，把交角、平行、垂直等作為性質(zhì)，在求出直線方程后，用坐標(biāo)法進(jìn)行討論，也是作為“用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”的初步實(shí)踐，比較合適。另外，作為應(yīng)用，在直線與方程的最后安排一定的用坐標(biāo)法解決平面幾何典型問(wèn)題（如與三角形的外心、重心、垂心有關(guān)的問(wèn)題）的實(shí)踐，對(duì)于學(xué)生領(lǐng)會(huì)坐標(biāo)法、提高學(xué)習(xí)興趣等都是有好處的。

第四，圓錐曲線與方程是中學(xué)解析幾何課程的核心內(nèi)容，也是平面幾何沒(méi)有涉及的，所以應(yīng)當(dāng)特別強(qiáng)調(diào)確定這些曲線的幾何要素的探索。在明確幾何要素的基礎(chǔ)上，再利用對(duì)稱性建立坐標(biāo)系求標(biāo)準(zhǔn)方程。圓錐曲線的統(tǒng)一定義表明它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，是非常重要的。但是為了分散難點(diǎn)，把表現(xiàn)各類圓錐曲線的“個(gè)性定義及其方程”放在直角坐標(biāo)系下討論，把“統(tǒng)一定義及其方程”放在極坐標(biāo)系下討論。實(shí)際上，在極坐標(biāo)系中建立統(tǒng)一定義下的圓錐曲線方程更加方便，方程也更加簡(jiǎn)單、優(yōu)美。

第五，從解析幾何課程的性質(zhì)出發(fā)，由削枝強(qiáng)干的考慮，同時(shí)也是課時(shí)所限，對(duì)于那些需要較多的平面幾何知識(shí)才能較好解決的問(wèn)題，在解析幾何教學(xué)中最好不要涉及。也就是說(shuō)，解析幾何中的綜合，應(yīng)當(dāng)以“用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題”為主，研究“代數(shù)關(guān)系的幾何意義”為輔。

第六，高中解析幾何課程，空間坐標(biāo)系可以不必涉及。在用空間向量解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，再介紹空間直角坐標(biāo)系就可以了。這樣既體現(xiàn)削枝強(qiáng)干原則，又體現(xiàn)學(xué)以致用的原則。用到時(shí)再適時(shí)引入有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、及時(shí)鞏固等。

4．解析幾何的內(nèi)容和要求

（1）直線與方程

①理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；掌握兩點(diǎn)間的距離公式。

②根據(jù)直角坐標(biāo)系內(nèi)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程點(diǎn)斜式，并能由點(diǎn)斜式推出兩點(diǎn)式及一般式；理解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。

③能根據(jù)直線方程探索并掌握：兩條直線平行或垂直的條件；兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)到直線的距離公式；兩條平行直線間的距離。

④能用直線的方程解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

（2）圓與方程

①在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)確定圓的幾何要素，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。

②能根據(jù)直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。

③能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

（3）曲線與方程

結(jié)合實(shí)例，理解曲線與方程的關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想。

（4）圓錐曲線與方程

①?gòu)木唧w情境中抽象出確定橢圓、雙曲線、拋物線模型的幾何要素；掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì)。

②能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等）和實(shí)際問(wèn)題。

（5）坐標(biāo)變換

①在直角坐標(biāo)系中，通過(guò)具體例子，探索并理解坐標(biāo)平移公式。

②在直角坐標(biāo)系中，通過(guò)具體例子，了解坐標(biāo)伸縮變換作用下平面圖形的變化情況。

（6）極坐標(biāo)系

①能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，理解極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別與聯(lián)系，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化。

②能求簡(jiǎn)單曲線（如過(guò)極點(diǎn)的直線、過(guò)極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）和圓錐曲線統(tǒng)一定義下的方程。

（7）參數(shù)方程

①利用直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出它們的參數(shù)方程。

②能求平擺線和漸開(kāi)線的參數(shù)方程。

③能用參數(shù)方程解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。

說(shuō)明：

到底應(yīng)該讓學(xué)生討論哪些圓錐曲線的性質(zhì)，主要應(yīng)該從是否能較好反映圓錐曲線的重要特點(diǎn)出發(fā)。從標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，最容易得到的是范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性等，而離心率、準(zhǔn)線、漸近線、光學(xué)性質(zhì)等最能反映圓錐曲線特點(diǎn)的性質(zhì)，則很難直接從方程中得到，需要安排專項(xiàng)討論才能完成。所以，圓錐曲線性質(zhì)的討論可以分為如下三塊：在“個(gè)性定義”下，討論范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性、漸近線等；在“統(tǒng)一定義”下，討論離心率、準(zhǔn)線等；在圓錐曲線的應(yīng)用中討論光學(xué)性質(zhì)。

“幾何變換的代數(shù)表示”與這里討論的問(wèn)題聯(lián)系并不緊密，因此坐標(biāo)變換的內(nèi)容如果不與“曲線方程的化簡(jiǎn)”結(jié)合，不能顯示其學(xué)習(xí)的必要性。所以，是否需要這一內(nèi)容，或者把它放在函數(shù)中去，都是可以研究的。