教學內(nèi)容：

高三第一輪復習：動量考點例析（三）

警示易錯試題

典型錯誤之一、忽視動量守恒定律的系統(tǒng)性

動量守恒定律描述的對象是由兩個以上的物體構(gòu)成的系統(tǒng)，研究的對象具有系統(tǒng)性，若在作用前后丟失任一部分，在解題時都會得出錯誤的結(jié)論。

[例29] 一門舊式大炮在光滑的平直軌道上以V=5m/s的速度勻速前進，炮身質(zhì)量為M=1000kg，現(xiàn)將一質(zhì)量為m=25kg的炮彈，以相對炮身的速度大小u=600m/s與V反向水平射出，求射出炮彈后炮身的速度V^/。

錯解：根據(jù)動量守恒定律有：

MV=MV^/+m[－（u－V^/）]，解得

分析糾錯：以地面為參考系，設(shè)炮車原運動方向為正方向，根據(jù)動量定律有：

（M+m）V=MV^/+m[－（u－V^/）]

解得

典型錯誤之二、忽視動量守恒定律的矢量性

動量守恒定律的表達式是矢量方程，對于系統(tǒng)內(nèi)各物體相互作用前后均在同一直線上運動的問題，應首先選定正方向，凡與正方向相同的動量取正，反之取負。對于方向未知的動量一般先假設(shè)為正，根據(jù)求得的結(jié)果再判斷假設(shè)真?zhèn)巍?/span>

[例30] 質(zhì)量為m的A球以水平速度V與靜止在光滑的水平面上的質(zhì)量為3m的B球正碰，A球的速度變?yōu)樵瓉淼?/span>1/2，則碰后B球的速度是（以V的方向為正方向）。

A.      V        B. －V         C. －V/2          D. V/2

錯解：設(shè)B球碰后速度為V^/，由動量守恒定律得：,。

分析糾錯：碰撞后A球、B球若同向運動，A球速度小于B球速度，顯然答案中沒有，因此，A球碰撞后方向一定改變，A球動量應m（－V/2）。

由動量守恒定律得：，V^/=V/2。

故D正確。

典型錯誤之三、忽視動量守恒定律的相對性

動量守恒定律表達式中各速度必須是相對同一參考系。因為動量中的速度有相對性，在應用動量守恒定律列方程時，應注意各物體的速度必須是相對同一參考系的速度。若題設(shè)條件中物體不是相對同一參考系的，必須將它們轉(zhuǎn)換成相對同一參考系的速度。一般以地面為參考系。

[例31] 某人在一只靜止的小船上練習射擊，船、人和槍（不包含子彈）及船上固定靶的總質(zhì)量為M，子彈質(zhì)量m，槍口到靶的距離為L，子彈射出槍口時相對于槍口的速率恒為V，當前一顆子彈陷入靶中時，隨即發(fā)射后一顆子彈，則在發(fā)射完全部n顆子彈后，小船后退的距離多大？（不計水的阻力）

錯解：選船、人、槍上固定靶和子彈組成的系統(tǒng)為研究對象，開始時整個系統(tǒng)處于靜止，系統(tǒng)所受合外力為0，當子彈射向靶的過程中，系統(tǒng)動量守恒，船將向相反的方向移動。

當?shù)谝活w子彈射向靶的過程中，船向相反的方向運動，此時與船同時運動的物體的總質(zhì)量為M+（n－1）m，當?shù)谝活w子彈射入靶中后，根據(jù)動量守恒，船會停止運動，系統(tǒng)與初始狀態(tài)完全相同。

當?shù)诙w子彈射向靶的過程中，子彈與船重復剛才的運動，直到n顆子彈全部射入靶中，所以在發(fā)射完全部n顆子彈的過程中，小船后退的距離應是發(fā)射第一顆子彈的過程中小船后退距離的n倍。

設(shè)子彈運動方向為正方向，在發(fā)射第一顆子彈的過程中小船后退的距離S，子彈飛行的距離為L，則由動量守恒定律有：

mL－[M+（n－1）m]S=0    

解得：

每顆子彈射入靶的過程中，小船后退的距離都必須是相同，因此n顆子彈全部射入的過程，小船后退的我總距離為nS=。

分析糾錯：沒有把所有的速度變換成相對于同一參考系的速度。由于船的速度是相對于地面的，而子彈的速度是相對于船的，導致船的位移是相對于地面的，而子彈的位移是相對于船的，所以解答錯誤。

設(shè)子彈運動方向為正方向，在發(fā)射第一顆子彈的過程中小船后退的距離為S，根據(jù)題意知子彈飛行的距離為（L－S），則由動量守恒定律有：

m（L－S）－[M+（n－1）m]S=0   

解得：S=

每顆子彈射入靶的過程中，小船后退的距離都相同，因此n顆子彈全部射入的過程，小船后退的總距離為nS=。

典型錯誤之四、忽視動量守恒定律的同時性

動量守恒定律方程兩邊的動量分別是系統(tǒng)在初、末狀態(tài)的總動量，初態(tài)動量的速度都應該是互相作用前同一時刻的瞬時速度，末態(tài)動量中的速度都必須是相互作用后同一時刻的瞬時速度。

[例32] 平靜的水面上有一載人小船，船和人共同質(zhì)量為M，站立在船上的人手中拿一質(zhì)量為m的物體。起初人相對船靜止，船、人、物體以共同速度V₀前進，當人相對于船以速度u向相反方向?qū)⑽矬w拋出時，人和船的速度為多大？（水的阻力不計）。

錯解：取人、船、物組成的系統(tǒng)為研究對象，由于水的阻力不計，系統(tǒng)的動量守恒。

以船速V₀的方向為正方向，設(shè)拋出物體后人和船的速度為V，物體對地的速度為（V₀－u）。由動量守恒定律得：（M+m）V₀=MV+m（V₀－u），解得。

分析糾錯：錯誤在于沒有注意同時性，應明確物體被拋出的同時，船速已發(fā)生變化，不再是原來的V₀，而變成了V，即V與u是同一時刻，拋出后物體對地速度是（V－u），而不是（V₀-u）。

由動量守恒定律得：（M+m）V₀=MV+m（V－u） 

解得：

典型錯誤之五、忽視動量定理的矢量性

[例33] 蹦床是運動員在一張繃緊的彈性網(wǎng)上蹦跳、翻滾并做各種空中動作的運動項目。一個質(zhì)量為60kg的運動員，從離水平網(wǎng)面3.2m高處自由下落，著網(wǎng)后沿豎直方向蹦回到離水平網(wǎng)面5.0m高處。已知運動員與網(wǎng)接觸的時間為1.2s。若把在這段時間內(nèi)網(wǎng)對運動員的作用力當作恒力處理，求此力的大小。（g=10m/s²）

錯解：將運動員看作質(zhì)量為m的質(zhì)點，從h₁高處下落，剛接觸網(wǎng)時速度的大小    （向下），  彈跳后到達的高度為h₂，剛離網(wǎng)時速度的大小 （向上） ，以表示接觸時間， 接觸過程中運動員受到向上的彈力F和向下的重力mg。由動量定理得：（F－mg）Δt=mV₂－mV₁， 由以上各式解得，，  代入數(shù)值得：。

分析糾錯：錯誤原因是忽視了動量定理的矢量性。由動量定理得：

（F－mg）Δt=mV₂+mV₁，由以上各式解得，。

代入數(shù)值得：。

典型錯誤之六、運用動量定理解題受力分析掉重力

對于例33還有如下一種常見錯誤：

錯解：將運動員看作質(zhì)量為m的質(zhì)點，從h₁高處下落，剛接觸網(wǎng)時速度的大小    （向下），  彈跳后到達的高度為h₂，剛離網(wǎng)時速度的大小 （向上） ，以表示接觸時間，由動量定理得：FΔt=mV₂+mV₁，由以上各式解得，，代入數(shù)值得：  。

分析糾錯：錯誤原因是受力分析時漏掉重力。

牛頓運動定律動量能量綜合

一. 知識要點：

本專題以兩個定理（動量定理、動能定理）、兩個守恒（動量守恒、能量守恒）為核心，以力對物體做功，力的沖量為重點知識，從能量和動量的角度研究力的作用效果和規(guī)律。

1. 理解沖量、功等概念及動量、動能的關(guān)系

（1）沖量是描述力對時間積累作用的物理量，在沖量的計算中，首先應注意沖量是矢量，同一直線上的各沖量方向可用正、負表示。恒力的沖量可用計算，變力的沖量或是把過程無限分小或是用動量變化量來代換。另外沖量只決定于力和時間，與是否運動，向什么方向運動都無關(guān)。

（2）功的公式中，為質(zhì)點的位移，是力與位移間的夾角，不論質(zhì)點做直線還是曲線運動，恒力對質(zhì)點做功都可以用上式計算；對于變力做功的計算，常用方法有無限分小法和利用功能關(guān)系法，把過程無限分小后可認為每小段是恒力做功，而功能關(guān)系有、和。

（3）動量和動能都是描述物體運動狀態(tài)的物理量，其數(shù)量關(guān)系為：

，。

2. 掌握動能定理與機械能守恒定律

動能定理是能量轉(zhuǎn)化和守恒在機械運動中的表達，它給出了各種不同的力做功的代數(shù)和與物體動能增加間的定量關(guān)系，應用時要注意：

（1）研究對象是質(zhì)點（單個物體），也有時擴展到質(zhì)點系統(tǒng)。

（2）求時，必須認真分析物理過程，在對物體受力分析的基礎(chǔ)上，一般常見的四種力做功，分別算出各力所做的功，正功負功要分清，然后求它們的代數(shù)和，不要先求合力再求合力所做的功。

（3）是動能的增量，抓住物體運動的始態(tài)與末態(tài)，不管具體運動的細節(jié)，通過公式求出各態(tài)的動能，后求，而，是末態(tài)減初態(tài)，不能顛倒。

對于機械能守恒定律，審題中一旦發(fā)現(xiàn)只有重力和彈力做功時，解題就極為簡便，這時可完全不考慮物體運動過程，避免繁瑣的求功運算，而直接抓住運動的始末狀態(tài)，計算動能增量與勢能增量的代數(shù)和，必須滿足，應用時注意：

① 對質(zhì)點的機械能守恒問題通常采用的表達式，選取初、末狀態(tài)中較低處為勢能零點，然后確定初、末狀態(tài)各是什么能量。

② 對質(zhì)點系的機械能守恒問題，則采用的表達式，不再選取勢能零點了，只要弄清初、末狀態(tài)的勢能變化。

③ 定律守恒的條件是：在系統(tǒng)內(nèi)部只有重力和彈力做功的情況下，不排除系統(tǒng)內(nèi)存在另外的力作用，但這些力必須不做功或做功代數(shù)和為零。

3. 正確應用動量守恒定律

動量守恒定律：相互作用的物體，如果不受外力作用，或它們所受的外力之和為零，它們的總動量保持不變，表達式為或。

應注意：

（1）動量守恒定律研究的對象是一個系統(tǒng)，系統(tǒng)由若干相互作用的物體組成，其相互作用的內(nèi)力總是等值反向成對出現(xiàn)，它們只能使系統(tǒng)內(nèi)相互作用的物體的動量變化，而不能改變系統(tǒng)的總動量。

（2）動量守恒定律的條件是外力之和為零，其具體類型有三：系統(tǒng)根本不受外力或系統(tǒng)所受合外力為零；系統(tǒng)所受外力遠小于內(nèi)力，且作用時間很短；系統(tǒng)在某一方向上合外力為零，動量在該方向上的分動量守恒。

（3）動量守恒定律只對慣性參考系成立。一般應選地面或相對地面靜止或做勻速直線運動的物體作參照物，不能選擇相對地面做加速運動的物體作參照物。另外，動量守恒定律中各物體的動量是對同一參照物而言的。

（4）應用動量守恒定律解題必須規(guī)定正方向，然后抓住系統(tǒng)初、末狀態(tài)的動量列方程。

4. 補充說明

（1）對于機械能守恒定律的應用，關(guān)鍵是守恒的條件，也就是系統(tǒng)中內(nèi)力只有重力和彈力做功，機械能守恒，這里最容易引起混淆的是當彈力是外力時，彈力做功，機械能就不守恒。

（2）在高中階段，所接觸到各種性質(zhì)的力，它們做功的特點是：重力、彈力、分子力、電場力，它們做功與路徑無關(guān)；靜摩擦力做功只起能量的轉(zhuǎn)移作用，滑動摩擦力做功一定能起到能量的轉(zhuǎn)化作用，將機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；安培力做正功時，將電能轉(zhuǎn)化為機械能，做負功時，將機械能轉(zhuǎn)化為電能。

【典型例題】

1. 考查變力做功

[例1]（2001年江西）一個圓柱形的豎直井里存有一定量的水，井的側(cè)面和底部是密閉的，在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底。在圓管內(nèi)有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動。開始時，管內(nèi)外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖所示。現(xiàn)用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動。已知管筒半徑，井的半徑，水的密度，大氣壓，求活塞上升的過程中拉力所做的功（井和管在水面以上及水面以下的部分都足夠長，不計活塞質(zhì)量，不計摩擦，重力加速度）

講解：從開始提升到活塞升至內(nèi)外水面高度差為的過程中，活塞始終與管內(nèi)液體接觸，設(shè)活塞上升距離為，管外液面下降距離為，則。

因液體體積不變，有

得

題給。由此可知確定有活塞下面是真空的一段過程。

活塞移動距離從零到的過程中，對于水和活塞這個整體，其機械能的增量應等于除重力外其他力所做的功，因為始終無動能，所以機械能的增量也就等于重力勢能的增量，即。

其他力有管內(nèi)、外的大氣壓力和拉力F，因為液體不可壓縮，所以管內(nèi)、外大氣壓力做的總功為：

故外力做的功就是拉力F的功，由功能關(guān)系知

即

活塞移動距離從到H的過程中，液面不變，F是恒力，且，做功

所以拉力F做的總功

答案：

評析：本題涉及的知識范圍較廣，能力要求較高，是一道考查學生分析問題、分析物理過程的好題。

2. 考查沖量的定義及其與運動學、功的關(guān)系

[例2]（1999年廣東）物體在恒定的合外力F作用下做直線運動，在時間內(nèi)速度由0增大到，在時間內(nèi)速度由增大到，設(shè)F在內(nèi)做的功是，沖量是；在內(nèi)做的功是，沖量是，那么（    ）

A. ，               B. ，

C. ，               D. ，

講解：由題意知物體在恒定的合外力F作用下做直線運動，物體加速度恒定，即物體做勻變速直線運動。

又物體速度由，由變化量相等，

據(jù)知

而，，所以

由運動學公式，有，，則，而，，所以。

答案：D

評析：本題涉及沖量、功有關(guān)概念和運動學公式，解此類題關(guān)鍵是在熟練掌握相關(guān)概念及相互關(guān)系基礎(chǔ)上，進行邏輯推理得出正確結(jié)論。

3. 考查動能定理的應用

[例3]（2000年山西）如圖所示，DO是水平面，AB是斜面，初速為的物體從D點出發(fā)沿DBA滑到頂點A時速度剛好為零，如果斜面改為AC，讓該物體從D點出發(fā)沿DCA滑到A點且速度剛好為零，則物體具有的初速度（已知物體與路面之間的動摩擦因數(shù)處處相同且不為零）

A. 大于    B. 等于   

C. 小于    D. 取決于斜面的傾角

講解：設(shè)物體的質(zhì)量為，物體與路面之間的動摩擦因數(shù)為，斜面的傾角為，當物體沿DBA滑動時，由動能定理有：，

解得：。

由于所得的表達式與無關(guān)，故當物體沿DCA滑動時初速度也等于，故正確選項為B。

答案：B

評析：本題涉及物體沿粗糙水平面和斜面的兩段運動，涉及滑動摩擦定律，求解時需要假設(shè)一些物理量，通過的表達式與斜面傾角無關(guān)得出正確結(jié)論，而表達式的推導，可用動能定理，也可用牛頓運動定律和運動學公式，試題對學生的推理能力和分析綜合能力有較高要求。

4. 考查動量守恒定律的應用

[例4]（2001年全國物理卷）質(zhì)量為M的小船以速度行駛，船上有兩個質(zhì)量皆為的小孩和，分別靜止站在船頭和船尾，現(xiàn)小孩沿水平方向以速率（相對于靜止水面）向前躍入水中，然后小孩子沿水平方向以同一速率（相對于靜止水面）向后躍入水中，求小孩躍出后小船的速度。

講解：整個過程中系統(tǒng)所受合外力為零，系統(tǒng)動量守恒，因兩個小孩跳離船后動量的矢量和為零，故有：，所以。

答案：

評析：本題考查動量守恒定律的應用，應用動量守恒定律應注意矢量性、系統(tǒng)性、同時性、相對性。本題中系統(tǒng)的選取、過程的選取是否恰當對本題的解關(guān)系很大，動量守恒定律的應用重點分析初末狀態(tài)與中間過程無關(guān)，往往取整個過程來研究。

【模擬試題】

1. 以下說法中正確的是（    ）

A. 動量相等的物體，動能也相等               

    B. 物體的動能不變，則動量也不變

    C. 某力Ｆ對物體不做功，則這個力的沖量就為零

D. 物體所受到的合沖量為零時，其動量方向不可能變化

2. 一個筆帽豎立在桌面上平放的紙條上，要求把紙條從筆帽下抽出，如果緩慢拉動紙條筆帽必倒；若快速拉紙條，筆帽可能不倒。這是因為（    ）

A. 緩慢拉動紙條時，筆帽受到?jīng)_量小

    B. 緩慢拉動紙條時，紙條對筆帽的水平作用力小

C. 快速拉動紙條時，筆帽受到?jīng)_量小

D. 快速拉動紙條時，紙條對筆帽的水平作用力小

3. 兩輛質(zhì)量相同的小車置于光滑的水平面上，有一個人靜立在a車上。當此人從a車跳到b車上，接著又跳回a車，則a車的速率（    ）

A. 為0     B. 等于b車速率    C. 大于b車速率    D. 小于b車速率

4. 恒力F作用在質(zhì)量為m的物體上，如圖所示，由于地面對物體的摩擦力較大，沒有被拉動，則經(jīng)時間t，下列說法正確的是（    ）

A. 拉力F對物體的沖量大小為零

B. 拉力F對物體的沖量大小為Ft

C. 拉力F對物體的沖量大小是Ftcosθ

D. 合力對物體的沖量大小為零

5. 為了模擬宇宙大爆炸初的情境，科學家們使兩個帶正電的重離子被加速后，沿同一條直線相向運動而發(fā)生猛烈碰撞，若要碰撞前的動能盡可能多地轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，應該設(shè)法使兩個重離子在碰撞前的瞬間具有（    ）

A. 相同的速率             B. 相同大小的動量

C. 相同的動能             D. 相同的質(zhì)量

6. 在光滑水平面上，動能為E₀、動量的大小為P₀的小鋼球1與靜止小鋼球2發(fā)生碰撞，碰撞前后球1的運動方向相反。將碰撞后球1的動能和動量的大小分別記為E₁、P₁，球2的動能和動量的大小分別記為E₂、P₂，則不可能有（    ）

A. E₁<E₀         B. p₁<p₀           C. E₂>E₀        D. p₂>p₀

7. 如圖所示，光滑水平面上有大小相同的A、B兩球在同一直線上運動。兩球質(zhì)量關(guān)系為m_B=2m_A，規(guī)定向右為正方向，A、B兩球的動量均為6kg·m/s，運動中兩球發(fā)生碰撞，碰撞后A球的動量增量為－4kg·m/s，則（    ）

A. 左方是A球，碰撞后A、B兩球速度大小之比為

B. 左方是A球，碰撞后A、B兩球速度大小之比為

C. 右方是A球，碰撞后A、B兩球速度大小之比為

D. 右方是A球，碰撞后A、B兩球速度大小之比為.

8. 如圖所示，質(zhì)量為Ｍ的斜面放在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的物體由靜止開始從斜面的頂端滑到底端，在這過程中（    ）   

A. M、m組成的系統(tǒng)滿足動量守恒

B. m對M的沖量等于M的動量變化

C. m、M各自的水平方向動量的增量的大小相等

D. M對m的支持力的沖量為零

9. 一導彈離地面高度h水平飛行。某一時刻，導彈的速度為V， 突然爆炸成質(zhì)量相同的A、B兩塊，A、B同時落到地面，兩落地點相距，兩落地點與爆炸前導彈速度在同一豎直平面內(nèi)。不計空氣阻力。已知爆炸后瞬間，A的動能為E_KA，B的動能為E_KB，則E_KA:E_KB=      。

10. 一個質(zhì)量為m的物體，從靜止開始沿傾角為θ的光滑斜面下滑，在物體速度由0增至V的過程中，斜面對物體彈力的沖量的大小為            。  

11. 質(zhì)量都是1kg的物體A、B，中間用一輕彈簧連接，放在光滑的水平地面上?，F(xiàn)使B物體靠在墻上，用力推物體A壓縮彈簧，如圖所示。這個過程中外力做功為8J，待系統(tǒng)靜止后突然撤去外力。從撤去外力到彈簧第一次恢復到原長時B物體的動量為             。當A、B間距離最大時B物體的速度大小為          m/s。

12. 高壓水槍噴口半徑為r，射出的水流速度為V，水平地打在豎直煤壁上后速度變?yōu)榱?。設(shè)水的密度為ρ，求高速水流對煤壁的沖擊力的大小。

13. 一架質(zhì)量為500kg的直升飛機，其螺旋槳把空氣以50m／s的速度下推，恰使直升飛機停在空中，則每秒鐘螺旋漿所推下的空氣質(zhì)量為多少？

14. 列車載重時簡單地直接啟動有困難，司機常常先倒車再起動前進。在平直軌道上機車起動時的牽引力為F，機車后面掛接有（n－1）節(jié)車廂，設(shè)機車與每節(jié)車廂的質(zhì)量都為m，機車和每節(jié)車廂所受的阻力都為自身重力的k倍，倒車后各節(jié)車廂間掛鉤所留間隙為d，倒車掛鉤位置和列車前進時掛鉤位置如圖所示。列車在平直軌道上啟動，求機車帶動第（n－1）節(jié)車廂時列車的速度，并說明倒車起動的優(yōu)點。

【試題答案】

1. D    2. C     3. D    4. BD    5. B    6. C    7. A    8. C   9. 9:1  

10. mVcotθ  11. 0；2     12.      13. 100kg

14. 解：機車啟動時，由牛頓第二定律得：F－kmg=ma₁

根據(jù)運動學公式，

機車掛接2號車廂的極短時間動量守恒：mV₁=2mV₂。

在加速階段，F－k·2mg=2ma₂，，

機車掛接3號車廂，

在加速階段，，

同理可得3號車廂掛接、加速后的速度V₃^/為：

掛接車廂n時有（n－1）mV^/_n－1=nmV_n

得：

要求V_n≥0，即要求，所以

臨界值為，不倒車時牽引力為：F₀=kmg

比較知F<F₀，即倒車啟動所需的牽引力較小