凱利公式志在解決的問(wèn)題

假設(shè)賭局1:你贏的概率是60%，輸?shù)母怕适?/span>40%。贏時(shí)的凈收益率是100%，輸時(shí)的虧損率也是100%。也即，如果贏，那么你每賭1元可以贏得1元，如果輸，則每賭1元將會(huì)輸?shù)?/span>1元。賭局可以進(jìn)行無(wú)限次，每次下的賭注由你自己任意定。問(wèn)題：假設(shè)你的初始資金是100元，那么怎么樣下注，即每次下注金額占本金的百分之多少，才能使得長(zhǎng)期收益最大。

對(duì)于這個(gè)賭局，每次下注的期望收益是下注金額的60%*1-40%*1=20%，期望收益為正。也就是說(shuō)這是一個(gè)對(duì)賭客占優(yōu)的賭局，而且占得優(yōu)勢(shì)非常大。

那么我們應(yīng)該怎么樣下注呢？

如果不進(jìn)行嚴(yán)密的思考，粗略的想象一下，我們會(huì)覺(jué)得既然我每次賭的期望收益是20%，那么為了實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)期的最大收益，我應(yīng)該在每次賭博中盡量放入更多比例的本金。這個(gè)比例的最大值是100%。

但是顯然每一局賭博都放入100%的本金是不合理的，因?yàn)橐坏┠囊淮钨€博賭輸了，那么所有的本金就會(huì)全部輸光，再也不能參加下一局，只能黯然離場(chǎng)。而從長(zhǎng)期來(lái)看，賭輸一次這個(gè)事件必然發(fā)生，所以說(shuō)長(zhǎng)期來(lái)看必定破產(chǎn)。

所以說(shuō)這里就得出了一個(gè)結(jié)論：只要一個(gè)賭局存在一下子把本金全部輸光的可能，哪怕這個(gè)可能非常的小，那么就永遠(yuǎn)不能滿倉(cāng)。

因?yàn)殚L(zhǎng)期來(lái)看，小概率事件必然發(fā)生，而且在現(xiàn)實(shí)生活中，小概率事件發(fā)生的實(shí)際概率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)的大于它的理論概率。這就是金融學(xué)中的肥尾效應(yīng)。

繼續(xù)回到賭局1。

既然每次下注100%是不合理的，那么99%怎么樣。如果每次下注99%，不但可以保證永遠(yuǎn)不會(huì)破產(chǎn)，而且運(yùn)氣好的話也許能實(shí)現(xiàn)很大的收益。

實(shí)際情況是不是這個(gè)樣子呢？

我們先不從理論上來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題，我們可以來(lái)做個(gè)實(shí)驗(yàn)。我們模擬這個(gè)賭局，并且每次下注99%，看看結(jié)果會(huì)怎么樣。

這個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)非常的簡(jiǎn)單，用excel就能完成。請(qǐng)看下圖：

如上圖，第一列表示局?jǐn)?shù)。第二列為勝負(fù)，excel會(huì)按照60%的概率產(chǎn)生1，即60%的概率凈收益率為1，40%的概率產(chǎn)生-1，即40%的概率凈收益為-1。第三列為每局結(jié)束時(shí)賭客所有的資金。這個(gè)實(shí)驗(yàn)每次下注倉(cāng)位是99%，初始本金是100，分別用黃色和綠色標(biāo)出。

大家從圖中可以看出，在進(jìn)行了10局之后， 10局中贏的局?jǐn)?shù)為8，比60%的概率還要大，僅僅輸了兩次。但即使是這樣，最后的資金也只剩下了2.46元，基本上算是輸光了。

當(dāng)我把實(shí)驗(yàn)次數(shù)加大，變成1000次、2000次、3000次……的時(shí)候，結(jié)果可想而知了，到最后手中的資金基本上是趨向于0。

既然99%也不行，那么我們?cè)倌闷渌麕讉€(gè)比例來(lái)試試看，看下圖：

從圖中可以看出，當(dāng)把倉(cāng)位逐漸降低，從99%，變成90%，80%，70%，60%的時(shí)候，同樣10局的結(jié)果就完全不一樣了。從圖中似乎可以看出隨著倉(cāng)位逐漸的變小，在10局之后的資金是逐漸變大的。

大家看到這里，就會(huì)漸漸的發(fā)現(xiàn)這個(gè)賭局的問(wèn)題并不是那么簡(jiǎn)單的。就算是賭客占優(yōu)如此之大的賭局，也不是隨隨便便都能贏錢(qián)的。

那么到底怎么下注才能使得長(zhǎng)期收益最大呢？

是否就像上圖所顯示的那樣，比例越小越好呢？應(yīng)該不是，因?yàn)楫?dāng)比例變成0的時(shí)候顯然也不能賺錢(qián)。

那么這個(gè)最優(yōu)的比例到底是多少呢？

這就是著名的凱利公式所要解決的問(wèn)題！

凱利公式介紹

其中f為最優(yōu)的下注比例。p為贏的概率。r_w是贏時(shí)的凈收益率，例如在賭局1中r_w=1。r_l是輸時(shí)的凈損失率，例如在賭局1中r_l=1。注意此處r_l>0。

根據(jù)凱利公式，可以計(jì)算出在賭局1中的最有下注比例是20%。

我們可以進(jìn)行一下實(shí)驗(yàn)，加深對(duì)這個(gè)結(jié)論的理解。

如圖，我們分別將倉(cāng)位設(shè)定為10%，15%，20%，30%，40%。他們對(duì)應(yīng)的列數(shù)分別是D、E、F、G、H。

當(dāng)我把實(shí)驗(yàn)次數(shù)變成3000次的時(shí)候，如下圖：

當(dāng)我把實(shí)驗(yàn)次數(shù)變成5000次的時(shí)候，如下圖：

大家從兩幅圖中可以看到F列對(duì)應(yīng)的結(jié)果最大，和其它列相比壓根就不是一個(gè)數(shù)量級(jí)的。而F列對(duì)應(yīng)的倉(cāng)位比例正是20%。

大家看到凱利公式的威力了吧。在上面的實(shí)驗(yàn)中，如果你不幸將比例選擇為40%，也就是對(duì)應(yīng)H列，那么在5000局賭博之后，你的本金雖然從100變成了22799985.75，收益巨大。但是和20%比例的結(jié)果相比，那真是相當(dāng)于沒(méi)賺錢(qián)。

這就是知識(shí)的力量！

凱利公式理解

凱利公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)及其復(fù)雜，需要非常高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，所以在這里討論也沒(méi)有什么意義。哎，說(shuō)白了其實(shí)就是我也看不大懂。凱利公式原始的論文pdf鏈接我會(huì)附在文章后面，有興趣的可以自己去看。

在這里我將通過(guò)一些實(shí)驗(yàn)，加深大家對(duì)凱利公式主觀上的理解。

我們?cè)賮?lái)看一個(gè)賭局。賭局2：你輸和贏的概率分別是50%，例如拋硬幣。贏的時(shí)候凈收益率為1，即r_w=1，輸?shù)臅r(shí)候凈損失率為0.5，即r_l=0.5。也就是說(shuō)當(dāng)你每賭一元錢(qián)，贏的時(shí)候你能再贏1元，輸?shù)臅r(shí)候你只要付出去5毛。

容易看出賭局2的期望收益是0.25，又是一個(gè)賭客存在極大優(yōu)勢(shì)的賭局。

根據(jù)凱利公式，我們可以得到每局最佳的下注比例為：,也就是說(shuō)每次把一半的錢(qián)拿去下注，長(zhǎng)期來(lái)看可以得到最大的收益。

下面我要根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出平均增長(zhǎng)率r的概念。

首先來(lái)看實(shí)驗(yàn)2.1，如下兩張圖：

這兩張圖都是模擬賭局2做的實(shí)驗(yàn)，在第二列的勝負(fù)列中，實(shí)驗(yàn)會(huì)50%的概率產(chǎn)生1，表示盈利100%。50%的概率產(chǎn)生-0.5，表示虧損50%。第三第四列分別是在倉(cāng)位為100%和50%下每次賭局之后所擁有的資金。

仔細(xì)對(duì)比兩張圖可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論一，亦即在經(jīng)過(guò)相同次的局?jǐn)?shù)之后，最后的結(jié)果只與在這些局?jǐn)?shù)中贏的局?jǐn)?shù)的數(shù)量和輸?shù)木謹(jǐn)?shù)的數(shù)量有關(guān)，而與在這些局?jǐn)?shù)中贏的局和輸?shù)木值捻樞驘o(wú)關(guān)。例如在上兩幅圖中，同樣進(jìn)行了4局，同樣每幅圖中贏了兩局輸了兩局，但是第一張圖的輸贏順序是贏輸輸贏，第二張圖的輸贏順序是輸贏贏輸。它們最終的結(jié)果都是一樣的。

當(dāng)然這個(gè)結(jié)論非常容易證明（乘法交換律，小學(xué)生就會(huì)），這里就不證明了，上面舉的兩個(gè)例子足夠大家很好的理解。

那么既然最終的結(jié)果和輸贏的順序無(wú)關(guān)，那么我們假設(shè)賭局2如實(shí)驗(yàn)2.2一樣進(jìn)行下去，看下圖：

我們假設(shè)賭局的勝負(fù)是交替進(jìn)行的，由于結(jié)論一，從長(zhǎng)期來(lái)看這對(duì)結(jié)果資金沒(méi)有任何影響。

在自己觀察圖片之前我們先做一個(gè)定義。假設(shè)將某幾局賭局視為一個(gè)整體，這個(gè)整體中各種結(jié)果出現(xiàn)的頻率正好等于其概率，并且這個(gè)整體的局?jǐn)?shù)是所有滿足條件整體當(dāng)中局?jǐn)?shù)最小的，那么我們稱(chēng)這個(gè)整體為一組賭局。例如在上圖的實(shí)驗(yàn)中，一組賭局就代表著進(jìn)行兩局賭局，其中贏一次輸一次。

仔細(xì)觀察上圖中藍(lán)色標(biāo)記的數(shù)字，它們是一組賭局的結(jié)尾。你會(huì)發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字是保持著穩(wěn)定的增長(zhǎng)的。當(dāng)倉(cāng)位是100%時(shí)，藍(lán)色標(biāo)記數(shù)字的增長(zhǎng)率是0%，即一組賭局之后本金的增長(zhǎng)率為0%。這也解釋了當(dāng)每次都滿倉(cāng)下注的時(shí)候，在賭局2中長(zhǎng)期來(lái)看是無(wú)法賺錢(qián)的。當(dāng)倉(cāng)位是50%（即凱利公式得出的最佳比例）時(shí)，藍(lán)色標(biāo)記數(shù)字的增長(zhǎng)率是12.5%，即一組賭局之后本金的增長(zhǎng)率為12.5%。

這是一個(gè)普遍的規(guī)律，每組賭局之后的增長(zhǎng)率與倉(cāng)位有關(guān)。且每組賭局之后的增長(zhǎng)率越大，那么長(zhǎng)期來(lái)看最終的收益也就越多。

根據(jù)每組賭局的增長(zhǎng)率可以計(jì)算出每個(gè)賭局的平均增長(zhǎng)率g。在上面的圖中，每組賭局之中包含兩個(gè)賭局，那么每個(gè)賭局的平均增長(zhǎng)率 

其實(shí)這個(gè)r是可以通過(guò)公式算出來(lái)的。

從長(zhǎng)期來(lái)看，想要讓資本得到最大的增長(zhǎng)，其實(shí)只要讓r最大，也即讓g最大化。而最佳下注比例f其實(shí)也是通過(guò)求解max(g)的出來(lái)的。

凱利公式其他結(jié)論——關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)

凱利傳奇（本節(jié)內(nèi)容來(lái)自互聯(lián)網(wǎng)）

凱利公式最初為 AT&T 貝爾實(shí)驗(yàn)室物理學(xué)家約翰·拉里·凱利根據(jù)他的同僚克勞德·艾爾伍德·夏農(nóng)于長(zhǎng)途電話線雜訊上的研究所建立。凱利解決了夏農(nóng)的資訊理論要如何應(yīng)用于一名擁有內(nèi)線消息的賭徒在賭馬時(shí)的問(wèn)題。賭徒希望決定最佳的賭注金額，而他的內(nèi)線消息不需完美（無(wú)雜訊），即可讓他擁有有用的優(yōu)勢(shì)。凱利的公式隨后被夏農(nóng)的另一名同僚愛(ài)德華·索普應(yīng)用于二十一點(diǎn)和股票市場(chǎng)中。

索普利用工作之余，通過(guò)數(shù)個(gè)月的艱苦演算，寫(xiě)了一篇題為《“二十一點(diǎn)”優(yōu)選策略》的數(shù)學(xué)論文。他利用自己的知識(shí)，一夜之間“奇襲”了內(nèi)華達(dá)雷諾市所有的賭場(chǎng)，并成功的從二十一點(diǎn)賭桌上贏得了上萬(wàn)美元。他還是美國(guó)華爾街量化交易對(duì)沖基金的鼻祖，70年代首創(chuàng)第一個(gè)量化交易對(duì)沖基金。1962年出版了他的專(zhuān)著《打敗莊家》，成為金融學(xué)的經(jīng)典著作之一。

運(yùn)用展望

如何利用凱利公式在現(xiàn)實(shí)生活中賺錢(qián)？

那就是要去創(chuàng)造滿足凱利公式運(yùn)用條件的“賭局”。在我看來(lái)，這個(gè)“賭局”一定是來(lái)自金融市場(chǎng)。

近期我一直在做交易系統(tǒng)的研究，對(duì)于一個(gè)優(yōu)秀的交易系統(tǒng)來(lái)說(shuō)什么是最重要的？一個(gè)期望收益為正的買(mǎi)賣(mài)規(guī)則占到重要性的10%，而一個(gè)好的資金控制方法占到了重要性的40%，剩下的50%是操控人的心理控制力。

而凱利公式正是幫助我進(jìn)行資金倉(cāng)位控制的利器。

比如說(shuō)之前我研究出的一個(gè)股票交易系統(tǒng)，該系統(tǒng)每周進(jìn)行一次交易，每周交易成功的概率是0.8，失敗的概率是0.2。當(dāng)成功的時(shí)候可以賺取3%（扣掉傭金，印花稅），每次失敗時(shí)虧損5%。在不知道凱利公式之前，我都是盲目的滿倉(cāng)交易，也不知道我這個(gè)倉(cāng)位設(shè)定的對(duì)不對(duì)，心理很虛。在運(yùn)用凱利公式之后，計(jì)算的最佳的倉(cāng)位應(yīng)該是9.33，就是說(shuō)如果借款利率是0的話想要得到最快的資金增長(zhǎng)速度就要使用杠桿交易，通過(guò)公式計(jì)算得到每次交易的平均增長(zhǎng)率r約等于7.44%，而滿倉(cāng)交易的平均資金增長(zhǎng)率為r約等于 1.35（其實(shí)也就是期望收益）。通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)M之后也發(fā)現(xiàn)確實(shí)杠桿交易比滿倉(cāng)交易資金增長(zhǎng)的速度要快的多。這也讓我更好的理解了為什么很多量化投資基金公司需要使用杠桿交易。

當(dāng)然凱利公式在實(shí)際的運(yùn)用中不可能這么的簡(jiǎn)單，還有很多的困難需要克服。比如說(shuō)杠桿交易所需要的資金成本，比如說(shuō)現(xiàn)實(shí)中資金并不是無(wú)限可分的，比如說(shuō)在金融市場(chǎng)并不像上文提到的簡(jiǎn)單的賭局那么簡(jiǎn)單。

但是不管怎么樣，凱利公式為我們指明了前進(jìn)的道路。